第12练 对数运算和对数函数-【考点通关】2021-2022学年高一数学上学期期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第一册)(解析版)

第12练 对数运算和对数函数

一．选择题

1．计算：　　

A．1 B．4 C．5 D．7

【解析】原式．故选：．

2．已知，则的值为　　

A．1 B． C． D．

【解析】，，．．故选：．

3．已知实数，，分别满足，，，那么　　

A． B． C． D．

【解析】，，

在同一坐标系内画出函数，，，的图象．

可知．

故选：．

4．某企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的时，至少需要经过该装置的次数为　　（参考数据：

A．13 B．14 C．15 D．16

【解析】设至少需要经过该装置的次数为，

则，所以，故取14．故选：．

5．某地新能源汽车工厂2017年生产新能源汽车的年产量为260万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的产量都比上一年产量提高，那么该工厂到哪一年的产量才能首次超过800万辆　　

（参考数据：，，．

A．2021年 B．2022年 C．2023年 D．2024年

【解析】设到第年，该工厂到哪一年的产量才能首次超过800万辆，由题意得，，

则，所以．故选：．

6．已知函数满足，则，当时，，则的值为　　

A． B． C． D．

【解析】，，，

，，，

故选：．

7．已知函数，则　　

A．在内单调递减 

B．是偶函数 

C．的图像关于点中心对称 

D．的最大值为2

【解析】，可知，即，

因为在上不单调，故选项错误；

因为定义域为，不关于原点对称，故选项错误；

对于选项，，故选项错误；

对于选项，设，当时，最大为4，故的最大值为（2），故选项正确．

故选：．

8．设，则　　

A． B． C．， D．，

【解析】由得：，，，，得：

，，，，

故选：．

9．函数为对数函数，则等于　　

A．3 B． C． D．

【解析】函数为对数函数，

，解得，

，

．

故选：．

10．函数的定义域是　　

A． B． C． D．，

【解析】要使原函数有意义，则，即．函数的定义域是，．

故选：．

11．函数的定义域为　　

A． B． C． D．，

【解析】由题意可知，解得，

所以函数的定义域为，，故选：．

12．函数的定义域是　　

A． B． C．，， D．

【解析】函数中，令，

解得且，所以的定义域是，，．

故选：．

13．函数的值域是　　

A．， B． C． D．

【解析】令，则，，根据对数函数性质，

函数的值域是：，故选：．

14．若定义运算，则函数的值域是　　

A． B．， C．， D．，

【解析】由题意得，

当时函数为，因为在，为增函数，

所以，，当时函数为，

因为在为减函数，

所以，

由以上可得，，

所以函数的值域为，，

故选：．

15．设，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解析】在上递增，，

而，故，

故选：．

16．若，，，则　　

A． B． C． D．

【解析】，，，，

，，

故选：．

17．若，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【解析】，，，则．故选：．

18．已知，，，则，，的大小为　　

A． B． C． D．

【解析】，，，，

，，

，．故选：．

19．函数的大致图象是　　

A． B． 

C． D．

【解析】，

函数是偶函数，故函数的图象关于轴对称，故排除选项；

当时，，故排除；

故选：．

20．在同一个坐标系中，函数与且的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【解析】①当时，函数 是减函数，图象过点，函数是减函数，错误，

②当时，函数 是增函数，图象过点，函数是减函数，

图象与轴交点的横坐标在之间，错误，正确，

故选：．

21．函数，且与函数在同一直角坐标系中的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

【解析】函数的对称轴为，且恒过定点，观察选项可知，选项可能符合，

若选，则由图象可知，此时，函数单调递减，且恒过定点，符合题意．

故选：．

22．设与均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为　　

A．6 B．8 C．10 D．12

【解析】由图象知函数为增函数，当时，，即，即，得，

当时，，即，得，

则，

故选：．

23．函数且的图象恒过定点，则点的坐标　　

A． B． C． D．

【解析】对于函数且，令，求得，，

可得它的图象恒过定点，故选：．

24．已知函数且恒过定点，，且满足，其中，是正实数，则的最小值　　

A．4 B． C．9 D．

【解析】函数且，

令得，，此时，

定点，

，，

又，是正实数，

，当且仅当即时，等号成立，

故选：．

25．已知函数，若，则的大小关系　　

A． B． 

C． D．

【解析】函数，

则可分别看作，（a），，（b），，（c） 与原点连线的斜率，

如图：当时，

有，

故选：．

26．定义在上的偶函数在，上递增，，则满足的的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解析】由题意可得偶函数在，上递增，在，上递减，

且．故由可得①，或②．

由①可得，，解得．由②可得，，解得．

综上可得，不等式的解集为，或，

故选：．

27．已知，其中，则下列不等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解析】函数，其中的简图如下：由图知．

