2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（下）5月月考数学试卷 (1)

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（下）5月月考数学试卷 (1)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 实数2021的倒数是( )
A.2021B.−2021C.−12021D.12021

2. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )
A.平行线间的距离处处相等B.两点之间线段最短
C.垂线段最短D.两点确定一条直线

3. 下列几何体其中左视图是矩形的有( )

A.4个B.3个C.2个D.1个

4. 下列计算正确的是( )
A.−a3b2=a6b2B.a3⋅a2=a6
C.2a+3b=5abD.a−22=a2−2a+4

5. 某组数据方差计算公式为：S2=1n21−x2+32−x2+53−x2，由公式提供的信息，下列说法错误的是( )
A.样本的容量是10B.样本的中位数是2.5
C.样本的众数是3D.样本的平均数是2.4

6. 如图，电线杆的高度为CD=m，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），若∠CBA=α，则拉线AC的长度可以表示为( )

A.msinαB.mcsαC.mcsαD.mtanα

7. “绿水青山就是金山银山”，为了加大深圳城市森林覆盖率，市政府决定在2021年3月12日植树节前植树2000棵，在植树400棵后，为了加快任务进程，采用新设备，植树效率比原来提升了25% ，结果比原计划提前5天完成所有计划，设原计划每天植树x棵，依题意可列方程( )
A.2000x−2000x(1+25%)=5
B.2000−400x(1+25%)−2000−400x=5
C.2000x−2000−400x(1+25%)=5
D.2000−400x−2000−400x(1+25%)=5

8. 如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠ADC=35∘ ，则∠OBC=( )

A.15∘B.20∘C.30∘D.35∘

9. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根这种的规律，m的值是( )

A.92B.88C.90D.94

10. 如图，P为反比例函数y=kxk>0 在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y=−x−6的图象于点A，B，若∠AOB=135∘ ，则k=( )

A.36B.24C.122D.18
二、填空题

2021年5月，据国家工信部统计，我国目前每周增加1万多个5G基站，全国5G客户累计超过36000000人次，把数36000000用科学记数法表示为________.

如图，在四边形ABCD中，AD // BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为________．


若b−a=3，ab=2，则a3b−2a2b2+ab3=_________.

对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Maxa,b表示a，b中的较大值，例如：Max{2,4}=4，按照这个规定，则方程Maxx,−x=2x+1x的解为________.

如图，三角形ABC是等腰直角三角形， AB=AC=4，弧AD是以CA为半径的圆的一部分，以AB为直径的半圆交BC于E，则图中阴影部分的面积为________.


如图，正方形ABCD的边长为9，⊙B的半径为3，P为⊙B上的动点，则3PD+PC的最小值为________.

三、解答题

计算：−32+1−3+2sin60∘−27.

化简：8x+1−x+1÷x+3x+1.

在“五四青年节”来临之际，某校举办了以“我的青春我做主”为主题的演讲比赛．并从参加比赛的学生中随机抽取部分学生的演讲成绩进行统计（等级：A：优秀，B：良好，C：一般，D：较差），并制作了如图统计图表（部分信息未给出） ：请根据统计图表中的信息解答下列问题：

(1)这次共抽取了________名参加演讲比赛的学生；统计表中n=________；统计图中a=________；扇形统计图中演讲成绩等级为“一般”所对应扇形的圆心角的度数为________；若该校学生共有2000人，如果都参加了演讲比赛，那么估计成绩达到优秀的有________人；

(2)若演讲比赛成绩为A等级的学生中恰好有2名女生，其余的学生为男生，从A等级的学生中抽取两名同学参加全市演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽中一名男生和一名女生的概率．

已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k−4=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的两个根都是整数，求k的值并求出方程的两个整数根．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，点F是CB的中点，点E是AB的中点，点D是CA延长线上的一点，且AD=12AC，连接DE，AF．

(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；

(2)若四边形ADEF的周长是14cm，BC的长为6cm，求四边形ADEF的面积．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O.

