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2021年辽宁省朝阳市中考数学二模试卷 及答案
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这是一份2021年辽宁省朝阳市中考数学二模试卷 及答案，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省朝阳市中考数学二模试卷
一、（每小题3分，共30分）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C． D．
2．如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．2﹣＝2 C．2×3＝6 D．＝
4．直线AB∥CD，且AD⊥BC于点E，若∠ABE＝32°，则∠ADC的度数为（ ）
A．68° B．58° C．48° D．38°
5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一平面直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
6．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）
A．平均分 B．方差 C．中位数 D．极差
7．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25° B．20° C．30° D．35°
8．下列一次函数图象同时经过第三象限和第四象限的是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝2x+1 C．y＝﹣2x+1 D．y＝2x﹣1
9．沈阳至长白山高速铁路2020年10月16日正式开工，新建铁路长428千米，原来沈阳到长白山普通铁路长约是642千米，若高铁速度是普通列车平均速度的4倍，建成提速后沈阳到长白山运行时间能缩短10小时．若设普通列车的运行平均速度是x千米/时，可列出方程为（ ）
A．＝﹣10 B．＝+10
C．＝+10 D．＝+10
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG，EF．下列结论：①∠EFG＝45°；②△AEG的周长为8；③△CEG∽△AFG；④△CEG的面积为6.8．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．因式分解：12﹣3x2＝ ．
12．在﹣4，﹣1，0，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2+4x﹣2中a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是 ．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为 cm．
14．在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是 ．
15．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 ．
16．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 ．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝（1﹣）0﹣（）﹣1．
18．为了纪念抗美援朝胜利七十周年，某校开展“新时代维承和弘扬伟大的抗美援朝精神”的知识竞赛，经选拔后有50名学生参加了50个单项选择题的笔试，若答对一题得1分，不答或错答不得分，低于30分为合格，不低于30分但低于45分为良好，不低于45分为优秀．根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图以及扇形统计图如下：
频数分布表
组别
成绩x（分）
频数（人数）
第1组
25≤x＜30
4
第2组
30≤x＜35
8
第3组
35≤x＜40
16
第4组
40≤x＜45
a
第5组
45≤x＜50
10
（1）求表中a的值．
（2）请把频数分布直方图和扇形图补充完整．
（3）如果这50名同学成绩的众数有且只有35分，而恰好成绩中没有37、38、39分，请你分析测试成绩的中位数是多少？
19．为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校准备开展“趣味运动会”比赛活动，比赛项目有：“两人三足”、“春种秋收”、“穿越火线”、“摸石过河”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个运动项目），将A，B，C，D这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小艺和小文参加趣味比赛项目，比赛时小艺先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小文从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动项目比赛．
（1）小文参加“穿越火线”的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求小艺和小文参加两个不同项目的概率．
20．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
21．如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD的高度．已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC＝18米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，求乙栋楼房CD的高度（结果保留根号）．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AF＝4，AB＝12，求AD的长．
23．某团体设计生产了一批运动服，每套的成本是65元，为了合理定价，先投放市场进行试销，要求批发价不得低于成本．据市场调查，每天的销售量y（件）与批发价x（元）之间的关系如图所示：
（1）设批发价为x（元），每天的销售量为y（件），请写出y与x的函数关系式，并求出当批发价为80元时，每天的销量是多少？
（2）求出每天的销售利润w（元）与批发价x（元）之间的函数关系式；如果该企业每天的成本不超过39000，那么批发价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的成本＝每套成本×每天的销售量）．
24．如图：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，经过点A的直线MN∥BC，D是直线MN上的一个动点，射线DB绕点D逆时针旋转90°交直线AC于点E．
（1）若∠ABC＝45°．
①如图1，当点E在线段AC上时，直接写出线段AB，AE，AD之间的数量关系，不用证明；
②如图2，当点E在线段AC的延长线上时，①中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出正确结论，并证明．
（2）如图3，若∠ABC＝60°，BC＝8，AE＝2，其他条件不变，直接写出AD的长．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、（每小题3分，共30分）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C． D．
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
解：＝3，
则由无理数的定义可知，属于无理数的是．
故选：D．
