人教版新课标B1.3.1利用导数判断函数的单调性教案

这是一份人教版新课标B1.3.1利用导数判断函数的单调性教案，共11页。教案主要包含了温故知新，新知探究，复习总结和作业布置等内容，欢迎下载使用。

1. 教学目标
1、正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2、 掌握利用导数判断函数单调性的方法。
2. 教学重点/难点
教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
3. 教学用具
多媒体、板书
4. 标签
教学过程
一、温故知新、引入课题
【师】请同学们思考函数单调性的概念？
【生】思考交流。
【板演/PPT】
函数 y = f (x) 在给定区间 D上，D= ( a , b )
当 x 1、x 2 ∈D且 x 1＜ x 2 时
①都有 f ( x 1) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在D上是增函数；
②都有 f ( x1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在D上是减函数；
若 f(x) 在D上是增函数或减函数，
D称为单调区间
则 f(x) 在D 上具有严格的单调性。
【师】判断函数单调性有哪些方法？
【生】思考交流。
【板演/PPT】
①定义法; ②图象法; ③已知函数
以前,我们主要采用定义法去判断函数的单调性. 在函数y=f(x) 比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.
让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究
1、函数的单调性与其导函数的关系
【合作探究】
探究1 函数的单调性与其导函数的关系
【师】请同学们思考高台跳水运动员高度函数与速度函数之间的关系？
【板演/PPT】
下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数
的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数的图象.
【活动】思考交流。
探究2：运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,
②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,
【思考】以上情况是否具有一般性呢？
观察下面函数的图像（图1.3-3），探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图 1.3-3，导数f'(x0)表示函数f(x)在(x0,y0)点处的切线的斜率．
【结论】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系
在某个区间(a,b)内，
如果f'(x)＞0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；
如果f'(x)＜0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．
探究3：如果在某个区间内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内有什么特征？
【提示】特别的，如果在某个区间内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内是常函数．
探究4：求解函数y=f(x)单调区间的步骤：
（1）确定函数y=f(x)的定义域；
（2）求导数y'=f'(x)；
（3）解不等式f'(x)＞0，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式f'(x)＜0，解集在定义域内的部分为减区间．
2、例题讲解
例1．
已知导函数f'(x)的下列信息：
当时，1＜x＜4，f'(x)＞0:；
试画出函数y=f(x)图像的大致形状．
如图1.3-4
【设计意图】让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的。这是今后利用导函数研究函数的必备技能。这里让学生切实理解，为今后学习扫清障碍！
例2．
判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
因此，在R上单调递增，如图1.3-5（1）所示．
‍、
函数的图像如图1.3-5（2）所示．
函数的图像如图1.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练
总结提升
根据导数确定函数的单调性步骤：
1.确定函数f(x)的定义域.
2.求出函数的导数.
3.解不等式f´(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f´(x)<0,得函数单减区间.
【设计意图】学会如何用导数求单调区间，同时再次验证用导数求导与图像求导的结果的一致性！
例3．
如图1.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
解析：
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．
如图1.3-7所示，函数图像“陡峭”‍
三、复习总结和作业布置
1、课堂练习
1．函数y=3x－x3的单调增区间是 ( )
(A) (0，+∞) (B) (－∞，－1)
(C) (－1，1) (D) (1，+∞)
【设计意图】应用新知识解决之前不能解决的问题。
从中掌握如何具体的应用导数解决函数单调性问题。
①从算法角度明确如何操作，更清晰，易掌握
②渗透算法思想，多题归一思想，提高学习效率
③培养解题后反思意识
2．设f(x)=x＋(x<0)，则f(x)的单调增区间是 ( )
(A) (－∞，－2)
(B) (－2，0)
(C) (－∞，－ )
(D) (－，0)
3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是 ( )
(A)单调增函数
(B)单调减函数
(C) 在(0, )上是减函数，在( , 1)上是增函数
(D) 在(, 1)上是减函数，在(0,)上是增函数
4．函数y=x2(x+3)的减区间是 ___________ ，增区间是 ___________ .
5．函数f(x)=cs2x的单调区间是 ___________ 。
课堂练习【参考答案】
1.C
2.C
3.C
4.答案(－2，0) ；(－∞，－2)及(0，+∞)
5.答案
课堂小结
1.求可导函数f(x)单调区间的步骤：
课后习题
1、复习本节课所讲内容
2、预习下一节课内容
3、课本 P31 习题1.3 A组1,2,3.