2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（下）4月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（下）4月月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 数轴上表示−2的点到原点的距离是( )
A.2B.−2C.12D.−12

2. 如图， △ABC的顶点在正方形网格的格点上，则∠BAC+∠ACB的度数为( )

A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

3. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体是( )

A.B.C.D.

4. 下列计算正确的是( )
A.2a+3b=5abB.a3⋅a2=a6
C.−a3b2=a6b2D.a−22=a2−2a+4

5. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2=39．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是( )
A.平均分不变，方差变大B.平均分不变，方差变小
C.平均分和方差都不变D.平均分和方差都改变

6. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( )
A.300x−2060=3001.2xB.300x−3001.2x=20
C.300x−300x+1.2x=2060D.300x=3001.2x−2060

7. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为( )

A.900sinα米B.900tanα米C.900sinα米D.900tanα米

8. 如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠ADC=35∘ ，则∠OBC=( )

A.15∘B.20∘C.30∘D.35∘

9. 将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是( )

A.2025B.2023C.2022D.2021

10. 如图，已知Pm,0,Q0,nm>0,n>0，反比例函数y=mx的图象与线段PQ交于C，D两点，若S△POC=S△COD=S△DOQ，则n=( )

A.92B.4C.3D.32
二、填空题

2020年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000m，数36000000用科学记数法表示为________.

如图，等腰△ABC中，AB=AC, AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E．若∠DBC=15∘ ，则∠A=________.


若a−b=2，ab=1，则a3b−2a2b2+ab3=________.

已知实数a，b，c，d满足a bc d=ad−bc，若 a 3a2 2a=8 ，则a=________．

如图，将半径为2的圆形纸片，按如下方式折叠，若AB和BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是_________.


如图，边长为2的菱形ABCD的顶点A，D分别在直角∠MON的边OM，ON上滑动．若∠ABC=120∘ ，则线段OC的最大值为________.

三、解答题

计算： 3tan30∘−38+π−30+|−2|．

化简： 1−5x+2÷x2−6x+9x+2.

某市教育局想了解各学校教职工参与志愿服务的情况，在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．
请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：
(1)表中a=________；扇形统计图中“C”部分所占百分比为________，“D”所对应的扇形圆心角的度数为________；若该市共有5000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工人数大约为________人；

(2)若李老师和王老师参加志愿服务活动，社区随机安排他们两人到三个不同的路口做文明劝导员．他们被安排在每一个路口的可能性相同．请用列表或画树状图的方法求出李老师和王老师恰好被安排在同一路口的概率．

已知关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；

(2)若方程的两根都为整数，求正整数m的值．

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE//BC交AB于点E，作DF//AB交BC于点F．

(1)求证：四边形BEDF是菱形；

(2)若∠BDE=15∘，∠C=45∘，CD=22，求DE的长．

如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点， BC=7，AD为⊙O的弦，连接BD， ∠BAD=∠ABD=30∘，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．

(1)求证：直线BD是⊙O的切线；

(2)求线段ME的长．

某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系式为：y=−2x+140(40≤x<60)，−x+80(60≤x≤70).
(1)当售价为60元/件时，年销售量为________万件；

(2)当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？

(3)若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出x的取值范围.

如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为边在正方形的外部作正△ABE，点F是对角线BD上的一个动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60∘ 得线段AG，连接FG．

