2021年辽宁省本溪市中考数学二模试卷

这是一份2021年辽宁省本溪市中考数学二模试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答题（满分12分等内容，欢迎下载使用。

2021年辽宁省本溪市中考数学二模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣6的绝对值是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．4x•2x＝8x B．2m+3m＝5m
C．x9÷x3＝x3 D．（﹣a3b2）2＝﹣a6b4
3．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+2x+4＝0 D．x2﹣x﹣3＝0
5．（3分）某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示：
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
1
2
5
4
则该校女子排球队12名队员年龄的众数、中位数分别是（　　）
A．13，14 B．14，15 C．15，15 D．15，14
6．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查的是（　　）
A．调查全国初中学生身高情况
B．调查沈阳浑河流域水质情况
C．调查某品牌汽车的抗撞击情况
D．了解某班女同学800米的成绩情况
7．（3分）直线y＝x+b（b＞0）与直线y＝kx（k＜0）的交点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC相交于点E，则tan∠CAE的值为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法中，错误的是（　　）

A．ab＜0 B．2a+b＝0
C．3a+c＞0 D．a+b≥m（am+b）（m为实数）
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点N在BO上运动．过点N作EF∥AC交AB于E，交BC于点F，将△BEF沿EF翻折得到△EFG，若ON＝x，△EFG与△ABC重叠部分的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：12﹣3x2＝　 　．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是　 　．
13．（3分）一个盒子中有1个红球、2个白球和2个绿球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，两次摸到球的颜色相同的概率是　 　．
14．（3分）如图，分别过等边△ABC的顶点A、B作直线a，b，使a∥b．若∠1＝40°，则∠2的度数为　 　．

15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为　 　．

16．（3分）如图，点A为反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，点B为反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，直线AB过原点O，且，则OA＝2OB，则k的值为　 　．

17．（3分）如图，将边长为4的等边△ABC沿射线BC平移得到△DEF，点M，N分别为AC，DF的中点，点P是线段MN的中点，连接PA，PC．当△APC为直角三角形时，BE＝　 　．

18．（3分）如图，点A1（2，2）在直线y＝x上，过点作A1B1∥y轴交直线y＝x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过C1点作过点A2B2∥y轴交直线y＝x和直线y＝x于A1，B1两点，再以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2，…，按此规律进行下去，则等腰直角△AnBn∁n的边长Bn∁n为　 　．（用含正整数n的代数式表示）

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（x﹣2﹣）•，其中x＝（1﹣π）0﹣|﹣|．
20．（12分）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力．某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖，在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同．
（1）求A，B两种奖品的单价各是多少元；
（2）学校为获奖的15名学生购买奖品（每人一件A种奖品或一件B种奖品），且购买的总费用不超过700元，求最多可以购买多少件A种奖品？
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，本溪市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查．调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：A．积极参与；B．一定参与；C．可以参与；D．不参与．根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图．
学生参与“朗读”的态度统计表
类别
人数
所占百分比
A
18
a
B
20
40%
C
m
16%
D
4
8%
合计
b
100%
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）请求出m的值并将条形统计图补充完整．
（3）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？
（4）“朗读”活动中，七年一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率．

22．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆．连接BO并延长交AC于点D，交⊙O于点E，过点A作BC的平行线交BO于点F．
（1）判断AF与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BC＝BD，求∠C的度数．

五、解答题（满分12分）
23．（12分）某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如表：
x（件）
…
5
10
15
20
…
y（元件）
…
75
70
65
60
…
（1）由题意知商品的最低销售单价是　 　元．当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，在一块平整的土地上，有一矩形建筑物ABCD，AB＝20米，AD＝31米．一个氢气球在矩形建筑物前漂浮，某数学兴趣小组要测量该氢气球E的高度．该兴趣小组可以从A，B，C三点观察到氢气球E，利用精密测角仪器测得数据如表：
测量项目
测量数据
从点A处观测氢气球E的仰角
45°
从点B处观测氢气球E的仰角
30°
从点D处观测氢气球E的仰角
64.8°
请你根据现有的条件，充分利用建筑物，设计一个测量氢气球E到地面的高度的方案：
要求如下：
①数据尽可能少（3个条件正确求解得12分；4个条件正确求解得10分；5个条件正确求解得8分）；
②在所给图形上，画出你设计的测量平面图．（精确到0.1米）
（参考数据：sin64.8°≈0.90，cos64.8°≈0.43，tan64.8°≈2.13，≈1.73）