2．如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．2﹣＝2 C．2×3＝6 D．＝
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算判断得出答案．
解：A.+，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不合题意；
B.2﹣＝，故此选项不合题意；
C.2×3＝18，故此选项不合题意；
D.÷＝，故此选项符合题意；
故选：D．
4．直线AB∥CD，且AD⊥BC于点E，若∠ABE＝32°，则∠ADC的度数为（ ）
A．68° B．58° C．48° D．38°
【分析】根直线AB∥CD，可得∠ABE＝∠DCE＝32°，再根据AD⊥BC于点E，可得∠CED＝90°，∠ADC＝180°﹣∠DCE﹣∠CED，由此解答即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCE＝32°，
∵AD⊥BC于点E，
∴∠CED＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DCE﹣∠CED
＝180°﹣32°﹣90°
＝58°．
故选：B．
5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一平面直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【分析】根据各个小题中的函数图象，可以得到k1和k2的正负情况，从而可以判断k1•k2的正负情况，从而可以解答本题．
解：①中k1＞0，k2＞0，故k1•k2＞0，故①符合题意；
②中k1＜0，k2＞0，故k1•k2＜0，故②不符合题意；
③中k1＞0，k2＜0，故k1•k2＜0，故③不符合题意；
④中k1＜0，k2＜0，故k1•k2＞0，故④符合题意；
故选：B．
6．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）
A．平均分 B．方差 C．中位数 D．极差
【分析】根据中位数的实际意义，通过比较去掉最高分和最低分前后的数据变化进行判断即可．
解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，
因此中位数不变，
故选：C．
7．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25° B．20° C．30° D．35°
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝35°，
∴∠AOB＝2∠ADC＝70°，
∴∠ABO＝90°﹣70°＝20°．
故选：B．
8．下列一次函数图象同时经过第三象限和第四象限的是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝2x+1 C．y＝﹣2x+1 D．y＝2x﹣1
【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）中，k和b的符号分析函数图像所经过的象限，从而作出判断．
解：A、y＝﹣2x中，k＝﹣2＜0，函数图象经过第二、四象限，故此选项不符合题意；
B、y＝2x+1中k＝2＞0，b＝1＞0，函数图象经过第一、二、三象限，故此选项不符合题意；
C、y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，b＝1＞0，函数图象经过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
D、y＝2x﹣1中k＝2＞0，b＝﹣1＜0，函数图象经过第一、三、四象限，故此选项符合题意；
故选：D．
9．沈阳至长白山高速铁路2020年10月16日正式开工，新建铁路长428千米，原来沈阳到长白山普通铁路长约是642千米，若高铁速度是普通列车平均速度的4倍，建成提速后沈阳到长白山运行时间能缩短10小时．若设普通列车的运行平均速度是x千米/时，可列出方程为（ ）
A．＝﹣10 B．＝+10
C．＝+10 D．＝+10
【分析】设普通列车的运行平均速度是x千米/时，根据建成提速后沈阳到长白山运行时间能缩短10小时列方程即可得到结论．
解：设普通列车的运行平均速度是x千米/时，
可列方程为+10＝，
故选：B．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG，EF．下列结论：①∠EFG＝45°；②△AEG的周长为8；③△CEG∽△AFG；④△CEG的面积为6.8．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由“SAS”可证△EHF≌△CBE，可得EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，可证△CEF是等腰直角三角形，可得∠EFG＝45°，故①正确；
由勾股定理可求FC的长，通过证明△FPG∽△FQC，可求PG＝，由勾股定理可求EG的长，则可求△AEG的周长＝AG+EG+AE＝++3＝8，故②正确；
利用勾股定理可求FG长，可得GC的长，利用相似三角形的判定可证△CEG∽△AFG，故③正确；
先求出△EFC的面积，即可求△CEG的面积为6.8，故④正确．
解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝90°，
∵HF∥AD，
∴∠H＝90°，
∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，
∴∠AFH＝∠HAF＝45°．
∵AF＝，
∴AH＝HF＝1＝BE．
∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，
∴△EHF≌△CBE（SAS），
∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴HEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠EFG＝45°，故①正确；
在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，
∴EC2＝BE2+BC2＝17，
∴CF＝＝，
过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，
∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，
∴四边形APFH是矩形，
∵AH＝HF，
∴矩形AHFP是正方形，
∴AP＝PF＝AH＝1，
同理：四边形ABQP是矩形，
∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，
∵AD∥BC，
∴△FPG∽△FQC，
∴，
∴，
∴PG＝，
∴AG＝AP+PG＝，
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝＝，
∴△AEG的周长＝AG+EG+AE＝++3＝8，故②正确；
∵FG＝＝＝，
∴GC＝，
∵＝，＝＝，
∴，
又∵∠FAG＝∠ECF＝45°，
∴△CEG∽△AFG，故③正确；
∵S△EFC＝EC2＝，，
∴S△CEG＝×＝6.8，故④正确；
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．因式分解：12﹣3x2＝ 3（2﹣x）（2+x） ．
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
解：原式＝3（4﹣x2）
＝3（2+x）（2﹣x）．
故答案为：3（2+x）（2﹣x）．
12．在﹣4，﹣1，0，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2+4x﹣2中a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是 ．