故选：．

28．函数的单调减区间为　　

A． B．， C． D．，

【解析】函数的定义域为：，

设，它的对称轴为：，在上是增函数，

函数是减函数，所以函数的单调减区间为：

故选：．

29．已知，，满足，则下列各选项正确的是　　

A． B． C． D．

【解析】依题意，因为为上的增函数，所以；

因为为上的增函数，且，所以；

满足，

所以，所以，

所以，

又因为为的增函数，

所以，

综上：．

故选：．

30．当时，，那么的取值范围是　　

A． B． C． D．，4

【解析】当时，要使恒成立，则需

解得：．故选：．

31．已知函数，若实数满足，则的取值范围　　

A．， B． C．， D．

【解析】函数，故函数在上单调递增，且为偶函数，

若实数满足，即（1），（1），

，即，故，

故选：．

32．已知定义在上的函数为实数）为偶函数，记，，，则　　

A． B． C． D．

【解析】定义在上的函数为实数）为偶函数，

（1），即，解得，

在单调递增，在单调递减，

，，，

，即

故选：．

二．填空题

33．函数，的值域为　     　．

【解析】，，

设，，则，

此二次函数开口向上，对称轴为，，

当时，即时，，

当时，即时，即，

所以的值域为，．

故答案为：，．

34．函数在，上最大值与最小值的差值为2，则实数的值是　     ．

【解析】①当时，函数在，上单调递减，

所以，

解得；

②当时，函数在，上单调递增，

所以，

解得．

故实数的值是或．

故答案为：或．

35．若函数的值域为，则实数的取值范围是 　         ．

【解析】函数的值域为，

方程的判别式△，

，或，

实数的取值范围是，，．

故答案为：，，．

36．函数的值域是，则实数的取值范围是　   　．

【解析】函数的值域是，

所以的值域包含；

由于，当且仅当时，即时，等号成立；

所以；

所以．

故答案为：，．

37．若不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．

【解析】若不等式恒成立，

则在，恒成立，

而在，递增，故的最小值是，

故，故答案为：．

38．若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则　　．

【解析】，

当时，对数函数是减函数，

函数在区间，上的最大值是，最小值是，

，，，

当时，对数函数是增函数，

函数在区间，上的最小值是，最大值是，

，，，

故答案为：或．

39．若函数在区间，上是增函数，则的取值范围是　　．

【解析】有题意可得：，

在定义域上是单调增函数，且函数在区间，上是增函数，

在，上是增函数，

，，

当时，函数的定义域为，

，，

当时，定义域为，

，

故答案为：

40．函数的递增区间为　  　．

【解析】由，解得或，

则函数的定义域是或，

令，则函数在单调递增，

在定义域上单调递增，

函数的单调递增区间是，

故答案为：

41．已知函数，下列命题中所有正确的序号是　     ．

（1）函数的定义域和值域均为；

（2）函数在单调递减，在单调递增；

（3）函数的图象关于轴对称；

（4）函数为偶函数；

（5）若（a）则或．

【解析】函数，故有，，故定义域为，故（1）不正确．

由函数在单调递减，在单调递增，可得

函数在单调递减，在单调递增，故（2）正确．

由于函数的 定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故（3）不正确．

由于函数，其图象关于轴对称，故是偶函数，故（4）正确．

由（a），则有，故，

或，

或，故（5）正确，

故答案为（2）（4）（5）．

42．函数在，上是增函数，则的取值范围是　  　．

【解析】依题意函数在，上是单调递增函数，

所以应有，

解得，此即为实数的取值范围．

故答案为

43．函数的单调递减区间是　   　．

【解析】函数的定义域是，

令

的减区间为，

，

函数的单调减区间为．

答案，

44．设且，若函数的反函数的图像过点，则　　．

【解析】由题意得，函数的反函数的图像过点，

所以，所以．故答案为：．

三．解答题

45．已知函数且的图象过点，

（1）求的值．

（2）若，求的解析式及定义域．

（3）在（2）的条件下，求的单调减区间．

【解析】（1）函数且的图象过点，

可得，解得；

（2），

由，且，解得，

可得的定义域为；

（3），

由在递增，递减，

则在递增，

可得函数的减区间为．

46．已知对数函数且的图象过点．

（1）求的解析式；

（2）已知，求的取值范围．

【解析】（1）对数函数且的图象过点，

，，故．

（2）由于函数是定义域内的增函数，，

，且，，

解得，即的取值范围为．

47．已知：函数且

（Ⅰ）求定义域；

（Ⅱ）判断的奇偶性，并说明理由；

（Ⅲ）求使的的解集．

【解析】（Ⅰ）由题意得，即．

的定义域为；

（Ⅱ）对任意的，

，

是奇函数；

（Ⅲ），即，

当时，可得，即．

当时，可得，即．

48．已知函数，且．

（1）求函数的定义域；

（2）判断的奇偶性并予以证明；

（3）若，解关于的不等式．

【解析】（1）函数，且，

，，

即函数的定义域，

（2），

，

即的奇函数，

（3），

，

当时，，即，

因为：定义域所以：，

解关于的不等式．

，即，，

所以关于的不等式解集为：，．

49．已知函数在区间上的最大值为2．

（1）求的值；

（2）如果，求使成立的的取值范围．

【解析】（1）函数在区间上是单调函数，

当时，函数为增函数，最大值为，故．

当时，函数为减函数，最大值为，故．

综上可得，或．

（2），不等式，即，

，即，即，

解得，故的范围为，．

50．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．

（1）求的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程在，上有解，求的取值范围．

【解析】（1）函数的图象关于原点对称，

，即，

，恒成立，

即，即恒成立，所以，解得，

又时，无意义，故；

（2）时，恒成立，即，

在恒成立，

由于是减函数，故当，函数取到最大值，

，即实数的取值范围是；

（3）在，上是增函数，在，上是减函数，

只需要即可保证关于的方程在，上有解，下解此不等式组．

代入函数解析式得，解得，

即当时关于的方程在，上有解