七、解答题（满分12分
25．（12分）如图，等腰Rt△CEF绕正方形ABCD的顶点C顺时针旋转，且AB＝CE＝EF，∠CEF＝90°．连接AF与射线BE交于点G．
（1）如图1，当点B、C、F三点共线时，则∠ABE　 　∠FEM（填“＞”、“＝”或“＜”），则AG　 　FG（填“＞、“＝”或“＜”）；
（2）如图2，当点B、C、F三点不共线时，求证：AG＝GF；
（3）若等腰Rt△CEF从图1的位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤90°），当直线AB与直线EF相交构成的4个角中最小角为30°时，直接写出α的值．

八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线AC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线上是否存在点P，使得∠PEC+∠ACE＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在y轴右侧的抛物线上存在一点Q，使S△QBC＝2S△QAC的面积相等，直接写出点Q的坐标．


2021年辽宁省本溪市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣6的绝对值是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值．
【解答】解：|﹣6|＝6，
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．4x•2x＝8x B．2m+3m＝5m
C．x9÷x3＝x3 D．（﹣a3b2）2＝﹣a6b4
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【解答】解：∵4x•2x＝8x2，故选项A错误；
∵2m+3m＝5m，故选项B正确；
∵x9÷x3＝x6，故选项C错误；
∵（﹣a3b2）2＝a6b4，故选项D错误；
故选：B．
3．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1．
故选：B．
4．（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+2x+4＝0 D．x2﹣x﹣3＝0
【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：A．x2+1＝0中△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，没有实数根；
B．x2﹣2x+1＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
C．x2+2x+4＝0中△＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，没有实数根；
D．x2﹣x﹣3＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，有两个不相等的实数根；
故选：D．
5．（3分）某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示：
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
1
2
5
4
则该校女子排球队12名队员年龄的众数、中位数分别是（　　）
A．13，14 B．14，15 C．15，15 D．15，14
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，
∴众数为15岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
∴中位数为＝15岁，
故选：C．
6．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查的是（　　）
A．调查全国初中学生身高情况
B．调查沈阳浑河流域水质情况
C．调查某品牌汽车的抗撞击情况
D．了解某班女同学800米的成绩情况
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点对四个选项进行判断即可得到结论．
【解答】解：A．调查全国初中学生身高情况，适宜抽样调查，故本选项不合题意；
B．调查沈阳浑河流域水质情况，适宜抽样调查，故本选项不符合题意；
C．调查某品牌汽车的抗撞击情况，适宜抽样调查，故本选项不符合题意；
D．了解某班女同学800米的成绩情况，是准确的调查，适于全面调查，故本选项符合题意；
故选：D．
7．（3分）直线y＝x+b（b＞0）与直线y＝kx（k＜0）的交点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据直线方程作出大致函数图象，根据图象可以直接作出选择．
【解答】解：直线y＝x+b（b＞0）与直线y＝kx（k＜0）的大致图象如图所示：
．
1＞0，b＞0，而正比例函数的k＜0，故图象的交点A位于第二象限．
故选：B．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC相交于点E，则tan∠CAE的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接DE，如图所示，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5；
∴CE＝1.5；
∴tan∠CAE＝＝．
故选：A．
9．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法中，错误的是（　　）

A．ab＜0 B．2a+b＝0
C．3a+c＞0 D．a+b≥m（am+b）（m为实数）
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；由图象确定函数的最值．
【解答】解：A、∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
B、∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；故正确；
C、∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；
D、根据图示知，当x＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
故选：C．
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点N在BO上运动．过点N作EF∥AC交AB于E，交BC于点F，将△BEF沿EF翻折得到△EFG，若ON＝x，△EFG与△ABC重叠部分的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分两个时间段求出函数解析式即可判断：
①当翻折后点G在点O的左侧时即2≤x≤4，通过证明△BEF∽△BAC，可得BN＝EF＝4﹣x，再根据三角形的面积公式写成函数解析式；
②当翻折后点G在点O的右侧时（如图②），即0≤x≤2，重叠部分y＝s梯形HIEF，用含x的代数式表示出相关线段的长度，再根据梯形的面积公式求出函数解析式即可．
【解答】解：分情况讨论：