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)已知⊙O半径为3，AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=12，求线段AB的长．

某商店销售进价为30元/件的某种商品，在第x1≤x≤90天的售价与销量的相关信息如下表：
设销售商品的每天利润为y元．
(1)该商店第10天的利润为________元；

(2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

(3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元a>0 给贫困地区，在销售的前50天内该商店当日最大利润为5832元，求a的值．


(1)如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘ ，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，连接BE，CD，点M是 BE的中点，连接AM，则线段AM，CD的关系是________；

(2)如图2将△ADE绕点A顺时针旋转α(0∘<α<360∘)，线段AM，CD的关系是否仍成立？请说明理由；

(3)将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接DM，若AD=1，AB=3，当∠ADC=90∘时，请画出图形并直接写出线段DM的长.

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C，点P在第一象限的抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；

(2)BC与OP交于点D，当S△PCD:S△CDO 的值最大时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，连接BP交y轴于点Q，点M在第二象限抛物线上，在射线BM上是否存在点N，使△BCN与△PCQ相似？若存在，请求出点N的坐标.
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
倒数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由倒数的定义可知，2021的倒数为12021.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
垂线段最短
【解析】
此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
【解答】
解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
简单几何体的三视图
【解析】
根据左视图是从左边看得到的图形，俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】
解：圆柱的左视图是矩形，三棱柱是左视图是矩形，正方体的左视图是正方形，圆锥的左视图是三角形，故左视图是矩形的有3个.
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
同底数幂的乘法
合并同类项
幂的乘方与积的乘方
完全平方公式
【解析】
根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，完全平方公式进行计算即可．
【解答】
解：A，−a3b2=a6b2，故A正确；
B，a3⋅a2=a3+2=a5，故B错误；
C，3a和2b不是同类项，不能进行合并，故C错误；
D，a−22=a2−4a+4，故D错误.
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
中位数
算术平均数
众数
方差
【解析】
根据方差的计算公式中各数据所表示的意义回答即可．
【解答】
解：由方差的计算公式可知n=2+3+5=10，即样本容量是10，故A正确；
众数是3，故C正确；
平均数为1×2+2×3+3×510=2.3，故D错误；
中位数为2+32=2.5，故B正确.
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
解直角三角形的应用
锐角三角函数的定义
【解析】
根据同角的余角相等得∠ACD=∠CBD，由cs∠ACD=CDAC，即可求出AC的长度．
【解答】
解：∵ ∠ACD+∠BCD=90∘，∠CBD+∠BCD=90∘，
∴ ∠ACD=∠CBD，
在Rt△ACD中，
∵ cs∠ACD=CDAC，
∴AC=CDcs∠ACD=mcsα.
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
由实际问题抽象为分式方程
【解析】
设实际每天铺设管道x米，则原计划每天铺设管道(x−50)米，根据具体施工时比原计划提前两天完成任务，列方程即可．
【解答】
解：依题意可得，原计划植树天数为2000x，
植树400棵所用天数为400x，采用新设备后所用天数为2000−400x(1+25%)，
故可列方程：2000x−400x−2000−400x(1+25%)=5，即2000−400x−2000−400x(1+25%)=5.
