湘教九下数学 解题技巧专题：解决抛物线中与系数a，b，c有关的问题

解题技巧专题：解决抛物线中

与系数a，b，c有关的问题

类型一　由某一函数的图象确定其他函数图象的位置【方法5】

1．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)

2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则直线y＝abx＋c的图象不经过(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

第2题图           第3题图             第4题图

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象大致为(　　)

4．★如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是(　　)

类型二　由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值

5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①4ac<b2；②a＋c>b；③2a＋b>0.其中正确的有(　　)

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

6．(2017·成都中考)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．abc＜0，b2－4ac＞0

B．abc＞0，b2－4ac＞0

C．abc＜0，b2－4ac＜0

D．abc＞0，b2－4ac＜0

7．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，给出下列4个结论：①c>0；②若点B，C为函数图象上的两点，则y1<y2；③2a－b＝0；④<0.其中正确结论的个数是(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

第7题图             第8题图

8．(2017·安顺中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列4个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)．其中正确结论的个数是(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

9．★二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．

参考答案与解析

1．C　2.D　3.B

4．A　解析：∵一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，∴方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个不相等的根，分别为点P，Q的横坐标xP，xQ.∴函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象与x轴有两个交点，分别为(xP，0)，(xQ，0)．∵xP＞0，xQ＞0，∴选项A符合条件．故选A.

5．B　6.B

7．B　解析：由抛物线交y轴于正半轴，可知c>0，故①正确；∵对称轴为直线x＝－1，抛物线开口向下，－<－<－1，∴y1>y2，故②错误；∵对称轴为直线x＝－1，∴－＝－1，即2a－b＝0，故③正确；由函数图象可知抛物线最高点的纵坐标大于0，∴>0，故④错误．综上所述，正确的结论有2个．故选B.

8．C　解析：∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，∴4ac－b2＜0，∴①正确；∵－＝－1，∴b＝2a.∵当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0，∴b＋b＋c＜0，∴3b＋2c＜0，∴②是正确；∵当x＝－2时，y＞0，∴4a－2b＋c＞0，∴4a＋c＞2b，∴③错误；∵由图象可知当x＝－1时该二次函数取得最大值，∴a－b＋c＞am2＋bm＋c(m≠－1)，∴m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)，∴④正确．∴正确的结论有①②④.故选C.

9．思路点拨：先根据图象判断出2a＋b，3b－2c，2a－b，3b＋2c的正负，然后将P，Q去绝对值，再用作差法来比较两数的大小．

解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0.∵－＞0，∴b＞0，∴2a－b＜0.∵－＝1，∴b＋2a＝0.当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，∴－b－b＋c＜0，∴3b－2c＞0.∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b＋2c＞0，∴P＝3b－2c，Q＝b－2a－3b－2c＝－2a－2b－2c，∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b＜0.∴P＞Q.