【分析】二次函数图象开口向上得出a＞0，从所列5个数中找到a＞0的个数，再根据概率公式求解可得．
解：∵从﹣4，﹣1，0，2，3五个数中随机选取一个数，共有5种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有2、3这2种结果，
∴该二次函数图象开口向上的概率为，
故答案为：．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为 6 cm．
【分析】根据矩形的性质即可求出答案．
解：在矩形ABCD中，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠OCB＝30°，
∵DC＝3cm，
∴AB＝CD＝3cm，
在Rt△ACB中，
AC＝2AB＝6cm，
故答案为：6
14．在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是 （4，8）或（﹣4，﹣8） ．
【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以2或﹣2得到其对应点A1的坐标．
解：∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，
而点A的坐标为（2，4），
∴点A对应点A1的坐标为（2×2，2×4）或（﹣2×2，﹣2×4），
即（4，8）或（﹣4，﹣8）．
故答案为（4，8）或（﹣4，﹣8）．
15．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 57 ．
【分析】根据图形的变化规律即可得第⑦个图形中菱形的个数．
解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；
第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；
第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；
…，
按此规律排列下去，
所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．
故答案为：57．
16．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 2﹣2 ．
【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．
解：如图，连接BE，BD．
由题意BD＝＝2，
∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，
∴BE＝MN＝2，
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为2﹣2．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2﹣2确定最小值）
故答案为2﹣2．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝（1﹣）0﹣（）﹣1．
【分析】根据分式的加减运算法则，乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可求出答案．
解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝，
当x＝（1﹣）0﹣（）﹣1＝1﹣2＝﹣1时，
∴原式＝＝1．
18．为了纪念抗美援朝胜利七十周年，某校开展“新时代维承和弘扬伟大的抗美援朝精神”的知识竞赛，经选拔后有50名学生参加了50个单项选择题的笔试，若答对一题得1分，不答或错答不得分，低于30分为合格，不低于30分但低于45分为良好，不低于45分为优秀．根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图以及扇形统计图如下：
频数分布表
组别
成绩x（分）
频数（人数）
第1组
25≤x＜30
4
第2组
30≤x＜35
8
第3组
35≤x＜40
16
第4组
40≤x＜45
a
第5组
45≤x＜50
10
（1）求表中a的值．
（2）请把频数分布直方图和扇形图补充完整．
（3）如果这50名同学成绩的众数有且只有35分，而恰好成绩中没有37、38、39分，请你分析测试成绩的中位数是多少？
【分析】（1）根据各组频数之和等于样本容量可求出a的值；
（2）根据各组的频数即可补全频数分布直方图，计算出“优秀”“良好”所占的百分比即可补全扇形统计图；
（3）根据中位数的意义以及各组的频数进行判断即可．
解：（1）a＝50﹣4﹣8﹣16﹣10＝12（人），
答：a＝12；
（2）根据各组的频数即可补全频数分布直方图，
样本中“优秀”所占的百分比为10÷50×100%＝20%，
样本中“良好”所占的百分比为（8+16+12）÷50×100%＝72%，
补全扇形统计图如下：
（3）根据各组的频数可知，中位数一定在第3组（35≤x＜40）中，
又因为该组成绩中没有37、38、39分，
所以该组成绩只有35分和36分，
又因为这50名同学成绩的众数有且只有35分，
所以35分的至少有13人，
当35分的人数正好是13人时，中位数是＝35.5（分），
当35分的人数大于13人时，中位数是36分，
答：中位数是35.5分或36分．
19．为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校准备开展“趣味运动会”比赛活动，比赛项目有：“两人三足”、“春种秋收”、“穿越火线”、“摸石过河”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个运动项目），将A，B，C，D这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小艺和小文参加趣味比赛项目，比赛时小艺先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小文从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动项目比赛．
（1）小文参加“穿越火线”的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求小艺和小文参加两个不同项目的概率．
【分析】（1）共有4个不同的比赛项目，小文参加“穿越火线”的只有1种，可求出相应的概率；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，再得出“两人参加不同项目”的结果情况，进而求出概率即可．
解：（1）一共有4个不同的比赛项目，小文参加“穿越火线”的只有1种，
所以小文参加“穿越火线”的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有16种能可能出现的结果情况，其中两人参加项目不同的有12种，
所以两人参加不同项目的概率为＝．
20．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额＝每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10．
要使顾客得到实惠，应取x＝5．
答：每千克水果应涨价5元．
21．如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD的高度．已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC＝18米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，求乙栋楼房CD的高度（结果保留根号）．
【分析】由三角函数定义求出DE＝BE×tan30°＝18，证出△ABC是等腰直角三角形，得出CE＝AB＝AC＝18，进而得出答案．
解：如图所示：