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
三角形内角和定理
垂径定理
【解析】
由OA⊥BC，根据垂径定理的即可求得：AC⌢=AB⌢，然后由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，再由三角形内角和可得∠OBC．
【解答】
解： ∵OA⊥BC，
∴AC=AB，
∴∠AOB=2∠ADC=2×35∘=70∘，
在Rt△OBE中，∠OBC=90∘−∠AOB=90∘−70∘=20∘．
故选B．
9.
【答案】
A
【考点】
规律型：数字的变化类
【解析】
观察前四个正方形规律是：左上、左下、右上三个数是连续的三个偶数或奇数，右下=右上×左下-左上，可得m的值．
【解答】
解：观察前四个正方形规律是：左上、左下、右上三个数是连续的三个偶数或奇数，
所以最后一个正方形左下和右上两数分别为：9，11，
所以m=右上×左下−左上=9×11−7=92.
故选A.
10.
【答案】
D
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数与一次函数的综合
相似三角形的性质与判定
【解析】
过B作BF⊥x轴于F,过A作AD⊥y轴于D，易得△COG, △BFG和△ACD都是等腰直角三角形，进而得到BG=2BF, AC=2AD，再根据△AOC∼△OBG ，可得AC⋅BG=OG⋅OC=36，设Pm,n ，则BG=2BF=2, AC=2AD=2m，依据2m×2n=36，即可得到k=mn=18.
【解答】
解：如图所示，作BF⊥x轴于F，过A作AD⊥y轴于D，
∵ 一次函数y=−x−6中，令x=0 ，则y=−6；
令y=0，则x=−6，
∴ OG=6=OC，
∴ ∠OGC=∠OCG=45∘，
∴ △COG，△BFG和△ACD都是等腰直角三角形，
∴ BG=2BF，AC=2AD.
∵ ∠AOB=135∘，
∴ ∠OBG+∠OAB=45∘.
又∵ ∠OBG+∠BOG=45∘，
∴ ∠BOG=∠BAO，
同理可得∠AOC=∠ABO，
∴ △AOC∽△OBG，
∴ ACOG=OCBG，
即AC⋅BG=OG⋅OC=36.
设Pm,n ，
则BG=2BF=2n ，AC=2AD=2m，
∵ 2m×2n=36，
即mn=18，
∴ k=mn=18.
故选D.
二、填空题
【答案】
3.6×107
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解答】
解：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．
36000000=3.6×107.
故答案为：3.6×107.
【答案】
22
【考点】
勾股定理
等腰三角形的判定与性质
直角三角形斜边上的中线
平行线的性质
【解析】
由AD与BC平行，且DE垂直于BC，得到DE垂直于AD，由G为AF的中点，即DG为斜边AF的中线，得到DG=AG=FG=3，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DGC为三角形ADG的外角，利用外角性质得到∠DGC=2∠GAD，再由两直线平行内错角相等得到∠GAD=∠ACB，设∠ACB=α，则有∠ACD=2α，进而得到∠DGC=∠DCG，利用等角对等边得到DG=DC，求出DC的长，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出DE的长即可．
【解答】
解：∵ AD // BC，DE⊥BC，
∴ AD⊥DE，
∵ G为AF的中点，即DG为斜边AF的中线，
∴ DG=AG=FG=3，
∴ ∠GAD=∠GDA.
∵ AD // BC，
∴ ∠GAD=∠ACB，
设∠ACB=α，则∠ACD=2α，
∵ ∠GAD=∠GDA=α，
∴ ∠DGC=2α，即∠ACD=∠DGC，
∴ DG=DC=3，
在Rt△DEC中，DC=3，EC=1，
根据勾股定理得DE=DC2−EC2=22．
故答案为：22.
【答案】
18
【考点】
因式分解的应用
列代数式求值
【解析】
根据a3b−2a2b2+ab3=aba2−2ab+b2=aba−b2，然后把b−a=3,ab=2,代入上式即可求出答案
【解答】
解：∵ b−a=3，ab=2，
∴ a−b=−3，
∴ a3b−2a2b2+ab3
=aba2−2ab+b2
=aba−b2
=2×−32
=18.
故答案为：18.
【答案】
x=1+2或x=−1
【考点】
解分式方程——可化为一元二次方程
定义新符号
【解析】
根据新定义分x>0和x<0列出方程，再分别求解可得．
【解答】
解：若x>−x，即x>0，
则x=2x+1x，
解得x1=1+2，x2=1−2（负值舍去），
经检验x1=1+2是方程的解；
若x<−x，即x<0，
则−x=2x+1x，
解得x1=x2=−1，
经检验x1=x2=−1是方程的解.
故答案为：x=1+2或x=−1.
【答案】
4π−8
【考点】
扇形面积的计算
等腰直角三角形
三角形的面积
【解析】
直接结合题中所给的条件，由S阴影=S半圆−S△ABC−S扇形ADC解得.
【解答】
解：因为AB=AC=4，
所以弧AD是以4为半径，圆心角为45∘的弧，
所以S阴影=S半圆−S△ABC−S扇形ADC
=π×4222−12×4×4−45∘×π×42360∘
=4π−8.
故答案为：4π−8.
【答案】
3145
【考点】
勾股定理
正方形的性质
相似三角形的判定与性质
【解析】

