2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（下）3月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（下）3月月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. −72的相反数是（ ）
A.−72B.−27C.27D.72

2. 如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（ ）

A.B.C.D.

3. 如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）

A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行D.两点确定一条直线

4. 下列式子运算正确的是( )
A.t2+t4=t6B.3x23=9x5
C.m8÷m4=m2D.x−122=x2−x+14

5. 疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
则他们捐款金额的平均数、中位数、众数分别是( )
A.27.6，10，20B.27.6，20，10
C.37，10，10D.37，20，10

6. 下列命题中正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.四个角都相等的四边形是矩形
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.有一个角是直角的四边形是矩形

7. 某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是( )

A.60×(1+25%)x−60x=60B.60x−60×(1+25%)x=60
C.60(1+25%)x−60x=60D.60x−60(1+25%)x=60

8. 如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD=24，则sin∠ACD的值是（ ）

A.1213B.125C.512D.513

9. 观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，那么：71+72+73+...+72021的末位数字是( )
A.0B.6C.7D.9

10. 如图，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为A3,0，∠COA=60∘，D为边AB的中点，反比例函数y=kxx>0的图象经过C，D两点，直线CD与y轴相交于点E，则点E的坐标为( )

A.0,23B.0,33C.0,5D.0,6
二、填空题

已知代数式2x−y的值是−2，则代数式1−2x+y的值是________．

将一副三角板如图叠放，则图中∠α=________度．


某校为了举办“庆祝建党100周年”活动，调查了本校所有学生，调查的结果如图，根据图中给出的信息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有________人．


对于x、y，我们定义一种新运算“◎”：x◎y=ax+by，其中a、b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知5◎2=7，3◎(−4)=12，则4◎3的值为________．

如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=22，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．


如图，点P是等边△ABC外一点，AP=2,BP=3，则PC的最大值为________.

三、解答题

计算：|1−2|+2−1−π+230．

先化简，再求值：(3m+2+m−2)÷m2−2m+13m+6，其中x=3+1．

如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60∘，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30∘，AB=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）.


小明的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）．
(1)小明的爸爸被分到B组的概率是________；

(2)某中学张老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小明爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）

已知关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)若a为正整数，求a的值；

(2)若x1，x2满足x12+x22−x1x2=16，求a的值．

如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点O作AB的垂线，分别与BC和AC的延长线交于点F和点D，取DF的中点E，连接CE．
(1)求证：CE是⊙O的切线；

(2)若AB=25,CD=3，求AC的值；

(3)若tanB=12，探究CE与OF的数量关系，并说明理由．

九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．

(1)求出w与x的函数关系式；

(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；

(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5658元？请直接写出结果．

正方形ABCD的边长是5，点M是直线AD上一点，连接BM，将线段BM绕点M逆时针旋转90∘得到线段ME，在直线AB上取点F，使AF=AM，且点F与点E在AD同侧，连接EF，DF．

(1)如图1，当点M在DA延长线上时，求证：△ADF≅△ABM；

(2)如图2，当点M在线段AD上时，四边形DFEM是否为平行四边形，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，线段AM与线段AD有什么数量关系时，四边形DFEM的面积最大？并求出这个面积的最大值．

如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，C，已知点A(−1, 0)，点C(0, 3)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