①当翻折后点G在点O的左侧时（如图①），即2≤x≤4，
∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠BAC，∠BFE＝∠BCA，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即BN＝EF＝4﹣x，
由四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵EF∥AC，
∴EF⊥BD，
翻折后，重叠部分y＝s△EFG＝s△BEF＝（2≤x≤4）；

②当翻折后点G在点O的右侧时（如图②），即0≤x≤2，
翻折后，重叠部分y＝s梯形HIEF，
∵ON＝x，BN＝4﹣x，GN＝BN＝4﹣x，
∴OG＝4﹣2x，
又∵EF∥AC，
同理可得△GHI∽△GEF，
∴HI＝OG＝4﹣2x，
∴y＝[（4﹣x）+（4﹣2x）]•x＝4x﹣（0≤x≤2），
综上所述，y＝，
故选：A．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：12﹣3x2＝　3（2﹣x）（2+x）　．
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝3（4﹣x2）
＝3（2+x）（2﹣x）．
故答案为：3（2+x）（2﹣x）．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是　（2，﹣3）　．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
13．（3分）一个盒子中有1个红球、2个白球和2个绿球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，两次摸到球的颜色相同的概率是　　．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：

红
白
白
绿
绿
红
（红，红）
（白，红）
（白，红）
（绿，红）
（绿，红）
白
（红，白）
（白，白）
（白，白）
（绿，白）
（绿，白）
白
（红，白）
（白，白）
（白，白）
（绿，白）
（绿，白）
绿
（红，绿）
（白，绿）
（白，绿）
（绿，绿）
（绿，绿）
绿
（红，绿）
（白，绿）
（白，绿）
（绿，绿）
（绿，绿）
由表知，共有25种等可能结果，其中两次摸到球的颜色相同的有9种结果，
所以两次摸到球的颜色相同的概率为，
故答案为：．
14．（3分）如图，分别过等边△ABC的顶点A、B作直线a，b，使a∥b．若∠1＝40°，则∠2的度数为　80°　．

【分析】先根据△ABC是等边三角形得出∠BAC＝60°，故可得出∠BAC+∠1的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵∠1＝40°，
∴∠BAC+∠1＝100°．
∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣（∠BAC+∠1）＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80°．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为　　．

【分析】先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，由作图可知O是AB的中点，最后根据直角三角形斜边中线可得结论．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
由作图可知：MN是AB的垂直平分线，
∴O是AB的中点，
∴CO＝AB＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，点A为反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，点B为反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，直线AB过原点O，且，则OA＝2OB，则k的值为　﹣2　．

【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，由反比例函数系数k的几何意义可得出S△AOC＝4，再由相似三角形的判定定理得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的性质可得出△BOD的面积，进而可得出结论．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点A为反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，
∴S△AOC＝×8＝4．
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠OBD＝∠OAC．
∵∠BOD＝∠AOC，
∴△AOC∽△BOD．
∵OA＝2OB，S△AOC＝4，
∴，
∴S△BOD＝1，
∵S△BOD＝|k|，
∴k＝﹣2．
故答案为﹣2．

17．（3分）如图，将边长为4的等边△ABC沿射线BC平移得到△DEF，点M，N分别为AC，DF的中点，点P是线段MN的中点，连接PA，PC．当△APC为直角三角形时，BE＝　4或8　．

【分析】本题先根据△APC为直角三角形进行分类讨论：①当∠APC＝90°时，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，即可求出PM，进而求出MN，BE长度就解决了．②当∠ACP＝90°时，根据直角三角形中，30°角所对直角边是斜边长度的一半，可以求出PM＝4，进而求出MN，BE长度就解决了．
【解答】解：①当∠APC＝90°时．

∵∠APC＝90°，M为AC中点．
∴PM＝AM＝CM＝AC＝2．
∵PM＝2，点P是线段MN的中点．
∴MN＝2PM＝4．
即△ABC向左平移4．
∴BE＝4．
②当∠ACP＝90°时．

∵MN∥BF．
∴∠PMN＝∠ACB＝60°．
∴∠MPC＝30．
∵M为AC中点，AC＝4．
∴CM＝2．
∵在Rt△MCP中，∠MCP＝90°，∠MPC＝30°．
∴MC＝PM．
∴PM＝2CM＝4．
∵点P是线段MN的中点．
∴MN＝8
即△ABC向左平移4．
故答案为：4或8．
18．（3分）如图，点A1（2，2）在直线y＝x上，过点作A1B1∥y轴交直线y＝x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过C1点作过点A2B2∥y轴交直线y＝x和直线y＝x于A1，B1两点，再以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2，…，按此规律进行下去，则等腰直角△AnBn∁n的边长Bn∁n为　　．（用含正整数n的代数式表示）