【解答】
解：如图，在BC上截取BE=1，连接BP，PE．
∵ 正方形ABCD的边长为9，⊙ B的半径为3，
∴ BC=9=CD，BP=3，EC=8，
∴ BPBC=13=BEBP，且∠PBE=∠PBC，
∴ △PBE∽△CBP，
∴ BEBP=PECP=13，
∴ PE=13PC，
∴ 3PD+PC=3(PD+PE)，
∴ 当点D，P，E三点共线时，PD+PE有最小值，
即3PD+PC有最小值，最小值为3DE=3EC2+DC2=3145.
故答案为：3145.
三、解答题
【答案】
解：原式=−9+3−1+2×32−33
=−10−3.
【考点】
特殊角的三角函数值
实数的运算
二次根式的相关运算
绝对值
【解析】
原式第一项直接乘方，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用二次根式的计算，最后合并同类项即可.
【解答】
解：原式=−9+3−1+2×32−33
=−10−3.
【答案】
解：原式=8−x+1x−1x+1⋅x+1x+3
=−x2+9x+3
=−x+3x−3x+3
=−x+3.
【考点】
分式的化简求值
【解析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简计算即可.
【解答】
解：原式=8−x+1x−1x+1⋅x+1x+3
=−x2+9x+3
=−x+3x−3x+3
=−x+3.
【答案】
50,15,40,108∘,200
(2)A等级的学生共有50×10%=5（名），
其中2名女生，男生为3名，列树状图如下：
根据树状图可知：
一共有20种等可能的结果，
其中抽中一名男生和一名女生的结果有12种，
所以恰好抽中一名男生和一名女生的概率为P=1220=35.
【考点】
用样本估计总体
扇形统计图
频数（率）分布表
列表法与树状图法
概率公式
【解析】
(1)根据D等级的人数和对应百分比可得抽取的人数，再分别求得等级B的人数所占百分比和等级C的人数，根据 C等级所占百分比即可求得其所对应扇形的圆心角的度数，用等级A的人数所占百分比即可求得优秀的人数；
(2)用树形图法列出所有情况，再根据概率公式即可求得.
【解答】
解：(1)这次共抽取参加演讲比赛的学生人数为：
10÷20%=50（名），
等级B的学生所占百分比为：
20÷50×100%=40%，
∴ a=40，
等级C的学生所占百分比为：
1−10%−20%−40%=30%，
∴ n=30%×50=15，
等级为C“一般”所对应扇形的圆心角的度数为：
360∘×30%=108∘，
估计成绩达到优秀的有：2000×10%=200（人）.
故答案为：50；15；40；108∘；200.
(2)A等级的学生共有50×10%=5（名），
其中2名女生，男生为3名，列树状图如下：
根据树状图可知：
一共有20种等可能的结果，
其中抽中一名男生和一名女生的结果有12种，
所以恰好抽中一名男生和一名女生的概率为P=1220=35.
【答案】
解：(1)根据题意得Δ=4−42k−4=20−8k>0，
解得k<52.
(2)由k为正整数，得到k=1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x=−1±5−2k.
∵ 方程的解为整数，
∴ 5−2k为完全平方数，
∴ k的值为2，
将k=2代入x=−1±5−2k，
得x1=0，x2=−2.
【考点】
根的判别式
一元二次方程的解
【解析】
(1)一元二次方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，从而可得到k的取值范围.
(2)由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=−1±5−2k,
因为方程的解为整数，所以5−2k为完全平方数，则k的值只能为2，
将k=2代入x=−1±5−2k,可得x1=0,x2=−2.
【解答】
解：(1)根据题意得Δ=4−42k−4=20−8k>0，
解得k<52.
(2)由k为正整数，得到k=1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x=−1±5−2k.
∵ 方程的解为整数，
∴ 5−2k为完全平方数，
∴ k的值为2，
将k=2代入x=−1±5−2k，
得x1=0，x2=−2.
【答案】
(1)证明：∵ 点F是CB的中点，点E是AB的中点，
∴ EF=12AC，EF//AC，
∵ AD=12AC，
∴ EF=AD，
∵ EF//AD，
∴ 四边形ADEF是平行四边形.
(2)解：∵ 四边形ADEF的周长是14，
∴ AD+AF=7，
∴ AF=7−AD.
又AC=2AD，CF=12BC=3，
在Rt△ACF中，AC2+FC2=AF2，
即2AD2+9=7−AD2，
解得AD=2或−203（舍去），
∴ 四边形ADEF的面积=AD⋅CF=6cm2.
【考点】