(3)设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
相反数
【解析】
直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】
解：−72的相反数是：
−(−72)=72．
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
简单组合体的三视图
【解析】
找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】
解：从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为：2，1，
并且下面一行的正方形靠左.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
平行线的判定
【解析】
根据画图的方法，利用了同位角相等，两直线平行作已知直线的平行线．
【解答】
解：如图：
画∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行可得到过直线外一点与已知直线平行的直线．
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
同底数幂的除法
完全平方公式
幂的乘方与积的乘方
合并同类项
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，t2与t4不是同类项，故错误；
对于B，3x23=27x6，故错误；
对于C，m8÷m4=m4，故错误；
对于D，x−122=x2−x+14，故正确.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
众数
中位数
算术平均数
【解析】
根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据中位数的定义直接求出这组数据的中位数即可．
【解答】
解：这组数的平均数是：
150×(5×6+10×17+20×14+50×8+100×5)=27.6（元），
把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是20+202=20（元），
则中位数是20元.
捐款10元的人数最多，则众数是10(元).
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
矩形的判定
【解析】
利用矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：A，对角线相等的平行四边形是矩形，故A错误，是假命题；
B，四个角都相等的四边形是矩形，故B正确，是真命题；
C，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C错误，是假命题；
D，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D错误，是假命题.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
由实际问题抽象为分式方程
【解析】
设原计划每天修路x公里，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前60天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解答】
解：设原计划每天修路x公里，
则实际每天的工作效率为(1+25%)x公里，
依题意得：60x−60(1+25%)x=60．
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
解直角三角形
圆周角定理
【解析】
首先利用直径所对的圆周角为90∘得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案．
【解答】
解：∵ AB是直径，
∴ ∠ADB=90∘.
∵ ⊙O的半径是13，
∴ AB=2×13=26，
由勾股定理得：AD=10，
∴ sin∠B=ADAB=1026=513，
∵ ∠ACD=∠B，
∴ sin∠ACD=sin∠B=513.
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
尾数特征
规律型：数字的变化类
【解析】
先根据已知算式得出规律，再求出即可．
【解答】
解：∵ 71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，
∴ 71=7，
71+72=56，
71+72+73=399，
71+72+73+74=2800，
71+72+73+74+75=19607，
⋯，