【分析】列出各点坐标寻找规律，横纵坐标成倍扩大．
【解答】解：∵点A1（2，2）在直线y＝x上，
∴点B1横坐标为2，将x＝2代入y＝x得y＝1，
∴点B1坐标为（2，1）．
∵△A1B1C1为等腰直角三角形，
∴A1B1＝A1C1＝2﹣1＝1，
∴点C1坐标为（3，2）．B1C1＝．
∵过C1点作过点A2B2∥y轴，
∴A2，B2的横坐标为3，将x＝3分别代入y＝x与y＝x中得A2，B2的纵坐标分别为3，，
即A2（3，3），B2（3，），A2B2＝，
∴B2C2＝A2B2＝．
同理可得B3C3＝，B4C4＝……
∴Bn∁n＝．
故答案为：．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（x﹣2﹣）•，其中x＝（1﹣π）0﹣|﹣|．
【分析】先化简，再求出x的值，代入即可得出结论．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝．
∵x＝（1﹣π）0﹣|﹣|＝1﹣＝，
∴原式＝＝＝14
20．（12分）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力．某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖，在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同．
（1）求A，B两种奖品的单价各是多少元；
（2）学校为获奖的15名学生购买奖品（每人一件A种奖品或一件B种奖品），且购买的总费用不超过700元，求最多可以购买多少件A种奖品？
【分析】（1）设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买m件A种奖品，则购买（15﹣m）件B种奖品，利用总价＝单价×数量，结合购买的总费用不超过700元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，
依题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A种奖品的单价为50元，B种奖品的单价为40元．
（2）设购买m件A种奖品，则购买（15﹣m）件B种奖品，
依题意得：50m+40（15﹣m）≤700，
解得：m≤10．
答：最多可以购买10件A种奖品．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，本溪市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查．调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：A．积极参与；B．一定参与；C．可以参与；D．不参与．根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图．
学生参与“朗读”的态度统计表
类别
人数
所占百分比
A
18
a
B
20
40%
C
m
16%
D
4
8%
合计
b
100%
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝　36%　，b＝　50　．
（2）请求出m的值并将条形统计图补充完整．
（3）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？
（4）“朗读”活动中，七年一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率．

【分析】（1）用100%分别减去B、C、D的频率可得到a的值；用18除以a得到b的值；
（2）用b的值乘以16%得到m的值，然后补全条形统计图；
（3）用1500乘以D类的百分比，然后把计算的结果与150进行大小比较，则可判断这次活动能否顺利开展；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选两人都是女生的结果数为2，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）a＝100%﹣8%﹣16%﹣40%＝36%，
b＝18÷36%＝50；
故答案为36%，50；
（2）m＝50×16%＝8，
条形统计图为：

（3）1500×8%＝120（人），
因为120＜150，
所以这次活动能顺利开展；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中所选两人都是女生的结果数为2，
所以所选两人都是女生的概率＝＝．
22．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆．连接BO并延长交AC于点D，交⊙O于点E，过点A作BC的平行线交BO于点F．
（1）判断AF与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BC＝BD，求∠C的度数．

【分析】（1）连接OA，OC，根据全等三角形的性质得到∠OAB＝∠OAC，根据平行线的性质得到OA⊥AF，由切线的判定定理即可得到结论；
（2）设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α，根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD＝3α，∠ABC＝∠ACB＝3α，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：（1）AF是⊙O的切线，
证明：连接OA，OC，
在△OAB与△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（SSS），
∴∠OAB＝∠OAC，
∴OA⊥BC，
∵OD∥BC，
∴OA⊥AF，
∵OA是半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝3α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝3α，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴2α+3α+3α＝180°，
∴α＝22.5°，
∴3α＝67.5°，
∴∠C＝67.5°．