由题意得：BE＝AC＝18，CE＝AB，∠DBE＝30°，∠CBE＝45°，
在Rt△EDB中，∠DBE＝30°，＝tan30°，
∴DE＝BE×tan30°＝18×＝18，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣45°＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CE＝AB＝AC＝18，
∴CD＝DE+CE＝18+18；
答：乙栋楼房CD的高度为（18+18）米．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AF＝4，AB＝12，求AD的长．
【分析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出结论；
（2）通过证明△DAB∽△FAD，可得＝，所以AD2＝AB•AF＝12×4＝48，可得结论．
解：（1）如图，连接OD，
则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接EF，
∵AE是直径，
∴∠AFE＝90°＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
又∵∠OAD＝∠CAD，
∴△DAB∽△FAD，
∴＝，
∴AD2＝AB•AF＝12×4＝48，
∴AD＝4．
23．某团体设计生产了一批运动服，每套的成本是65元，为了合理定价，先投放市场进行试销，要求批发价不得低于成本．据市场调查，每天的销售量y（件）与批发价x（元）之间的关系如图所示：
（1）设批发价为x（元），每天的销售量为y（件），请写出y与x的函数关系式，并求出当批发价为80元时，每天的销量是多少？
（2）求出每天的销售利润w（元）与批发价x（元）之间的函数关系式；如果该企业每天的成本不超过39000，那么批发价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的成本＝每套成本×每天的销售量）．
【分析】（1）设y＝kx+b，把（105，600）（110，500）代入即可得到解析式；再把x＝80代入解析式可得销量；
（2）根据w＝每件服装的利润×销售量可得解析式；根据成本计算x的取值范围再利用二次函数的性质可得答案．
解：（1）设y＝kx+b，把（105，600）（110，500）代入可得
，解得，
所以y与x的函数关系式是y＝﹣20x+2700，
当x＝80时，y＝﹣20×80+2700＝1100（件）．
（2）w＝（x﹣65）（﹣20x+2700）＝﹣20x2+4000x﹣175500，
∵成本不超过39000，
∴65（﹣20x+2700）≤39000，解得x≥105，
∵w＝（x﹣65）（﹣20x+2700）＝﹣20（x﹣100）2+24500，
对称轴是x＝100，开口向下，
∴当x＝105时，w最大是24000元．
答：批发价为105元时，每天的销售利润最大，最大利润是24000元．
24．如图：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，经过点A的直线MN∥BC，D是直线MN上的一个动点，射线DB绕点D逆时针旋转90°交直线AC于点E．
（1）若∠ABC＝45°．
①如图1，当点E在线段AC上时，直接写出线段AB，AE，AD之间的数量关系，不用证明；
②如图2，当点E在线段AC的延长线上时，①中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出正确结论，并证明．
（2）如图3，若∠ABC＝60°，BC＝8，AE＝2，其他条件不变，直接写出AD的长．
【分析】（1）①结论：AB﹣AE＝AD．如图1中，过点D作DF⊥MN交AB于点F，设DE交AB于点O．证明△ADE≌△FDB（AAS），推出AE＝BF，可得结论．
②结论不成立．结论：AE﹣AB＝AD．过点D作DT⊥MN交BA的延长线于T，设AC交BD于点J．证明△ADE≌△TDB（AAS），推出AE＝BT，可得结论．
（2）如图3中，过点D作DK⊥AD交BA的延长线于点K，设AE交BD于点Q．证明△BDK∽△EDA，推出＝＝，推出BK＝AE＝6，求出AK，可得结论．
解：（1）①结论：AB﹣AE＝AD．
理由：如图1中，过点D作DF⊥MN交AB于点F，设DE交AB于点O．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵DF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝∠FAD＝45°，
∴DA＝DF，AF＝AD，
∵∠EAO＝∠ODB＝90°，∠AOE＝∠DOB，
∴∠AED＝∠FBD，
∴△ADE≌△FDB（AAS），
∴AE＝BF，
∴AB﹣AE＝AB﹣BF＝AF＝AD．
②结论不成立．结论：AE﹣AB＝AD．
理由：过点D作DT⊥MN交BA的延长线于T，设AC交BD于点J．
∵BC∥MN，
∴∠DAT＝∠ABC＝45°，
∵DT⊥DA，
∴∠ADT＝90°，
∴∠T＝∠DAT＝45°，
∴DA＝DT，AT＝AD，
∵∠BDE＝∠ADT＝90°，
∴∠ADE＝∠TDB，
∵∠EDJ＝∠JAB＝90°，∠DJE＝∠AJB，
∴∠DEJ＝∠ABJ，
∴△ADE≌△TDB（AAS），
∴AE＝BT，
∴AE＝AB＝BT﹣AB＝AT＝AD．
（2）如图3中，过点D作DK⊥AD交BA的延长线于点K，设AE交BD于点Q．
∵BC∥MN，
∴∠DAK＝∠ABC＝60°，
∵DK⊥AD，
∴∠ADK＝90°，
∴DK＝AD，
∵∠EDB＝∠ADK＝90°，
∴∠EDA＝∠KDB，
∵∠EQD＝∠BQA，∠EDQ＝∠QAB＝90°，
∴∠DEA＝∠DBK，
∴△BDK∽△EDA，
∴＝＝，
∴BK＝AE＝6，
∵∠BCA＝90°﹣∠ABC＝30°，BC＝8，∠CAB＝90°，
∴AB＝BC＝4，
∴AK＝BK﹣BC＝2，
∵∠K＝90°﹣∠DAK＝30°，
∴AD＝AK＝1．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接将A（﹣2，0）和点B（8，0）代入y＝ax2+bx+8（a≠0），解出a，b的值即可得出答案；
（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线解析式为：；
（2）当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，
∵，
∴，
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
设，
∴F（t，﹣t+8），
∴，
∴，
即，
∴t1＝2，t2＝6，
∴P1（2，12），P2（6，8）；
（3）存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．
∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，
∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为5，
∴E（3，5），
设，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，
△NME∽△COB，则，
解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8），
②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，
则，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；
③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
此时△MNE与△COB相似，
此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称，
设M（3，m），
则m﹣8＝8﹣5，
解得m＝11，
∴M（3，11）；