由上可得，以上式子的和的末位数字依次以7,6,9,0循环出现，
∵ 2021÷4=505⋯⋯1，
∴ 71+72+73+...+72021的末位数字是7.
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
作CE⊥c轴于点E，过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，设C的坐标为x,3x，表示出D的坐标，将C、D两点坐标代入反比例函数的解析式，解关于x的方程求出x即可得到点C、D的坐标，进而求得直线CD的解析式，最后计算该直线与y轴交点坐标即可得出结果．
【解答】
解：分别过点C、B、D作CE⊥x轴， BF⊥x轴，DM⊥x轴，分别交x轴于点E、F、M．
则BF=CE，DM//BF，
∵D为AB的中点，
∴AM=FM，
∴DM=12BF，
∵∠COA=60∘，
∴∠OCE=30∘，
∴OC=2OE，CE=3OE，
设Cx,3x，
∴AF=OE=x，CE=BF=3x，
MD=123x，
∵四边形ABCO是平行四边形， A3,0，
∴OF=3+x，OM=3+12x，
∴D3+12x,32x，
把C、D的坐标代入y=kx中，
k=x⋅3x=3+12x⋅32x
解得：x1=2，x2=0(舍)，
∴C2,23，D4,3，
设直线CD的表达式为y=ax+b，
则23=2a+b,3=4a+b,
解得a=−32,b=33,
∴直线CD的表达式为y=−32x+33，
令x=0， y=33，
∴E0,33．
故选B．
二、填空题
【答案】
3
【考点】
列代数式求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 代数式2x−y的值是−2，
∴ 代数式1−2x+y=1−(2x−y)=1−(−2)=3．
故答案为：3．
【答案】
15
【考点】
三角形的外角性质
【解析】
根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】
解：由三角形的外角的性质可知，
∠α=60∘−45∘=15∘.
故答案为：15.
【答案】
90
【考点】
条形统计图
扇形统计图
【解析】
根据题意和统计图中的数据，可以计算出本次调查的人数，然后再根据扇形统计图中的数据，即可计算出这所学校赞成举办演讲比赛的学生人数．
【解答】
解：由题意可得，
本次调查的总人数为：160÷40%=400（人），
则这所学校赞成举办演讲比赛的学生有：
400×(1−40%−37.5%)=400×22.5%=90（人）.
故答案为：90.
【答案】
3.5
【考点】
定义新符号
【解析】
根据新定义的运算法则列出二元一次方程组求出a,b，再根据新定义运算即可求出403的值．
【解答】
解：依题意得5a+2b=7,3a−4b=12,解得a=2,b=−32,
故x◎y=2x−32y，
所以4◎3=2×4−32×3=3.5.
故答案为：3.5.
【答案】
82−8
【考点】
扇形面积的计算
矩形的性质
【解析】
根据题意可以求得∠BAE和∠DAE的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与△ADE的面积之差的和，本题得以解决．
【解答】
解：连接AE，如图.
∵ ∠ADE=90∘，AE=AB=4，AD=22，
∴ED=AE2−AD2=22=AD，
∴ ∠AED=∠EAD=45∘，
∴ ∠EAB=45∘，
∴ 阴影部分的面积是：
(4×22−45×π×42360−22×222)+(45×π×42360−22×222)
=82−8.
故答案为：82−8.
【答案】
5
【考点】
旋转的性质
等边三角形的性质与判定
全等三角形的性质与判定
三角形三边关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将△PAB绕顶点A逆时针旋转使AB边与AC边重合，则得到△P′AC，
连结PC，P′P,P′C.如图，
根据重合的基本性质可知：△PAB≅△P′AC.
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60∘.
∵ △PAB≅△P′AC，∴ ∠PAB=∠P′AC.
∵ ∠PAB=∠P′AC，∠BAC=60∘，
∴ ∠PAP′=60∘.
∵ △PAB≅△P′AC，
∴ AP=AP′，BP=CP′.
∵ AP=AP′，∠PAP′=60∘,
∴ △PAP′是等边三角形.
∵ AP=2，∴ PP′=AP=2.
∵ PP′=2，CP′=3，
∴ PC≤PP′+P′C=5，
∴ PC的最大值为5.
故答案为：5.
三、解答题
【答案】
解： |1−2|+2−1−π+230
=2−1+12−1
=2−32．
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
绝对值