(1)BD=________；

(2)当G，F，C三点在同一直线上时，判断线段BD与AG的数量关系及位置关系，并证明你的结论：

(3)连接EG，若AG=3，直接写出EG的长．

如图1，已知抛物线y=ax2−6ax+c过点A2,0，C0,−4，交x轴于点B，顶点为D，连接AC，BC．

(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

(2)M为抛物线上一点，若tan∠BCM=13，求直线CM的解析式：

(3)如图2，CA，BD的延长线交于点E，点P在(1)中的抛物线的对称轴上，Q为y轴左侧的抛物线上一点，是否存在以点O，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
数轴
【解析】
把−2表示在数轴上，根据数轴直接回答问题．
【解答】
解：−2在数轴上的位置如图所示：
根据图示知，数轴上表示−2的点到原点的距离是2．
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
三角形的外角性质
正方形的性质
【解析】
如图，由三角形外角性质可知∠DBC=∠BAC+∠ACB，由BC是正方形对角线可得∠DBC=45∘即可得解．
【解答】
解：如图，
∵∠DBC是△ABC外角，
∴∠DBC=∠BAC+∠ACB.
又∵BC是正方形对角线，
∴∠DBC=45∘，
∴∠BAC+∠ACB=45∘．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
由三视图判断几何体
【解析】
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】
解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
同底数幂的乘法
合并同类项
幂的乘方与积的乘方
完全平方公式
【解析】
根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，完全平方公式进行计算即可．
【解答】
解：A，3a和2b不是同类项，不能进行合并，故A错误；
B，a3⋅a2=a3+2=a5，故B错误；
C，−a3b2=a6b2，故C正确；
D，a−22=a2−4a+4，故D错误；
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
方差
算术平均数
【解析】
根据平均数，方差的定义计算即可．
【解答】
解：∵ 小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
∴ 该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小.
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
由实际问题抽象为分式方程
【解析】
关键描述语为：提前20分钟完成任务；等量关系为：原计划用的时间-提前的时间＝实际用的时间．
【解答】
解：原计划植树用的时间应该表示为300x，而实际用的时间为3001.2x,
那么方程可表示为300x − 2060 = 3001.2x．
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
在Rt△ABC中，∠CAB=90∘，∠B=α，AC=800米，根据tanα=ACAB，即可解决问题.
【解答】
解：在Rt△ABC中，
∵ ∠CAB=90∘，∠B=α，AC=900米，
∴ tanα=ACAB，
∴ AB=ACtanα=900tanα．
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
三角形内角和定理
垂径定理
【解析】
由OA⊥BC，根据垂径定理的即可求得：AC⌢=AB⌢，然后由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，再由三角形内角和可得∠OBC．
【解答】
解： ∵OA⊥BC，
∴AC=AB，
∴∠AOB=2∠ADC=2×35∘=70∘，
在Rt△OBE中，∠OBC=90∘−∠AOB=90∘−70∘=20∘．
故选B．
9.
【答案】
C
【考点】
规律型：数字的变化类
【解析】
根据数字的变化关系发现规律第n行的第一个数为n2，即可得第45行第一个数为2025，第4列用2025−3即可得结论．
【解答】
解：观察数字的变化，
发现规律：
第n行的第一个数为n2，
所以第45行第一个数为452=2025，
再依次减1，到第4列，
即452−3=2022．
故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
待定系数法求一次函数解析式
一次函数图象上点的坐标特点