此时点M的坐标为（3，11）；
故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．
2021年辽宁省朝阳市中考数学二模试卷
一、（每小题3分，共30分）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C． D．
2．如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．2﹣＝2 C．2×3＝6 D．＝
4．直线AB∥CD，且AD⊥BC于点E，若∠ABE＝32°，则∠ADC的度数为（ ）
A．68° B．58° C．48° D．38°
5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一平面直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
6．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）
A．平均分 B．方差 C．中位数 D．极差
7．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25° B．20° C．30° D．35°
8．下列一次函数图象同时经过第三象限和第四象限的是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝2x+1 C．y＝﹣2x+1 D．y＝2x﹣1
9．沈阳至长白山高速铁路2020年10月16日正式开工，新建铁路长428千米，原来沈阳到长白山普通铁路长约是642千米，若高铁速度是普通列车平均速度的4倍，建成提速后沈阳到长白山运行时间能缩短10小时．若设普通列车的运行平均速度是x千米/时，可列出方程为（ ）
A．＝﹣10 B．＝+10
C．＝+10 D．＝+10
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG，EF．下列结论：①∠EFG＝45°；②△AEG的周长为8；③△CEG∽△AFG；④△CEG的面积为6.8．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．因式分解：12﹣3x2＝ ．
12．在﹣4，﹣1，0，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2+4x﹣2中a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是 ．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为 cm．
14．在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是 ．
15．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 ．
16．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 ．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝（1﹣）0﹣（）﹣1．
18．为了纪念抗美援朝胜利七十周年，某校开展“新时代维承和弘扬伟大的抗美援朝精神”的知识竞赛，经选拔后有50名学生参加了50个单项选择题的笔试，若答对一题得1分，不答或错答不得分，低于30分为合格，不低于30分但低于45分为良好，不低于45分为优秀．根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图以及扇形统计图如下：
频数分布表
组别
成绩x（分）
频数（人数）
第1组
25≤x＜30
4
第2组
30≤x＜35
8
第3组
35≤x＜40
16
第4组
40≤x＜45
a
第5组
45≤x＜50
10
（1）求表中a的值．
（2）请把频数分布直方图和扇形图补充完整．
（3）如果这50名同学成绩的众数有且只有35分，而恰好成绩中没有37、38、39分，请你分析测试成绩的中位数是多少？
19．为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校准备开展“趣味运动会”比赛活动，比赛项目有：“两人三足”、“春种秋收”、“穿越火线”、“摸石过河”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个运动项目），将A，B，C，D这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小艺和小文参加趣味比赛项目，比赛时小艺先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小文从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动项目比赛．
（1）小文参加“穿越火线”的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求小艺和小文参加两个不同项目的概率．
20．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
21．如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD的高度．已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC＝18米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，求乙栋楼房CD的高度（结果保留根号）．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AF＝4，AB＝12，求AD的长．
23．某团体设计生产了一批运动服，每套的成本是65元，为了合理定价，先投放市场进行试销，要求批发价不得低于成本．据市场调查，每天的销售量y（件）与批发价x（元）之间的关系如图所示：
（1）设批发价为x（元），每天的销售量为y（件），请写出y与x的函数关系式，并求出当批发价为80元时，每天的销量是多少？
（2）求出每天的销售利润w（元）与批发价x（元）之间的函数关系式；如果该企业每天的成本不超过39000，那么批发价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的成本＝每套成本×每天的销售量）．
24．如图：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，经过点A的直线MN∥BC，D是直线MN上的一个动点，射线DB绕点D逆时针旋转90°交直线AC于点E．
（1）若∠ABC＝45°．
①如图1，当点E在线段AC上时，直接写出线段AB，AE，AD之间的数量关系，不用证明；
②如图2，当点E在线段AC的延长线上时，①中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出正确结论，并证明．
（2）如图3，若∠ABC＝60°，BC＝8，AE＝2，其他条件不变，直接写出AD的长．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、（每小题3分，共30分）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C． D．
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
解：＝3，
则由无理数的定义可知，属于无理数的是．
故选：D．
2．如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．2﹣＝2 C．2×3＝6 D．＝
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算判断得出答案．
