湘教九下数学 考点综合专题：圆与其他知识的综合

考点综合专题：圆与其他知识的综合

——几几结合，代几结合，掌握中考风向标

类型一　圆与平面直角坐标系的综合

1．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

第1题图   　     第2题图          第3题图

2．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴，y轴交于B，C两点，已知B(8，0)，C(0，6)，则⊙A的半径为________．

3．(2016·泸州中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是________．

类型二　圆与三角函数的综合

4．(2016·衢州中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

第4题图                 第5题图

5．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sinC＞sinD；②cosC＞cosD；③tanC＞tanD中，正确的结论为________(填序号)．

6．如图，已知点A，B，C在⊙O上，且点B是的中点，当OA＝5cm，cos∠OAB＝时．

(1)求△OAB的面积；

(2)连接AC，求弦AC的长．

类型三　圆与特殊四边形的综合

7．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD相切，若正方形ABCD的边长为2，则⊙O的半径为(　　)

A．1  B.  C.  D.

第7题图         第8题图           第9题图  

8．(2016·山西中考)如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为(　　)

A.  B.  C．π  D．2π

9．★★(2016·淄博中考)如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为______________．

10.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心O在AC上，∠A＝30°，D为的中点．

(1)求证：AB＝BC；

(2)试判断四边形BOCD的形状，并说明理由．

类型四　圆与相似的综合

11．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件错误的是(　　)

A．∠ACD＝∠DAB  B．AD＝DE

C．AD2＝BD·CD  D．CD·AB＝AC·BD

第11题图         第12题图     

12．(2016·丽水中考)如图，⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是(　　)

A．3  B．2  C．1  D．1.2

13．如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，已知PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝2cm，那么PD＝________cm.

14．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝∠BAC.

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)求证：AC2＝AD·AB；

(3)若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．

类型五　圆与函数的综合

15．(2016·衡阳中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标为A(－，0)，B(，0)，C(0，3)．

(1)求△ABC内切圆⊙D的半径；

(2)过点E(0，－1)的直线与⊙D相切于点F(点F在第一象限)，求直线EF的解析式．

参考答案与解析

1．B　2.5

3．6　解析：∵A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a>0)，∴AB＝1－(1－a)＝a，CA＝a＋1－1＝a，∴AB＝AC.∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a.如图，延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大．∵A(1，0)，D(4，4)，∴AD＝5，∴AP′＝5＋1＝6，∴a的最大值为6.

4．A

5．①③　解析：设BD交⊙O于点E，连接AE.∵∠C＝∠AEB，∠AEB＞∠D，∴∠C＞∠D，∴sinC＞sinD，cosC＜cosD，tanC＞tanD，∴正确的结论有①③.

6．解：(1)过O作OH⊥AB于H.∵OA＝5cm，cos∠OAB＝，∴AH＝OA·cos∠OAB＝3cm，∴OH＝4cm，AB＝2AH＝6cm，∴S△OAB＝AB·OH＝12cm2；

(2)设AC交OB于M.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴sin∠OBA＝.∵B是的中点，∴＝，∴AB＝BC.∵OA＝OC，∴OB垂直平分AC.∴AM＝AB·sin∠MBA＝6×＝(cm)，∴AC＝2AM＝cm.

7．D

8．C　解析：连接OE，OF.∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°.∵OA＝OF，∴∠A＝∠OFA＝60°，∴∠DFO＝120°，∴∠EOF＝360°－∠D－∠DFO－∠DEO＝30°，∴l＝＝π.故选C.

9．4或或　解析：第一种情况：如图①，过点O作直线l的垂线，交AD于E，交BC于F，过点A作AG⊥直线l于点G，由题意得EF＝2＋4＝6，四边形AGFE为矩形，∴AG＝EF＝6.在Rt△ABG中，AB＝＝＝4；

第二种情况：如图②，过点O作OE⊥l于点E，过点D作DF⊥l于点F，则OE＝4，DF＝2.在Rt△DCF中，DC＝＝DF＝；

第三种情况：如图③，过点O作EF垂直于BA延长线于点E，交CD于点F，过点A作AG⊥CD于点G，则AG＝EF＝4.在Rt△AFG中，AF＝＝AG＝.故答案为4或或.

10．(1)证明：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA＝90°，∠AOB＝90°－30°＝60°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠AOB＝30°＝∠A，∴AB＝BC；

(2)解：四边形BOCD为菱形．理由如下：连接OD交BC于点M.∵D是的中点，∴OD垂直平分BC.在Rt△OMC中，∵∠OCM＝30°，∴OC＝2OM＝OD，∴OM＝MD，∴四边形BOCD为菱形．

11．D

12．C　解析：∵等腰Rt△ABC中BC＝4，∴AC＝BC＝4，AB＝4.∵AB为⊙O的直径，∴∠D＝90°.在Rt△ABD中，AD＝，AB＝4，∴BD＝.∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∴＝＝＝.设AE＝x，则BE＝5x，∴DE＝－5x，∴CE＝28－25x.∵AC＝4，∴x＋28－25x＝4，解得x＝1.故选C.

13．6　解析：连接AC，DB.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△APC∽△DPB，∴＝，∴PD＝＝＝6(cm)．

14．(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵∠DAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC.又∵AD⊥EF，∴OC⊥EF，∴EF是⊙O的切线；

(2)证明：连接BC，则∠ACB＝90°.∵∠DAC＝∠BAC，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ABC∽△ACD，∴＝，即AC2＝AD·AB；

(3)解：由(1)知∠ACD＋∠ACO＝90°.∵∠ACD＝30°，∴∠OCA＝60°.∵OC＝OA，∴△ACO是等边三角形，∴AC＝OC＝2，∠AOC＝60°.在Rt△ADC中，∵∠ACD＝30°，∴AD＝1，CD＝.∴S阴影＝S梯形OCDA－S扇形OCA＝×(1＋2)×－＝－π.

15．解：(1)连接BD.∵B点坐标为(，0)，C点坐标为(0，3)，∴OB＝，OC＝3，∴tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝60°.∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠CBO，∴∠DBO＝30°，∴OD＝OB·tan30°＝1，即△ABC内切圆⊙D的半径为1；

(2)连接DF，过点F作FG⊥y轴于点G.∵E点坐标为(0，－1)，∴OE＝1，DE＝2.∵直线EF与⊙D相切，∴∠DFE＝90°，DF＝1，∴sin∠DEF＝＝，∴∠DEF＝30°，∴∠GDF＝60°，∠DFG＝30°.在Rt△DGF中，∵∠DFG＝30°，∴DG＝DF＝，GF＝，∴点F的坐标为.设直线EF的解析式为y＝kx＋b，代入点E，F的坐标得解得∴直线EF的解析式为y＝x－1.