三角形的面积
【解析】
设直线PQ的解析式为y=kx+b，根据题意，可得关于k、b的关系式，过点D、C分别作x轴的垂线，垂足分别点E、F，由S△POC=S△DOC=S△DOQ,可得关系式，解可得答案．
【解答】
解：设直线PQ的解析式为y=kx+b，
根据题意，得：mk+b=0，b=n，
解得：k=−nm，b=n，
所以直线PQ的函数关系式为y=−nmx+n.
过点D，C分别作x轴的垂线，垂足分别点E，F，
当S△POC=S△DOC=S△DOQ 时，
有S△POC=13S△POQ，
即12OP⋅CF=13×12OP⋅OQ，
∴CF=13OQ=13n，
即C点的纵坐标为13n，
将y=13n代入y=mx，得x=3mn，
将x=3mn，y=13n代入直线的函数关系式y=−nmx+n，
得13n=−3+n，
则n=92.
故选A.
二、填空题
【答案】
3.6×107
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】
解：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.
则36000000=3.6×107.
故答案为：3.6×107.
【答案】
50∘
【考点】
等腰三角形的性质
线段垂直平分线的性质
三角形内角和定理
【解析】
由AB的垂直平分线MN交AC于点D，可得AD=BD，即可证得∠ABD=∠A，又由等腰△ABC中，AB=AC，可得∠ABC，继而可得：180∘−∠A2−∠A=15∘，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AD=BD，
∴ ∠ABD=∠A，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=180∘−∠A2，
∴ ∠DBC=∠ABC−∠ABD=180∘−∠A2−∠A=15∘，
解得∠A=50∘．
故答案为：50∘.
【答案】
4
【考点】
因式分解-提公因式法
因式分解-运用公式法
因式分解的应用
【解析】
将所求的代数式利用提公因式法及完全平方公式进行因式分解，然后代入求知即可.
【解答】
解：∵ a−b=2，ab=1，
∴ a3b−2a2b2+ab3=aba2−2ab+b2
=aba−b2=1×22=4.
故答案为：4.
【答案】
4或−1
【考点】
定义新符号
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
根据新运算列出方程，求出x．再根据新运算列出算式，求出后代入即可求出答案．
【解答】
解．∵ a 3a2 2a=8，
∴ a⋅2a−2×3a=8，
即a2−3a−4=0，
解得a=4或a=−1.
故答案为：4或−1.
【答案】
4π3
【考点】
扇形面积的计算
翻折变换（折叠问题）
含30度角的直角三角形
【解析】
作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30∘，得到∠AOB=2∠AOD=120∘，进而求得∠AOC=120∘，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC求解．
【解答】
解：如图，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO.
∵ OD=12OA，
∴ ∠OAD=30∘，
∴ ∠AOB=2∠AOD=120∘，
同理∠BOC=120∘，
∴ ∠AOC=120∘，
∴ 阴影部分的面积=S扇形AOC=120×π×22360=4π3．
故答案为：4π3.
【答案】
1+7
【考点】
菱形的性质
勾股定理
解直角三角形
【解析】
延长AD,过点C作CF⊥AD延长线于点F，当滑动到OC与AD的交点是AD的中点时，OC最大，即O,AD的中点E，C共线时，OC=OE+EC，再根据菱形的性质和勾股定理求出OE,CE,即可解答.
【解答】
解：延长AD，过点C作CF⊥AD延长线于点F，
当滑动到OC与AD的交点是AD的中点时，OC最大，即O，AD的中点E，C共线时，
OC=OE+EC，
∵菱形ABCD，AD=2，∠MON=90∘，E为AD中点，
∴OE=12AD=1.
∵∠ABC=120∘，
∴∠DAB=60∘，∠FDC=60∘，∠FCD=30∘，
∴FC=CD⋅sin60∘=2×32=3，FD=CD⋅sin30∘=2×12=1，
∴CE=CF2+FE2=3+1+12=3+4=7，
∴OC的最大值：OE+EC=1+7．
故答案为：1+7．
三、解答题
【答案】
解：原式=3×33−2+1+2
=2．
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
特殊角的三角函数值
绝对值
实数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=3×33−2+1+2