解：A.+，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不合题意；
B.2﹣＝，故此选项不合题意；
C.2×3＝18，故此选项不合题意；
D.÷＝，故此选项符合题意；
故选：D．
4．直线AB∥CD，且AD⊥BC于点E，若∠ABE＝32°，则∠ADC的度数为（ ）
A．68° B．58° C．48° D．38°
【分析】根直线AB∥CD，可得∠ABE＝∠DCE＝32°，再根据AD⊥BC于点E，可得∠CED＝90°，∠ADC＝180°﹣∠DCE﹣∠CED，由此解答即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCE＝32°，
∵AD⊥BC于点E，
∴∠CED＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DCE﹣∠CED
＝180°﹣32°﹣90°
＝58°．
故选：B．
5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一平面直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【分析】根据各个小题中的函数图象，可以得到k1和k2的正负情况，从而可以判断k1•k2的正负情况，从而可以解答本题．
解：①中k1＞0，k2＞0，故k1•k2＞0，故①符合题意；
②中k1＜0，k2＞0，故k1•k2＜0，故②不符合题意；
③中k1＞0，k2＜0，故k1•k2＜0，故③不符合题意；
④中k1＜0，k2＜0，故k1•k2＞0，故④符合题意；
故选：B．
6．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）
A．平均分 B．方差 C．中位数 D．极差
【分析】根据中位数的实际意义，通过比较去掉最高分和最低分前后的数据变化进行判断即可．
解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，
因此中位数不变，
故选：C．
7．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25° B．20° C．30° D．35°
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝35°，
∴∠AOB＝2∠ADC＝70°，
∴∠ABO＝90°﹣70°＝20°．
故选：B．
8．下列一次函数图象同时经过第三象限和第四象限的是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝2x+1 C．y＝﹣2x+1 D．y＝2x﹣1
【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）中，k和b的符号分析函数图像所经过的象限，从而作出判断．
解：A、y＝﹣2x中，k＝﹣2＜0，函数图象经过第二、四象限，故此选项不符合题意；
B、y＝2x+1中k＝2＞0，b＝1＞0，函数图象经过第一、二、三象限，故此选项不符合题意；
C、y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，b＝1＞0，函数图象经过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
D、y＝2x﹣1中k＝2＞0，b＝﹣1＜0，函数图象经过第一、三、四象限，故此选项符合题意；
故选：D．
9．沈阳至长白山高速铁路2020年10月16日正式开工，新建铁路长428千米，原来沈阳到长白山普通铁路长约是642千米，若高铁速度是普通列车平均速度的4倍，建成提速后沈阳到长白山运行时间能缩短10小时．若设普通列车的运行平均速度是x千米/时，可列出方程为（ ）
A．＝﹣10 B．＝+10
C．＝+10 D．＝+10
【分析】设普通列车的运行平均速度是x千米/时，根据建成提速后沈阳到长白山运行时间能缩短10小时列方程即可得到结论．
解：设普通列车的运行平均速度是x千米/时，
可列方程为+10＝，
故选：B．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG，EF．下列结论：①∠EFG＝45°；②△AEG的周长为8；③△CEG∽△AFG；④△CEG的面积为6.8．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由“SAS”可证△EHF≌△CBE，可得EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，可证△CEF是等腰直角三角形，可得∠EFG＝45°，故①正确；
由勾股定理可求FC的长，通过证明△FPG∽△FQC，可求PG＝，由勾股定理可求EG的长，则可求△AEG的周长＝AG+EG+AE＝++3＝8，故②正确；
利用勾股定理可求FG长，可得GC的长，利用相似三角形的判定可证△CEG∽△AFG，故③正确；
先求出△EFC的面积，即可求△CEG的面积为6.8，故④正确．
解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝90°，
∵HF∥AD，
∴∠H＝90°，
∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，
∴∠AFH＝∠HAF＝45°．
∵AF＝，
∴AH＝HF＝1＝BE．
∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，
∴△EHF≌△CBE（SAS），
∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴HEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠EFG＝45°，故①正确；
在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，
∴EC2＝BE2+BC2＝17，
∴CF＝＝，
过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，
∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，
∴四边形APFH是矩形，
∵AH＝HF，
∴矩形AHFP是正方形，
∴AP＝PF＝AH＝1，
同理：四边形ABQP是矩形，
∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，
∵AD∥BC，
∴△FPG∽△FQC，
∴，
∴，
∴PG＝，
∴AG＝AP+PG＝，
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝＝，
∴△AEG的周长＝AG+EG+AE＝++3＝8，故②正确；
∵FG＝＝＝，
∴GC＝，
∵＝，＝＝，
∴，
又∵∠FAG＝∠ECF＝45°，
∴△CEG∽△AFG，故③正确；
∵S△EFC＝EC2＝，，
∴S△CEG＝×＝6.8，故④正确；
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．因式分解：12﹣3x2＝ 3（2﹣x）（2+x） ．
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
解：原式＝3（4﹣x2）
＝3（2+x）（2﹣x）．
故答案为：3（2+x）（2﹣x）．
12．在﹣4，﹣1，0，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2+4x﹣2中a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是 ．
【分析】二次函数图象开口向上得出a＞0，从所列5个数中找到a＞0的个数，再根据概率公式求解可得．
解：∵从﹣4，﹣1，0，2，3五个数中随机选取一个数，共有5种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有2、3这2种结果，