平行四边形的判定
三角形中位线定理
勾股定理
平行四边形的性质
平行四边形的面积
【解析】
(1)根据三角形的中位线的性质得到EF=12AC 且EF//AC,得到EF=AD且EF//AD,进而得到结论；
(2)根据已知条件得到AD+AF=7，求得AF=7−AD，又知AC=2AD，根据勾股定理可求得AD,再根据平行四边形的面积公式求解即可．
【解答】
(1)证明：∵ 点F是CB的中点，点E是AB的中点，
∴ EF=12AC，EF//AC，
∵ AD=12AC，
∴ EF=AD，
∵ EF//AD，
∴ 四边形ADEF是平行四边形.
(2)解：∵ 四边形ADEF的周长是14，
∴ AD+AF=7，
∴ AF=7−AD.
又AC=2AD，CF=12BC=3，
在Rt△ACF中，AC2+FC2=AF2，
即2AD2+9=7−AD2，
解得AD=2或−203（舍去），
∴ 四边形ADEF的面积=AD⋅CF=6cm2.
【答案】
(1)证明：如图，过点O作OF⊥AB于F，
∵ ∠ACB=90∘，AO是△ABC的角平分线，
∴ OF=OC，
∴ AB是⊙O的切线.
(2)解：连接CE，如图，
∵ DE是⊙O的直径，
∴ ∠DCE=90∘，
∴ tanD=CECD=12.
∵ ∠ACE+∠BCE=90∘，
∠OCD+∠BCE=90∘，
∴ ∠ACE=∠OCD=∠D，
∴ △ACE∽△ADC，
∴ ACAD=CEDC=12.
设AC=x，则AD=2x，AO=2x−3，
在Rt△AOC中，由勾股定理得x2+32=2x−32，
解得x=4，即AC=4.
∵ Rt△BOF∽Rt△BAC，
∴ OBAB=OFAC=34.
设OB=3a，则AB=4a，BF=4a−4，
在Rt△BOF中，由勾股定理得32+4a−42=3a2，
解得a1=257，a2=1（舍去），
∴ AB=4a=1007.
【考点】
切线的判定
角平分线的性质
勾股定理
相似三角形的性质与判定
锐角三角函数的定义
【解析】
(1)过点O作AB的垂线OF，由角平分线的性质可知OC=OF,即可证AB是⊙O的切线.
(2)连接CE，由DE是⊙O的直径，得到∠DCE=90∘，根据相似三角形的性质得到ACAD=CECD=12，设AC=x，则AD=2x,AO=2x−3根据勾股定理得到AC=4，根据相似三角形的性质得到OBAB=OFAC=34，设OB=3a，则AB=4a,BF=4a−4，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
(1)证明：如图，过点O作OF⊥AB于F，
∵ ∠ACB=90∘，AO是△ABC的角平分线，
∴ OF=OC，
∴ AB是⊙O的切线.
(2)解：连接CE，如图，
∵ DE是⊙O的直径，
∴ ∠DCE=90∘，
∴ tanD=CECD=12.
∵ ∠ACE+∠BCE=90∘，
∠OCD+∠BCE=90∘，
∴ ∠ACE=∠OCD=∠D，
∴ △ACE∽△ADC，
∴ ACAD=CEDC=12.
设AC=x，则AD=2x，AO=2x−3，
在Rt△AOC中，由勾股定理得x2+32=2x−32，
解得x=4，即AC=4.
∵ Rt△BOF∽Rt△BAC，
∴ OBAB=OFAC=34.
设OB=3a，则AB=4a，BF=4a−4，
在Rt△BOF中，由勾股定理得32+4a−42=3a2，
解得a1=257，a2=1（舍去），
∴ AB=4a=1007.
【答案】
3600
(2)当1≤x<50时，
y=200−2xx+40−30
=−2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=200−2x90−30=−120x+12000，
综上所述y=−2x2+180x+2000(1≤x<50),−120x+12000≤x≤00).
当1≤x<50时，
y=−2x2+180x+2000
=−2x−452+6050，
∵ a=−2<0，
∴ 二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
∵ 6050>6000，
∴ 该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
(3)根据题意得y=200−2x(x+40−30−a)
=−2(x−100)x+10−a
函数的对称轴x=100+a−102=45+12a>45，
在45当x=45+12a时，函数取得最大值，
即y=−245+12a−10045+12a+10−a=5832，
即55−12a=±54，
解得a=2或a=218（舍去）.
【考点】
一次函数的应用
二次函数的应用
二次函数的最值
【解析】
（1）先求出售价和销售量，再根据每件的利润乘以数量，可得总利润；
（2）根据单价乘以数量，可得利润，分段列出函数关系式可得答案；根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；