五、解答题（满分12分）
23．（12分）某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如表：
x（件）
…
5
10
15
20
…
y（元件）
…
75
70
65
60
…
（1）由题意知商品的最低销售单价是　50　元．当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）由40（1+25%）即可得出最低销售单价；根据题意由待定系数法求出y与x的函数关系式和x的取值范围；
（2）设所获利润为P元，由题意得出P是x的二次函数，即可得出结果．
【解答】解：（1）40（1+25%）＝50（元），
设y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：k＝﹣1，b＝80，
∴y＝﹣x+80，
根据题意得：，且x为正整数，
∴0＜x≤30，x为正整数，
∴y＝﹣x+80（0≤x≤30，且x为正整数），
故答案为：50；
（2）设所获利润为P元，根据题意得：
P＝（y﹣40）•x＝（﹣x+80﹣40）x＝﹣（x﹣20）2+400，
即P是x的二次函数，
∵a＝﹣1＜0，
∴P有最大值，
∴当x＝20时，P最大值＝400，此时y＝60，
∴当销售单价为60元时，所获利润最大，最大利润为400元．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，在一块平整的土地上，有一矩形建筑物ABCD，AB＝20米，AD＝31米．一个氢气球在矩形建筑物前漂浮，某数学兴趣小组要测量该氢气球E的高度．该兴趣小组可以从A，B，C三点观察到氢气球E，利用精密测角仪器测得数据如表：
测量项目
测量数据
从点A处观测氢气球E的仰角
45°
从点B处观测氢气球E的仰角
30°
从点D处观测氢气球E的仰角
64.8°
请你根据现有的条件，充分利用建筑物，设计一个测量氢气球E到地面的高度的方案：
要求如下：
①数据尽可能少（3个条件正确求解得12分；4个条件正确求解得10分；5个条件正确求解得8分）；
②在所给图形上，画出你设计的测量平面图．（精确到0.1米）
（参考数据：sin64.8°≈0.90，cos64.8°≈0.43，tan64.8°≈2.13，≈1.73）

【分析】从点A处观测氢气球E的仰角为45°，从点D处观测氢气球E的仰角为64.8°，测得AD＝31米．延长AB交EH于点F，则AF⊥EH，垂足为F，根据锐角三角函数即可求出结果．
【解答】解：测量如图所示：

从点A处观测氢气球E的仰角为45°，
从点D处观测氢气球E的仰角为64.8°，
测得AD＝31米．
延长AB交EH于点F，则AF⊥EH，垂足为F，
∵∠EAF＝45°，
在Rt△AEF中，EF＝FA，
在Rt△EDH中，
EH＝HD•tan∠EDH＝HD•tan64.8°，
∵HD＝AF，HF＝AD，HE＝EF+HF，
∴HE＝EF+AD＝FA•tan64.8°，
∴FA•tan64.8°﹣FA＝31，
∴FA≈27.43（米），
∴EF≈27.43（米），
∴EH≈27.43+31≈58.4（米）．
答：氢气球E的高度约为58.4米．
七、解答题（满分12分
25．（12分）如图，等腰Rt△CEF绕正方形ABCD的顶点C顺时针旋转，且AB＝CE＝EF，∠CEF＝90°．连接AF与射线BE交于点G．
（1）如图1，当点B、C、F三点共线时，则∠ABE　＝　∠FEM（填“＞”、“＝”或“＜”），则AG　＝　FG（填“＞、“＝”或“＜”）；
（2）如图2，当点B、C、F三点不共线时，求证：AG＝GF；
（3）若等腰Rt△CEF从图1的位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤90°），当直线AB与直线EF相交构成的4个角中最小角为30°时，直接写出α的值．

【分析】（1）由三角形的内角和和等腰三角形的性质可求∠CBE＝∠CEB＝22.5°＝∠BFA，可求解；
（2）由“AAS”可证△AGB≌△FGH，可得AG＝GF；
（3）分两种情况讨论，利用四边形的内角和定理可求旋转后的∠BCE的度数，即可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，△CEF是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝CE＝FE，∠ECF＝∠EFC＝45°，∠ABC＝90°，
∵AB＝CE＝EF＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB＝22.5°，
∴∠ABE＝67.5°，∠FEM＝∠EBF+∠BFE＝67.5°，
∴∠ABE＝∠FEM，
连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，△CEF是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，CF＝CE，∠ACB＝45°，
∴AC＝CF，
∴∠CAF＝∠AFC＝22.5°，
∴∠BAG＝∠ABG＝67.5°，∠AFC＝∠GBF＝22.5°，
∴AG＝BG＝GF，
故答案为：＝，＝；
（2）过F作FH∥AB交直线BE于H，