=2．
【答案】
解： 1−5x+2÷x2−6x+9x+2
=x−3x+2÷x−32x+2
=x−3x+2⋅x+2x−32
=1x−3．
【考点】
分式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： 1−5x+2÷x2−6x+9x+2
=x−3x+2÷x−32x+2
=x−3x+2⋅x+2x−32
=1x−3．
【答案】
4,32%,144∘,3600
(2)设三个路口分别为1，2，3，画图如下：
可以看出，共有9种结果，并且它们出现的可能性相等，李老师和王老师在同一路口的结果有3种．
所以 P=39=13．
【考点】
频数（率）分布表
扇形统计图
用样本估计总体
列表法与树状图法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)调查的总人数为：1020%=50(人)，
a=50−10−16−20=4；
扇形统计图中“C”部分所占百分比为1650×100%=32%；
“D”所对应的扇形圆心角的度数为2050×360∘=144∘；
若该市共有5000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工人数大约为16+2050×5000=3600（人）.
故答案为：4；32%；144∘ ；3600．
(2)设三个路口分别为1，2，3，画图如下：
可以看出，共有9种结果，并且它们出现的可能性相等，李老师和王老师在同一路口的结果有3种．
所以 P=39=13．
【答案】
解：(1)∵关于x的方程x2−6x+2m−1=0有两个不相等的实数根，
∴ Δ>0，
∴ Δ=−62−42m−1=−8m+40>0，
解得，m<5.
(2)由题意得，
x=6±40−8m2=3±10−2m，
∵ x为整数，且m为正整数，
∴ m=3或m=5，
又m<5，
∴ m=3．
【考点】
根的判别式
解一元二次方程-公式法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵关于x的方程x2−6x+2m−1=0有两个不相等的实数根，
∴ Δ>0，
∴ Δ=−62−42m−1=−8m+40>0，
解得，m<5.
(2)由题意得，
x=6±40−8m2=3±10−2m，
∵ x为整数，且m为正整数，
∴ m=3或m=5，
又m<5，
∴ m=3．
【答案】
(1)证明：∵ DE//BC， DF//AB，
∴ 四边形BEDF是平行四边形．
∴∠EDB=∠FBD.
∵ BD平分∠ABC交AC于D，
∴ ∠EBD=∠FBD ，
∴ ∠EBD=∠BDE，
∴ BE=ED．
∴ 四边形BEDF是菱形．
(2)解：作DG⊥BC于点G，
∴ ∠DGC=90∘．
∵ 四边形BFDE是菱形，
∴ ∠BDE=∠BDF，DE=DF.
∵ ∠BDE=15∘，
∴ ∠EDF=∠DFC=30∘．
在Rt△CDG中，
∵ ∠C=45∘，CD=22，
∴ DG=2．
在Rt△FDG中，
∵ ∠DFC=30∘，
∴ DF=4，
∴ DE=4．
【考点】
菱形的判定
解直角三角形
菱形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ DE//BC， DF//AB，
∴ 四边形BEDF是平行四边形．
∴∠EDB=∠FBD.
∵ BD平分∠ABC交AC于D，
∴ ∠EBD=∠FBD ，
∴ ∠EBD=∠BDE，
∴ BE=ED．
∴ 四边形BEDF是菱形．
(2)解：作DG⊥BC于点G，
∴ ∠DGC=90∘．
∵ 四边形BFDE是菱形，
∴ ∠BDE=∠BDF，DE=DF.
∵ ∠BDE=15∘，
∴ ∠EDF=∠DFC=30∘．
在Rt△CDG中，
∵ ∠C=45∘，CD=22，
∴ DG=2．
在Rt△FDG中，
∵ ∠DFC=30∘，
∴ DF=4，
∴ DE=4．
【答案】
(1)证明：∵ OA=OD，∠BAD=∠ABD=30∘，
∴ ∠BAD=∠ADO=30∘，
∴ ∠DOB=∠BAD+∠ADO=60∘，
∴ ∠ODB=180∘−∠DOB−∠DBO=90∘，
∵ OD是半径，
∴ BD是⊙O的切线.
(2)解：连接DM，
∵ BD为切线，
∴ ∠ODB=90∘， ∠DBC=30∘．
∴ OD=12OB.
∵ OC=OD，
∴ BC=OC=7，
∴ ⊙O的半径OD的长为7.
∴ DE=14，BD=73，
∴ BE=77，
∵DE⋅BD=DM⋅BE，
∴ DM=221，
∴ EM=47.
【考点】
切线的判定
三角形的外角性质
含30度角的直角三角形
勾股定理
圆周角定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ OA=OD，∠BAD=∠ABD=30∘，
∴ ∠BAD=∠ADO=30∘，
∴ ∠DOB=∠BAD+∠ADO=60∘，