（3）在确定函数表达式的基础上，确定函数的对称轴，进而求解．
【解答】
解：(1)第10天的销售量为200−2×10=180（件），
售价为：10+40=50，
利润：180×50−30=3600（元）.
故答案为：3600.
(2)当1≤x<50时，
y=200−2xx+40−30
=−2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=200−2x90−30=−120x+12000，
综上所述y=−2x2+180x+2000(1≤x<50),−120x+12000≤x≤00).
当1≤x<50时，
y=−2x2+180x+2000
=−2x−452+6050，
∵ a=−2<0，
∴ 二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
∵ 6050>6000，
∴ 该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
(3)根据题意得y=200−2x(x+40−30−a)
=−2(x−100)x+10−a
函数的对称轴x=100+a−102=45+12a>45，
在45当x=45+12a时，函数取得最大值，
即y=−245+12a−10045+12a+10−a=5832，
即55−12a=±54，
解得a=2或a=218（舍去）.
【答案】
AM=12CD，AM⊥CD
(2)结论成立，
理由：延长AM到H，使得MH=AM，连接BH，EH，延长CD交AH于J，交AB于T，如图所示，
∵ AM=MH，BM=ME，
∴ 四边形ABHE是平行四边形，
∴ BH=AE，BH//AE，
∴ ∠ABH+∠BAE=180∘.
∵ ∠BAC=∠DAE=90∘，
∴ ∠DAC+∠BAE=∠BAC+∠DAE=180∘，
∴ ∠DAC=∠HBA.
∵ AC=BA，BH=AE=AD，
∴ △DAC≅△HBA(SAS)，
∴ CD=AH，∠ACD=∠BAH，
∴ AM=12CD.
∵ ∠BAH+∠CAH=90∘，
∴ ∠ACD+∠CAH=90∘，
∴ ∠AJC=90∘，
∴ AM⊥CD.
(3)当D在△ABC的内部时，如图，
∵ ∠ADC=90∘， AD=1，AC=3，
∴ CD=AC2−AD2=32−1=22.
∵ AM⊥CD，AD⊥CD，
∴ A，D，M三点共线，
∴ AM=12CD=2，
∴ DM=AM−AD=2−1；
当D在△ABC的外部时，如图，
同理可得DM=2+1，
综上所述，DM的值为2−1或2+1.
【考点】
全等三角形的性质与判定
直角三角形斜边上的中线
旋转的性质
等腰直角三角形
勾股定理
【解析】