实数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： |1−2|+2−1−π+230
=2−1+12−1
=2−32．
【答案】
解：原式=(3m+2+m2−4m+2)÷(m−1)23(m+2)
=(m+1)(m−1)m+2⋅3(m+2)(m−1)2
=3(m+1)m−1，
当m=3+1时，
原式=3(3+1+1)3+1−1
=33+63
=3+23．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
先根据混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【解答】
解：原式=(3m+2+m2−4m+2)÷(m−1)23(m+2)
=(m+1)(m−1)m+2⋅3(m+2)(m−1)2
=3(m+1)m−1，
当m=3+1时，
原式=3(3+1+1)3+1−1
=33+63
=3+23．
【答案】
解：设每层楼高为x米，
由题意得：MC′=MC−CC′=2.5−1.5=1(米)，
∴ DC′=5x+1，EC′=4x+1，
在Rt△DC′A′中，∠DA′C′=60∘，
∴ C′A′=DC′tan60∘=33(5x+1)，
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′=30∘，
∴ C′B′=EC′tan30∘=3(4x+1).
∵ A′B′=C′B′−C′A′=AB，
∴ 3(4x+1)−33(5x+1)=14，
解得：x≈3.17，
则居民楼高为5×3.17+2.5≈18.4(米).
答：居民楼高约为18.4米.
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
设每层楼高为x米，由MC−CC′求出MC′的长，进而表示出DC′与EC′的长，在直角三角形DC′A′中，利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′，由C′B′−C′A′求出AB 的长即可．
【解答】
解：设每层楼高为x米，
由题意得：MC′=MC−CC′=2.5−1.5=1(米)，
∴ DC′=5x+1，EC′=4x+1，
在Rt△DC′A′中，∠DA′C′=60∘，
∴ C′A′=DC′tan60∘=33(5x+1)，
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′=30∘，
∴ C′B′=EC′tan30∘=3(4x+1).
∵ A′B′=C′B′−C′A′=AB，
∴ 3(4x+1)−33(5x+1)=14，
解得：x≈3.17，
则居民楼高为5×3.17+2.5≈18.4(米).
答：居民楼高约为18.4米.
【答案】
13
(2)用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中“他和小明爸爸被分到同一组”有3种，
∴ 他和小明爸爸被分到同一组的概率是P=39=13．
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
（1）共有3种等可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率．
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率．
【解答】
解：(1)共有3种等可能出现的结果，被分到“B组”的有1种，
因此小明的爸爸被分到“B组”的概率为13.
故答案为：13.
(2)用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中“他和小明爸爸被分到同一组”有3种，
∴ 他和小明爸爸被分到同一组的概率是P=39=13．
【答案】
解：(1)∵ 关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根，
∴ Δ=[−2(a−1)]2−4(a2−a−2)>0，
解得：a<3，
∵ a为正整数，
∴ a=1，2；
(2)∵ x1+x2=2(a−1)，x1x2=a2−a−2，
∵ x12+x22−x1x2=16，
∴ (x1+x2)2−3x1x2=16，
∴ [2(a−1)]2−3(a2−a−2)=16，
解得：a1=−1，a2=6，
∵ a<3，
∴ a=−1．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）根据关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[−2(a−1)]2−4(a2−a−2)>0，于是得到结论；
（2）根据x1+x2＝2(a−1)，x1x2＝a2−a−2，代入x12+x22−x1x2＝16，解方程即可得到结论．
【解答】