∴ ∠ODB=180∘−∠DOB−∠DBO=90∘，
∵ OD是半径，
∴ BD是⊙O的切线.
(2)解：连接DM，
∵ BD为切线，
∴ ∠ODB=90∘， ∠DBC=30∘．
∴ OD=12OB.
∵ OC=OD，
∴ BC=OC=7，
∴ ⊙O的半径OD的长为7.
∴ DE=14，BD=73，
∴ BE=77，
∵DE⋅BD=DM⋅BE，
∴ DM=221，
∴ EM=47.
【答案】
20
(2)当40≤x<60时，W=−2x2+200x−4200=−2(x−50)2+800，
∴ 当x=50时，W取得最大值，最大值为800；
当60≤x≤70时，W=−x2+110x−2400=−(x−55)2+625，
∴ 当x>55时，W随x的增大而减小，
∴ 当x=60时，W取得最大值，最大值为−(60−55)2+625=600.
∵ 800>600，
∴ 当x=50时，W取得最大值800.
答：该产品的售价x为50元/件时，年利润最大，最大年利润是800万元.
(3)当40≤x<60时，由W≥750，
得−2(x−50)2+800≥750，
解得：45≤x≤55；
当60≤x≤70时，W的最大值为600<750，
∴ 要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，
该产品的售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55.
【考点】
函数值
二次函数的应用
二次函数的最值
一元二次不等式
【解析】
（1）根据：年利润＝（售价-成本）×年销售量，结合x的取值范围可列函数关系式；
（2）将（1）中两个二次函数配方后依据二次函数的性质可得其最值情况，比较后可得答案；
（3）根据题意知W≥750，可列关于x的不等式，求解可得x的范围．
【解答】
解：(1)当x=60时，y=−x+80=−60+80=20.
故答案为：20.
(2)当40≤x<60时，W=−2x2+200x−4200=−2(x−50)2+800，
∴ 当x=50时，W取得最大值，最大值为800；
当60≤x≤70时，W=−x2+110x−2400=−(x−55)2+625，
∴ 当x>55时，W随x的增大而减小，
∴ 当x=60时，W取得最大值，最大值为−(60−55)2+625=600.
∵ 800>600，
∴ 当x=50时，W取得最大值800.
答：该产品的售价x为50元/件时，年利润最大，最大年利润是800万元.
(3)当40≤x<60时，由W≥750，
得−2(x−50)2+800≥750，
解得：45≤x≤55；
当60≤x≤70时，W的最大值为600<750，
∴ 要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，
该产品的售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55.
【答案】
42
(2) BD=3AG ，BD//AG.理由如下：
连接AC，
由旋转可知AG=AF，∠GAF=60∘，
∴ △AGF是等边三角形，
∴ AF=GF，∠G=60∘，
易得， △ABF≅△CBF，
∴ AG=AF=CF，
∴ △AGC是直角三角形，∠FAC=∠FCA=30∘ ，
tan∠G=ACAG，即tan60∘=ACAG=3，
∴ AC=3AG，
∴ BD=AC=3AG.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，
∵ AC⊥AG，
∴ BD//AG．
(3)22+1或22−1.
如图，过点F作FH⊥AB于H，
易证△AEG≅△ABF，
∴ AG=AF=3，EG=BF.
∵ ∠ABD=45∘，
∴ BH=FH.
设BH=FH=x，则AH=4−x，
在Rt△AHF中，由勾股定理可得x2+(4−x)2=9，
整理得2x2−8x+7=0，
解得x=2±22，即EG=BF=2BH=22±1.
【考点】
勾股定理
全等三角形的性质与判定
解直角三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1) BD=42+42=42.
故答案为：42.
(2) BD=3AG ，BD//AG.理由如下：
连接AC，
由旋转可知AG=AF，∠GAF=60∘，
∴ △AGF是等边三角形，
∴ AF=GF，∠G=60∘，
易得， △ABF≅△CBF，
∴ AG=AF=CF，
∴ △AGC是直角三角形，∠FAC=∠FCA=30∘ ，
tan∠G=ACAG，即tan60∘=ACAG=3，
∴ AC=3AG，
∴ BD=AC=3AG.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，
∵ AC⊥AG，
∴ BD//AG．
(3)22+1或22−1.
如图，过点F作FH⊥AB于H，
易证△AEG≅△ABF，