∴该二次函数图象开口向上的概率为，
故答案为：．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为 6 cm．
【分析】根据矩形的性质即可求出答案．
解：在矩形ABCD中，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠OCB＝30°，
∵DC＝3cm，
∴AB＝CD＝3cm，
在Rt△ACB中，
AC＝2AB＝6cm，
故答案为：6
14．在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是 （4，8）或（﹣4，﹣8） ．
【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以2或﹣2得到其对应点A1的坐标．
解：∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，
而点A的坐标为（2，4），
∴点A对应点A1的坐标为（2×2，2×4）或（﹣2×2，﹣2×4），
即（4，8）或（﹣4，﹣8）．
故答案为（4，8）或（﹣4，﹣8）．
15．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 57 ．
【分析】根据图形的变化规律即可得第⑦个图形中菱形的个数．
解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；
第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；
第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；
…，
按此规律排列下去，
所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．
故答案为：57．
16．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 2﹣2 ．
【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．
解：如图，连接BE，BD．
由题意BD＝＝2，
∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，
∴BE＝MN＝2，
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为2﹣2．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2﹣2确定最小值）
故答案为2﹣2．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝（1﹣）0﹣（）﹣1．
【分析】根据分式的加减运算法则，乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可求出答案．
解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝，
当x＝（1﹣）0﹣（）﹣1＝1﹣2＝﹣1时，
∴原式＝＝1．
18．为了纪念抗美援朝胜利七十周年，某校开展“新时代维承和弘扬伟大的抗美援朝精神”的知识竞赛，经选拔后有50名学生参加了50个单项选择题的笔试，若答对一题得1分，不答或错答不得分，低于30分为合格，不低于30分但低于45分为良好，不低于45分为优秀．根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图以及扇形统计图如下：
频数分布表
组别
成绩x（分）
频数（人数）
第1组
25≤x＜30
4
第2组
30≤x＜35
8
第3组
35≤x＜40
16
第4组
40≤x＜45
a
第5组
45≤x＜50
10
（1）求表中a的值．
（2）请把频数分布直方图和扇形图补充完整．
（3）如果这50名同学成绩的众数有且只有35分，而恰好成绩中没有37、38、39分，请你分析测试成绩的中位数是多少？
【分析】（1）根据各组频数之和等于样本容量可求出a的值；
（2）根据各组的频数即可补全频数分布直方图，计算出“优秀”“良好”所占的百分比即可补全扇形统计图；
（3）根据中位数的意义以及各组的频数进行判断即可．
解：（1）a＝50﹣4﹣8﹣16﹣10＝12（人），
答：a＝12；
（2）根据各组的频数即可补全频数分布直方图，
样本中“优秀”所占的百分比为10÷50×100%＝20%，
样本中“良好”所占的百分比为（8+16+12）÷50×100%＝72%，
补全扇形统计图如下：
（3）根据各组的频数可知，中位数一定在第3组（35≤x＜40）中，
又因为该组成绩中没有37、38、39分，
所以该组成绩只有35分和36分，
又因为这50名同学成绩的众数有且只有35分，
所以35分的至少有13人，
当35分的人数正好是13人时，中位数是＝35.5（分），
当35分的人数大于13人时，中位数是36分，
答：中位数是35.5分或36分．
19．为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校准备开展“趣味运动会”比赛活动，比赛项目有：“两人三足”、“春种秋收”、“穿越火线”、“摸石过河”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个运动项目），将A，B，C，D这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小艺和小文参加趣味比赛项目，比赛时小艺先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小文从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动项目比赛．
（1）小文参加“穿越火线”的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求小艺和小文参加两个不同项目的概率．
【分析】（1）共有4个不同的比赛项目，小文参加“穿越火线”的只有1种，可求出相应的概率；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，再得出“两人参加不同项目”的结果情况，进而求出概率即可．
解：（1）一共有4个不同的比赛项目，小文参加“穿越火线”的只有1种，
所以小文参加“穿越火线”的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有16种能可能出现的结果情况，其中两人参加项目不同的有12种，
所以两人参加不同项目的概率为＝．
20．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额＝每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10．
要使顾客得到实惠，应取x＝5．
答：每千克水果应涨价5元．
21．如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD的高度．已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC＝18米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，求乙栋楼房CD的高度（结果保留根号）．
【分析】由三角函数定义求出DE＝BE×tan30°＝18，证出△ABC是等腰直角三角形，得出CE＝AB＝AC＝18，进而得出答案．
解：如图所示：
由题意得：BE＝AC＝18，CE＝AB，∠DBE＝30°，∠CBE＝45°，
在Rt△EDB中，∠DBE＝30°，＝tan30°，
∴DE＝BE×tan30°＝18×＝18，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣45°＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CE＝AB＝AC＝18，