解：(1)∵ 关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根，
∴ Δ=[−2(a−1)]2−4(a2−a−2)>0，
解得：a<3，
∵ a为正整数，
∴ a=1，2；
(2)∵ x1+x2=2(a−1)，x1x2=a2−a−2，
∵ x12+x22−x1x2=16，
∴ (x1+x2)2−3x1x2=16，
∴ [2(a−1)]2−3(a2−a−2)=16，
解得：a1=−1，a2=6，
∵ a<3，
∴ a=−1．
【答案】
(1)证明：连接OC，如图，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90∘，
∴ ∠DCF=90∘，
在Rt△DCF中，点E是DF中点，
∴ CE=12DF=EF，
∴ ∠ECF=∠EFC=∠OFB，
又∵ OC=OB，
∴ ∠OCB=∠OBF，
∴ ∠ECF+∠OCB=∠OFB+∠OBF，
∴ ∠OCE=∠OFB+∠OBF，
∵ OD⊥AB，
∴ ∠FOB=90∘，
∴ ∠OFB+∠OBF=90∘，
∴ ∠OCE=90∘，
即CE⊥OC，
∵ 点C在⊙O上，
∴ CE是⊙O的切线.
(2)解：∵ ∠ACB=∠AOD=90∘，∠BAC=∠DAO，
∴ △ABC∽△ADO．
∴ ACAO=ABAD，
即2r2=AC⋅AD，
则有： 2×52=ACAC+3，
解得： AC=2或AC=−5（舍去）．
∴ AC的值为2.
(3)解：∵tanB=12，
∴ OF=12r.
∵ ∠B+∠A=90∘,∠D+∠A=90∘，
∴ ∠D=∠B，
∴ OD=2r，
∴ OD=4OF，
∴ DFOF=3.
∵ CE=12DF，
∴ CE=32OF．
【考点】
切线的判定与性质
相似三角形的性质与判定
锐角三角函数的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：连接OC，如图，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90∘，
∴ ∠DCF=90∘，
在Rt△DCF中，点E是DF中点，
∴ CE=12DF=EF，
∴ ∠ECF=∠EFC=∠OFB，
又∵ OC=OB，
∴ ∠OCB=∠OBF，
∴ ∠ECF+∠OCB=∠OFB+∠OBF，
∴ ∠OCE=∠OFB+∠OBF，
∵ OD⊥AB，
∴ ∠FOB=90∘，
∴ ∠OFB+∠OBF=90∘，
∴ ∠OCE=90∘，
即CE⊥OC，
∵ 点C在⊙O上，
∴ CE是⊙O的切线.
(2)解：∵ ∠ACB=∠AOD=90∘，∠BAC=∠DAO，
∴ △ABC∽△ADO．
∴ ACAO=ABAD，
即2r2=AC⋅AD，
则有： 2×52=ACAC+3，
解得： AC=2或AC=−5（舍去）．
∴ AC的值为2.
(3)解：∵tanB=12，
∴ OF=12r.
∵ ∠B+∠A=90∘,∠D+∠A=90∘，
∴ ∠D=∠B，
∴ OD=2r，
∴ OD=4OF，
∴ DFOF=3.
∵ CE=12DF，
∴ CE=32OF．
【答案】
解：(1)当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0）
∵ y=kx+b经过点0,40,50,90，
∴ b=40,50k+b=90, 解得：k=1,b=40,
∴ 售价y与时间x的函数关系式为y=x+40.
当50≤x≤90时，y=90．
∴ 售价y与时间x的函数关系式为y=x+40(1≤x≤50,且x为整数),90(50≤x≤90,且x为整数).
由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n(m,n为常数，且m≠0），
∵ p=mx+n过点60,80,30,140，
∴ 60m+n=80,30m+n=140, 解得：m=−2,n=200,
∴ p=−2x+200(0≤x≤90，且x为整数），
当1≤x≤50时，w=y−30⋅p=x+40−30−2x+200=−2x2+180x+2000；
当50≤x≤90时，w=90−30−2x+200=−120x+12000．
综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是
w=−2x2+180x+2000(1≤x≤50,且x为整数),−120x+12000(50≤x≤90,且x为整数).
(2)当1≤x≤50时，w=−2x2+180x+2000=−2x−452+6050，
∵ a=−2<0且1≤x≤50，
∴ 当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．
当50≤x≤90时，w=−120x+12000，
∵ k=−120<0，w随x增大而减小，
∴ 当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．