∴ AG=AF=3，EG=BF.
∵ ∠ABD=45∘，
∴ BH=FH.
设BH=FH=x，则AH=4−x，
在Rt△AHF中，由勾股定理可得x2+(4−x)2=9，
整理得2x2−8x+7=0，
解得x=2±22，即EG=BF=2BH=22±1.
【答案】
解：(1)∵ 抛物线y=ax2−6ax+c过点A2,0和C0,−4，
∴ 4a−12a+c=0,c=−4，
解得， a=−12，c=−4，
∴ y=−12x2+3x−4.
顶点D的坐标为3,12.
(2)延长CA，BD交于点E，
由B4,0，D3,12 得yBD=−12x+2，
由C0,−4，A2,0得yAC=2x−4，
由 y=−12x+2，y=2x−4， 得E125,45，
∴ AE=255，BE=455，AB=2，CE=1255，
∵AE2+BE2=AB2,
∴△AEB是直角三角形，且∠AEB=90∘，
∴ tan∠BCA=BECE=13，
∴ 点A即为符合条件的点，
∴ M12,0，直线CM的解析式为： yCM1=2x−4.
当M在BC下方时，如图，设CM交对称轴于点F，过C作CN⊥FD于点N，
则∠BCN=45∘，
∵ ∠OCB=∠BCN=45∘， ∠BCA=∠BCM,
∴ ∠FCN=∠ACO，
∴ tan∠FCN=tan∠ACO=OAOC=FNCN=12，
∴ FN=12CN=32，
∴ F3,−52，得直线CM解析式为yCM2=12x−4，
∴符合条件的直线CM解析式为： yCM1=2x−4 ，yCM2=12x−4，
(3)设对称轴交x轴于点G，P3,m，由(2)知△ABE为直角三角形，且AEBE=12，
①当∠OPQ=90∘时，过Q作QH⊥PG于点H，易得△OPG∼△PQH,
∴ OPPQ=OGPH=PGQH，
若OPPQ=OGPH=PGQH=AEBE=12，
则PH=2OG=6，QH=2PG=−2m，
∴ Q2m+3,m−6，
∴ 可得方程m−6=−122m+32+32m+3−4，
解得， m=−1±534，
∴ 符合题意的点Q15−532,−25−534.
若OPPQ=BEAE=2，则同理可得Q21−22,−112−42，
②当∠PQO=90∘时，同理可得Q31−5,−4−25，
③当∠POQ=90∘ 时，可得Q43−13,−6，
综上所述，Q点的坐标为Q15−532,−25−534，Q21−22,−112−42，Q31−5,−4−25，Q43−13,−6．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
勾股定理
解直角三角形
待定系数法求一次函数解析式
锐角三角函数的定义
二次函数综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 抛物线y=ax2−6ax+c过点A2,0和C0,−4，
∴ 4a−12a+c=0,c=−4，
解得， a=−12，c=−4，
∴ y=−12x2+3x−4.
顶点D的坐标为3,12.
(2)延长CA，BD交于点E，
由B4,0，D3,12 得yBD=−12x+2，
由C0,−4，A2,0得yAC=2x−4，
由 y=−12x+2，y=2x−4， 得E125,45，
∴ AE=255，BE=455，AB=2，CE=1255，
∵AE2+BE2=AB2,
∴△AEB是直角三角形，且∠AEB=90∘，
∴ tan∠BCA=BECE=13，
∴ 点A即为符合条件的点，
∴ M12,0，直线CM的解析式为： yCM1=2x−4.
当M在BC下方时，如图，设CM交对称轴于点F，过C作CN⊥FD于点N，
则∠BCN=45∘，
∵ ∠OCB=∠BCN=45∘， ∠BCA=∠BCM,
∴ ∠FCN=∠ACO，
∴ tan∠FCN=tan∠ACO=OAOC=FNCN=12，
∴ FN=12CN=32，
∴ F3,−52，得直线CM解析式为yCM2=12x−4，
∴符合条件的直线CM解析式为： yCM1=2x−4 ，yCM2=12x−4，
(3)设对称轴交x轴于点G，P3,m，由(2)知△ABE为直角三角形，且AEBE=12，
①当∠OPQ=90∘时，过Q作QH⊥PG于点H，易得△OPG∼△PQH,
∴ OPPQ=OGPH=PGQH，
若OPPQ=OGPH=PGQH=AEBE=12，
则PH=2OG=6，QH=2PG=−2m，
∴ Q2m+3,m−6，
∴ 可得方程m−6=−122m+32+32m+3−4，
解得， m=−1±534，
∴ 符合题意的点Q15−532,−25−534.
若OPPQ=BEAE=2，则同理可得Q21−22,−112−42，
②当∠PQO=90∘时，同理可得Q31−5,−4−25，
③当∠POQ=90∘ 时，可得Q43−13,−6，
综上所述，Q点的坐标为Q15−532,−25−534，Q21−22,−112−42，Q31−5,−4−25，Q43−13,−6．
志愿服务时间（小时）
频数
A
0a
B
3010
C
6016
D
9020