【解答】
解：(1)∵ AD=AE，∠DAC=∠EAB=90∘ ，AC=AB，
∴ △DAC≅△EABSAS，
∴ CD=BE，∠ACD=∠ABE.
∵ ∠BAE=90∘，BM=ME，
∴ AM=12BE，
∴ AM=BM=ME=12CD，
∴ ∠ABM=∠MAB=∠ACD.
∵ ∠MAB+∠CAM=90∘，
∴ ∠ACD+∠CAM=90∘，
∴ AM⊥CD.
故答案为：AM=12CD，AM⊥CD.
(2)结论成立，
理由：延长AM到H，使得MH=AM，连接BH，EH，延长CD交AH于J，交AB于T，如图所示，
∵ AM=MH，BM=ME，
∴ 四边形ABHE是平行四边形，
∴ BH=AE，BH//AE，
∴ ∠ABH+∠BAE=180∘.
∵ ∠BAC=∠DAE=90∘，
∴ ∠DAC+∠BAE=∠BAC+∠DAE=180∘，
∴ ∠DAC=∠HBA.
∵ AC=BA，BH=AE=AD，
∴ △DAC≅△HBA(SAS)，
∴ CD=AH，∠ACD=∠BAH，
∴ AM=12CD.
∵ ∠BAH+∠CAH=90∘，
∴ ∠ACD+∠CAH=90∘，
∴ ∠AJC=90∘，
∴ AM⊥CD.
(3)当D在△ABC的内部时，如图，
∵ ∠ADC=90∘， AD=1，AC=3，
∴ CD=AC2−AD2=32−1=22.
∵ AM⊥CD，AD⊥CD，
∴ A，D，M三点共线，
∴ AM=12CD=2，
∴ DM=AM−AD=2−1；
当D在△ABC的外部时，如图，
同理可得DM=2+1，
综上所述，DM的值为2−1或2+1.
【答案】
解：(1)因为抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A，B两点，
所以将点A−1,0，B3,0的坐标代入抛物线y=ax2+bx+6中，
得a−b+6=0,9a+3b+6=0,
解得a=−2,b=4,
所以抛物线的解析式为y=−2x2+4x+6.
(2)由(1)可得y=−2x2+4x+6，
令x=0，可得yC=6，
所以C(0, 6)，
所以直线BC的方程为x3+y6=1，化为2x+y−6=0．
过点P作PH//CO交BC于点H，
则△PDH∽△ODC，
所以PDOD=PHOC.
因为△PCD和△CDO的高相同，
所以S△PCD：S△CDO =PD：OD，
所以S△PCD：S△CDO =PHOC，
设点P的坐标为x,−2x2+4x+6，则点Hx,−2x+6，
则PH=−2x2+4x+6−−2x+6=−2x2+6x，
所以S△PCD：S△CDO =PHOC=−2x2+6x6=−13x2+x，
令t=−13x2+x，
因为t=−13x2+x开口向下，对称轴为x=32，
所以当x=32时，t=−13x2+x有最大值，
此时，点P32,152.
(3)存在.
因为B3,0，P32,152，
所以易得直线BP的表达式为y=−5x+15，
令x=0，可得y=15，
所以点Q0,15，
所以QC=15−6=9，
由勾股定理，得PQ=94+2254=2342=3262，
PC=94+94=322，
BC=9+36=35.
如图所示，
由题易知，∠QCP=45∘，则点N的位置满足∠NBC=45∘或∠NCB=45∘或∠CNB=45∘.
作点C关于BM的对称点G，连接BG，
易证△CH2B≅△BH1G，
所以G(−3,−3)，
所以H(−32,32).
(i)当∠NBC=45∘时，
设直线BH的解析式为y=kx+b，
因为直线BH过点H，B点，
所以直线的解析式为y=−13x+1.
设N(x,−13x+1)，
①△BNC∽△CPQ，
所以BNCP=BCCQ，
所以BN=102，
由勾股定理，得(3−x)2+(−13x+1)2=104，
解得x1=32，x2=92（不符合题意），
所以N1(32,12).
②△NCB∽△QPC，
所以BNCQ=CBPC，
所以BN=18102，
由勾股定理，得(3−x)2+(−13x+1)2=10×1824，
解得x3=−24，x4=30（不符合题意），
所以N2(−24,9).
(ii)当∠NCB=45∘时，
设直线CH的解析式为y=ax+c，
因为直线CH经过点G，C，
所以直线的解析式为y=3x+6，
设N(x,3x+6)，
③△NBC∽△PQC，
所以PCNC=QCBC，
所以NC=102，
由勾股定理，得x2+(3x+6−6)2=104，
解得x5=−12，x6=12（不符合题意），
所以N3(−12,92).
(iii)当∠CNB=45∘时，
④由③知，∠CBN=∠CQP，
所以△NBC∽△CQP，
所以CQNB=QPBC，
所以NB=913013，