∴CD＝DE+CE＝18+18；
答：乙栋楼房CD的高度为（18+18）米．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AF＝4，AB＝12，求AD的长．
【分析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出结论；
（2）通过证明△DAB∽△FAD，可得＝，所以AD2＝AB•AF＝12×4＝48，可得结论．
解：（1）如图，连接OD，
则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接EF，
∵AE是直径，
∴∠AFE＝90°＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
又∵∠OAD＝∠CAD，
∴△DAB∽△FAD，
∴＝，
∴AD2＝AB•AF＝12×4＝48，
∴AD＝4．
23．某团体设计生产了一批运动服，每套的成本是65元，为了合理定价，先投放市场进行试销，要求批发价不得低于成本．据市场调查，每天的销售量y（件）与批发价x（元）之间的关系如图所示：
（1）设批发价为x（元），每天的销售量为y（件），请写出y与x的函数关系式，并求出当批发价为80元时，每天的销量是多少？
（2）求出每天的销售利润w（元）与批发价x（元）之间的函数关系式；如果该企业每天的成本不超过39000，那么批发价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的成本＝每套成本×每天的销售量）．
【分析】（1）设y＝kx+b，把（105，600）（110，500）代入即可得到解析式；再把x＝80代入解析式可得销量；
（2）根据w＝每件服装的利润×销售量可得解析式；根据成本计算x的取值范围再利用二次函数的性质可得答案．
解：（1）设y＝kx+b，把（105，600）（110，500）代入可得
，解得，
所以y与x的函数关系式是y＝﹣20x+2700，
当x＝80时，y＝﹣20×80+2700＝1100（件）．
（2）w＝（x﹣65）（﹣20x+2700）＝﹣20x2+4000x﹣175500，
∵成本不超过39000，
∴65（﹣20x+2700）≤39000，解得x≥105，
∵w＝（x﹣65）（﹣20x+2700）＝﹣20（x﹣100）2+24500，
对称轴是x＝100，开口向下，
∴当x＝105时，w最大是24000元．
答：批发价为105元时，每天的销售利润最大，最大利润是24000元．
24．如图：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，经过点A的直线MN∥BC，D是直线MN上的一个动点，射线DB绕点D逆时针旋转90°交直线AC于点E．
（1）若∠ABC＝45°．
①如图1，当点E在线段AC上时，直接写出线段AB，AE，AD之间的数量关系，不用证明；
②如图2，当点E在线段AC的延长线上时，①中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出正确结论，并证明．
（2）如图3，若∠ABC＝60°，BC＝8，AE＝2，其他条件不变，直接写出AD的长．
【分析】（1）①结论：AB﹣AE＝AD．如图1中，过点D作DF⊥MN交AB于点F，设DE交AB于点O．证明△ADE≌△FDB（AAS），推出AE＝BF，可得结论．
②结论不成立．结论：AE﹣AB＝AD．过点D作DT⊥MN交BA的延长线于T，设AC交BD于点J．证明△ADE≌△TDB（AAS），推出AE＝BT，可得结论．
（2）如图3中，过点D作DK⊥AD交BA的延长线于点K，设AE交BD于点Q．证明△BDK∽△EDA，推出＝＝，推出BK＝AE＝6，求出AK，可得结论．
解：（1）①结论：AB﹣AE＝AD．
理由：如图1中，过点D作DF⊥MN交AB于点F，设DE交AB于点O．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵DF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝∠FAD＝45°，
∴DA＝DF，AF＝AD，
∵∠EAO＝∠ODB＝90°，∠AOE＝∠DOB，
∴∠AED＝∠FBD，
∴△ADE≌△FDB（AAS），
∴AE＝BF，
∴AB﹣AE＝AB﹣BF＝AF＝AD．
②结论不成立．结论：AE﹣AB＝AD．
理由：过点D作DT⊥MN交BA的延长线于T，设AC交BD于点J．
∵BC∥MN，
∴∠DAT＝∠ABC＝45°，
∵DT⊥DA，
∴∠ADT＝90°，
∴∠T＝∠DAT＝45°，
∴DA＝DT，AT＝AD，
∵∠BDE＝∠ADT＝90°，
∴∠ADE＝∠TDB，
∵∠EDJ＝∠JAB＝90°，∠DJE＝∠AJB，
∴∠DEJ＝∠ABJ，
∴△ADE≌△TDB（AAS），
∴AE＝BT，
∴AE＝AB＝BT﹣AB＝AT＝AD．
（2）如图3中，过点D作DK⊥AD交BA的延长线于点K，设AE交BD于点Q．
∵BC∥MN，
∴∠DAK＝∠ABC＝60°，
∵DK⊥AD，
∴∠ADK＝90°，
∴DK＝AD，
∵∠EDB＝∠ADK＝90°，
∴∠EDA＝∠KDB，
∵∠EQD＝∠BQA，∠EDQ＝∠QAB＝90°，
∴∠DEA＝∠DBK，
∴△BDK∽△EDA，
∴＝＝，
∴BK＝AE＝6，
∵∠BCA＝90°﹣∠ABC＝30°，BC＝8，∠CAB＝90°，
∴AB＝BC＝4，
∴AK＝BK﹣BC＝2，
∵∠K＝90°﹣∠DAK＝30°，
∴AD＝AK＝1．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接将A（﹣2，0）和点B（8，0）代入y＝ax2+bx+8（a≠0），解出a，b的值即可得出答案；
（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线解析式为：；
（2）当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，
∵，
∴，
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
设，
∴F（t，﹣t+8），
∴，
∴，
即，
∴t1＝2，t2＝6，
∴P1（2，12），P2（6，8）；
（3）存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．
∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，
∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为5，
∴E（3，5），
设，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，
△NME∽△COB，则，
解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8），
②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，
则，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；
③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
此时△MNE与△COB相似，
此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称，
设M（3，m），
则m﹣8＝8﹣5，
解得m＝11，
∴M（3，11）；
此时点M的坐标为（3，11）；
故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．
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