∵ 6050>6000，
∴ 当x=45时，w最大，最大值为6050元．
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．
(3)当0解得： 31≤x≤59，
又∵ 0∴ 31≤x<50
50−31=19（天）；
当50≤x≤90时，令w=−120x+12000≥5658，即−120x+6342≥0，
解得： 50≤x≤52.85，
∵ x为整数，
∴ 50≤x≤52，
52−50+1=3（天）．
综上可知：19+3=22（天），
故该商品在销售过程中，共有22天每天的销售利润不低于5658元．
【考点】
一次函数的应用
二次函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0）
∵ y=kx+b经过点0,40,50,90，
∴ b=40,50k+b=90, 解得：k=1,b=40,
∴ 售价y与时间x的函数关系式为y=x+40.
当50≤x≤90时，y=90．
∴ 售价y与时间x的函数关系式为y=x+40(1≤x≤50,且x为整数),90(50≤x≤90,且x为整数).
由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n(m,n为常数，且m≠0），
∵ p=mx+n过点60,80,30,140，
∴ 60m+n=80,30m+n=140, 解得：m=−2,n=200,
∴ p=−2x+200(0≤x≤90，且x为整数），
当1≤x≤50时，w=y−30⋅p=x+40−30−2x+200=−2x2+180x+2000；
当50≤x≤90时，w=90−30−2x+200=−120x+12000．
综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是
w=−2x2+180x+2000(1≤x≤50,且x为整数),−120x+12000(50≤x≤90,且x为整数).
(2)当1≤x≤50时，w=−2x2+180x+2000=−2x−452+6050，
∵ a=−2<0且1≤x≤50，
∴ 当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．
当50≤x≤90时，w=−120x+12000，
∵ k=−120<0，w随x增大而减小，
∴ 当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．
∵ 6050>6000，
∴ 当x=45时，w最大，最大值为6050元．
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．
(3)当0解得： 31≤x≤59，
又∵ 0∴ 31≤x<50
50−31=19（天）；
当50≤x≤90时，令w=−120x+12000≥5658，即−120x+6342≥0，
解得： 50≤x≤52.85，
∵ x为整数，
∴ 50≤x≤52，
52−50+1=3（天）．
综上可知：19+3=22（天），
故该商品在销售过程中，共有22天每天的销售利润不低于5658元．
【答案】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠DAF=∠BAM=90∘，AD=AB，
在△ADF和△ABM中，
AF=AM,∠DAF=∠BAM,AD=AB,
∴ △ADF≅△ABM．
(2)解：四边形DFEM是平行四边形．理由如下：
延长BM交DF于K，如图，
∵ △ADF≅△ABM，
∴ DF=BM，∠ABM=∠ADF.
∵ EM=BM，
∴ EM=DF.
∵ ∠ABM+∠AMB=90∘，∠AMB=∠DMK，
∴ ∠ADF+∠DMK=90∘，
∴ ∠BKD=90∘.
∵ ∠EMB=90∘，
∴ ∠EMB=∠BKF=90∘，
∴ EM // DF，
∴ 四边形DFEM是平行四边形．
(3)解：设DM=x，则AM=AF=5−x，
S平行四边形EFDM=DM⋅AF=x(5−x)=−(x−52)2+254，
∵ −1<0，
∴ x=52时，平行四边形EFDM的面积最大，最大面积为254，
∴ 当AM=12AD时，平行四边形EFDM的面积最大，最大面积为254．
【考点】
正方形的性质
全等三角形的性质与判定
旋转的性质
平行四边形的判定
二次函数的应用
二次函数的最值
【解析】
（1）根据SAS即可证明；
（2）只要证明EM＝DF，EM // DF即可解决问题；
（3）如图2中，设DM＝x，则AM＝AF＝5−x，构建二次函数，理由二次函数的性质即可解决问题；
【解答】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠DAF=∠BAM=90∘，AD=AB，
在△ADF和△ABM中，
AF=AM,∠DAF=∠BAM,AD=AB,
∴ △ADF≅△ABM．
(2)解：四边形DFEM是平行四边形．理由如下：