∴∠ABG＝∠FHE，
∵AB＝BC，AB＝CE，
∴BC＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∵∠ABC＝∠CEF＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠FEM+∠CEB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABG＝∠FEH，
∵∠ABG＝∠FHE，
∴∠FHE＝∠FEH，
∴EF＝FH，
∴FH＝AB，
又∠AGB＝∠FGH，
∴△AGB≌△FGH（AAS），
∴AG＝GF；
（3）如图3，当直线EF与直线AB的交于点A上方，

∵∠P+∠PBC+∠PEC+∠BCE＝360°，
∴∠BCE＝150°，
∴α＝150°﹣135°＝15°；

∵∠P+∠PBC+∠PEC+∠BCE＝360°，
∴∠BCE＝150°，
∴∠DCE＝360°﹣150°﹣90°＝120°，
∴α＝120°﹣45°＝75°；
综上所述：α的值为15°或75°．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线AC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线上是否存在点P，使得∠PEC+∠ACE＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在y轴右侧的抛物线上存在一点Q，使S△QBC＝2S△QAC的面积相等，直接写出点Q的坐标．

【分析】（1）运用待定系数法将A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程组即可；
（2）分两种情况：①当射线EP在CE的右侧时，②当射线EP在CE的左侧时，设OM＝m，则CM＝EM＝3﹣m，运用勾股定理求得m，再求出直线EM的解析式，联立直线EM的解析式和抛物线解析式求解即可；
（3）分两种情况：①当点Q在x轴上方时，②当点Q在x轴下方时，连接CQ交x轴于点N，过点A作AM⊥CQ于点M，过点B作BP⊥CQ于点P，根据S△QBC＝2S△QAC，可得BP＝2AM，证明△NAM∽△NBP，运用相似三角形性质可得点N的坐标，再求得直线CN的解析式，联立直线CN的解析式和抛物线解析式即可求得点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（3，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵抛物线交y轴于点C（0，3），经过点A（3，0），
∴OC＝OA，
∴∠ACO＝45°，
∴∠OCE+∠ACE＝45°，
∵∠PEC+∠ACE＝45°，
∴∠OCE＝∠PEC，
①当射线EP在CE的右侧时，
点P与点D重合，即P（1，4）；
②当射线EP在CE的左侧时，
∵∠OCE＝∠PEC，
∴EM＝CM，
设OM＝m，则CM＝EM＝3﹣m，
在Rt△OME中，OM2+OE2＝ME2，
∴m2+12＝（3﹣m）2，
∴m＝，
∴M（0，），
∴直线EM的解析式为：y＝﹣x+，
∵y＝﹣x2+2x+3，
∴﹣x2+2x+3＝﹣x+，
∴x1＝（舍去），x2＝，
∴当x＝时，y＝，
∴点P的坐标为：P1（1，4）或P2（，），
（3）①当点Q1在x轴上方时，如图2，延长CQ1交x轴于点N，过点A作AM⊥CQ1于点M，过点B作BP⊥CQ1于点P，
∵S△Q1BC＝2S△Q1AC，
∴CQ1•BP＝2×CQ1•AM，
∴BP＝2AM，
∵AM⊥CQ1，BP⊥CQ1，
∴AM∥BP，
∴△NAM∽△NBP，
∴＝＝，
∴NA＝AB＝4，
∴N（7，0），
设直线CN的解析式为y＝kx+c，
把C（0，3），N（7，0）代入，得：，
解得：，
∴直线CN的解析式为y＝﹣x+3，
∴﹣x+3＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
当x＝时，y＝﹣×+3＝，
∴Q1（，），
②当点Q2在x轴下方时，如图3，连接CQ2交x轴于点N，过点A作AM⊥CQ2于点M，过点B作BP⊥CQ2于点P，
∵S△QB2C＝2S△Q2AC，
∴CQ2•BP＝2×CQ2•AM，
∴BP＝2AM，
∵AM⊥CQ2，BP⊥CQ2，
∴AM∥BP，
∴△NAM∽△NBP，
∴＝＝，
∴NA＝NB，
∵NA+NB＝4，
∴NA＝，
∴N（，0），
∴直线CN的解析式为y＝﹣x+3，
∴﹣x+3＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝0（舍去）或x＝，
当x＝时，y＝﹣×+3＝，
∴Q2（，）；
综上所述，Q1（，），Q2（，）．