设直线BN3的解析式为y=dx+e，
由直线BN3过点B，N3得直线的解析式为y=−97x+277，
设N(x,−97x+277)，
由勾股定理，得(x−3)2+(−97x+277)2=(913013)2，
解得x7=−2413，x8=10213（不符合题意），
所以N4(−2413,8113).
综上所述，N1(32,12)，N2(−24,9)，N3(−12,92)，N4(−2413,8113).
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
相似三角形的性质与判定
三角形的面积
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数综合题
【解析】
（2）证明△PDH∼△ODC，由S△PCD：S△CDO=PD：OD，然后根据二次函数的最值问题，进而求解.
【解答】
解：(1)因为抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A，B两点，
所以将点A−1,0，B3,0的坐标代入抛物线y=ax2+bx+6中，
得a−b+6=0,9a+3b+6=0,
解得a=−2,b=4,
所以抛物线的解析式为y=−2x2+4x+6.
(2)由(1)可得y=−2x2+4x+6，
令x=0，可得yC=6，
所以C(0, 6)，
所以直线BC的方程为x3+y6=1，化为2x+y−6=0．
过点P作PH//CO交BC于点H，
则△PDH∽△ODC，
所以PDOD=PHOC.
因为△PCD和△CDO的高相同，
所以S△PCD：S△CDO =PD：OD，
所以S△PCD：S△CDO =PHOC，
设点P的坐标为x,−2x2+4x+6，则点Hx,−2x+6，
则PH=−2x2+4x+6−−2x+6=−2x2+6x，
所以S△PCD：S△CDO =PHOC=−2x2+6x6=−13x2+x，
令t=−13x2+x，
因为t=−13x2+x开口向下，对称轴为x=32，
所以当x=32时，t=−13x2+x有最大值，
此时，点P32,152.
(3)存在.
因为B3,0，P32,152，
所以易得直线BP的表达式为y=−5x+15，
令x=0，可得y=15，
所以点Q0,15，
所以QC=15−6=9，
由勾股定理，得PQ=94+2254=2342=3262，
PC=94+94=322，
BC=9+36=35.
如图所示，
由题易知，∠QCP=45∘，则点N的位置满足∠NBC=45∘或∠NCB=45∘或∠CNB=45∘.
作点C关于BM的对称点G，连接BG，
易证△CH2B≅△BH1G，
所以G(−3,−3)，
所以H(−32,32).
(i)当∠NBC=45∘时，
设直线BH的解析式为y=kx+b，
因为直线BH过点H，B点，
所以直线的解析式为y=−13x+1.
设N(x,−13x+1)，
①△BNC∽△CPQ，
所以BNCP=BCCQ，
所以BN=102，
由勾股定理，得(3−x)2+(−13x+1)2=104，
解得x1=32，x2=92（不符合题意），
所以N1(32,12).
②△NCB∽△QPC，
所以BNCQ=CBPC，
所以BN=18102，
由勾股定理，得(3−x)2+(−13x+1)2=10×1824，
解得x3=−24，x4=30（不符合题意），
所以N2(−24,9).
(ii)当∠NCB=45∘时，
设直线CH的解析式为y=ax+c，
因为直线CH经过点G，C，
所以直线的解析式为y=3x+6，
设N(x,3x+6)，
③△NBC∽△PQC，
所以PCNC=QCBC，
所以NC=102，
由勾股定理，得x2+(3x+6−6)2=104，
解得x5=−12，x6=12（不符合题意），
所以N3(−12,92).
(iii)当∠CNB=45∘时，
④由③知，∠CBN=∠CQP，
所以△NBC∽△CQP，
所以CQNB=QPBC，
所以NB=913013，
设直线BN3的解析式为y=dx+e，
由直线BN3过点B，N3得直线的解析式为y=−97x+277，
设N(x,−97x+277)，
由勾股定理，得(x−3)2+(−97x+277)2=(913013)2，
解得x7=−2413，x8=10213（不符合题意），
所以N4(−2413,8113).
综上所述，N1(32,12)，N2(−24,9)，N3(−12,92)，N4(−2413,8113).时间x（天）
1≤x<50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+40
90
每天销量（件）
200−2x