延长BM交DF于K，如图，
∵ △ADF≅△ABM，
∴ DF=BM，∠ABM=∠ADF.
∵ EM=BM，
∴ EM=DF.
∵ ∠ABM+∠AMB=90∘，∠AMB=∠DMK，
∴ ∠ADF+∠DMK=90∘，
∴ ∠BKD=90∘.
∵ ∠EMB=90∘，
∴ ∠EMB=∠BKF=90∘，
∴ EM // DF，
∴ 四边形DFEM是平行四边形．
(3)解：设DM=x，则AM=AF=5−x，
S平行四边形EFDM=DM⋅AF=x(5−x)=−(x−52)2+254，
∵ −1<0，
∴ x=52时，平行四边形EFDM的面积最大，最大面积为254，
∴ 当AM=12AD时，平行四边形EFDM的面积最大，最大面积为254．
【答案】
解：(1)∵ 点A(−1, 0)，点C(0, 3)在抛物线y=−x2+bx+c上，
∴ −1−b+c=0，c=3，
解得b=2，c=3．
即抛物线的表达式是y=−x2+2x+3；
(2)令−x2+2x+3=0，解得x1=−1，x2=3，
∵ 点A(−1, 0)，
∴ 点B的坐标为(3, 0)．
设过点B，C的直线的解析式为：y=kx+b，
3k+b=0，b=3，
解得k=−1，b=3，
∴ 过点B，C的直线的解析式为：y=−x+3．
设点P的坐标为(a, −a+3)，则点D的坐标为(a, −a2+2a+3)，
∴ PD=(−a2+2a+3)−(−a+3)=−a2+3a．
∴ S△BDC=S△PDC+S△PDB
=12PD⋅a+12PD⋅(3−a)
=12(−a2+3a)⋅a+12(−a2+3a)⋅(3−a)
=−32(a−32)2+278．
∴ 当a=32时，△BDC的面积最大，
∴ 点P的坐标为(32,32)．
(3)存在．
①当AC是平行四边形的边时，则点E的纵坐标为3或−3，
∵ E是抛物线上的一点，
∴ 将y=3代入y=−x2+2x+3，得x1=0（舍去），x2=2;
将y=−3代入y=−x2+2x+3，得x3=1+7，x4=1−7．
∴ E1(2, 3)，E2(1+7, −3)，E3(1−7, −3)，
则点F1(1, 0)，F2(2+7, 0)，F3(2−7, 0)，
②当AC为平行四边形的对角线时，则点E的纵坐标为3，
∵ E是抛物线上的一点，
∴ 将y=3代入y=−x2+2x+3，得x1=0（舍去），x2=2；
即点E4(2, 3)，则F4(−3, 0)．
由上可得，点F的坐标是：F1(1, 0)，F2(2+7, 0)，F3(2−7, 0)，F4(−3, 0)．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数综合题
【解析】
（1）根据抛物线y＝−x2+bx+c经过点A，B，C，已知点A(−1, 0)，点C(0, 3)，可以求得抛物线的表达式；
（2）根据函数的解析式可以求得点B的坐标，从而可以求得直线BC的解析式，设出点P、D的坐标从而可以表示出△BDC的面积，从而可以得到点P的坐标；
（3）根据题意可知AC可能为平行四边形的边，也可能为对角线，从而可以分为两种情况，从而可以分别求得点E、F的坐标．
【解答】
解：(1)∵ 点A(−1, 0)，点C(0, 3)在抛物线y=−x2+bx+c上，
∴ −1−b+c=0，c=3，
解得b=2，c=3．
即抛物线的表达式是y=−x2+2x+3；
(2)令−x2+2x+3=0，解得x1=−1，x2=3，
∵ 点A(−1, 0)，
∴ 点B的坐标为(3, 0)．
设过点B，C的直线的解析式为：y=kx+b，
3k+b=0，b=3，
解得k=−1，b=3，
∴ 过点B，C的直线的解析式为：y=−x+3．
设点P的坐标为(a, −a+3)，则点D的坐标为(a, −a2+2a+3)，
∴ PD=(−a2+2a+3)−(−a+3)=−a2+3a．
∴ S△BDC=S△PDC+S△PDB
=12PD⋅a+12PD⋅(3−a)
=12(−a2+3a)⋅a+12(−a2+3a)⋅(3−a)
=−32(a−32)2+278．
∴ 当a=32时，△BDC的面积最大，
∴ 点P的坐标为(32,32)．
(3)存在．
①当AC是平行四边形的边时，则点E的纵坐标为3或−3，
∵ E是抛物线上的一点，
∴ 将y=3代入y=−x2+2x+3，得x1=0（舍去），x2=2;
将y=−3代入y=−x2+2x+3，得x3=1+7，x4=1−7．
∴ E1(2, 3)，E2(1+7, −3)，E3(1−7, −3)，
则点F1(1, 0)，F2(2+7, 0)，F3(2−7, 0)，
②当AC为平行四边形的对角线时，则点E的纵坐标为3，
∵ E是抛物线上的一点，
∴ 将y=3代入y=−x2+2x+3，得x1=0（舍去），x2=2；
即点E4(2, 3)，则F4(−3, 0)．
由上可得，点F的坐标是：F1(1, 0)，F2(2+7, 0)，F3(2−7, 0)，F4(−3, 0)．金额/元
5
10
20
50
100
人数
6
17
14
8
5