2021年中考数学压轴题第三轮冲刺专题复习：二次函数的综合练习(二)(含答案)

这是一份2021年中考数学压轴题第三轮冲刺专题复习：二次函数的综合练习(二)(含答案)，共95页。试卷主要包含了将抛物线 C 等内容，欢迎下载使用。









2021年中考数学压轴题第三轮冲刺专题复习：二次函数的综合练习（二）



1、如图， 开口向下的抛物线与 x轴交于点 A 1,0 、B(2,0)，与 y轴交于点 C(0, 4)，

点 P 是第一象限内抛物线上的一点．



















（ 1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形 CABP 的面积为 S ，求 S 的最大值．






2、如图，二次函数 y ＝ax2+bx+x 的图象过 O（0，

三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2） 若线段 OB的垂直平分线与 y 轴交于点 C， 的部分相交于点 D，求直线 CD的解析式；

0）、 A（1， 0）、 B（ ， ）







与二次函数的图象在 x 轴上方

（3）在直线 CD下方的二次函数的图象上有一动点 P，过点 P 作 PQ⊥x 轴，交 直线 CD于 Q，当线段 PQ的长最大时，求点 P 的坐标．





















3、如图所示，二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像（记为抛物线 ）与 y 轴交 于点 C，与 x 轴分别交于点 A、B，点 A、B的横坐标分别记为 x1， x2，且 0 x1 x2．

2
，点 P c
5

































（ 1）若 a c， b 3 ，且过点 (1, 1) ，求该二次函数的表达式；

（2）若关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 的判别式 4．求证： 当 b 时，

二次函数 y1 ax 2 (b 1)x c 的图像与 x 轴没有交点．




（3）若 AB 2
c
2


轴， 且抛物线的
于点 D，若 OPB

2c 6 的坐标为 ( x0 , 1) ，过点 P 作直线 l 垂直于 y

顶点在直线 l 上， 连接 OP、AP、 BP， PA的延长线与抛物线 交
DAB ，求 x0 的最小值．





4、将抛物线 C :y ( x 2)2 向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1， 再将抛物线 C1

向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2．
























（ 1）直接写出抛物线 C1， C2 的解析式；

（2）如图（ 1），点 A 在抛物线 C1 对称轴 l 右侧上，点 B 在对称轴 l 上， OAB 是

4
4
1








以 OB 为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标；
（3） 如图 （2）， 直线 y kx （ k 0， k 为常数） 与抛物线 C2 交于 E， F 两点， M

为线段 EF 的中点；直线 y k x 与抛物线 C2 交于 G， H 两点， N 为线段 GH 的
中点．求证：直线 MN 经过一个定点．



5、在平面直角坐标系中， 抛物线 y ax2 bx 3 与 x轴相交于 A 3,0 、B 1,0 ， 交 y轴于点 N ，点 M 抛物线的顶点，对称轴与 x轴交于点 C．
⑴ . 求抛物线的解析式；
⑵ . 如图 1，连接 AM , 点 E 是线段 AM 上方抛物线上的一动点， EF AM 于点 F ；
过点 E 作 EH x 轴于点 H , 交 AM于点 D . 点 P 是 y轴上一动点， 当 EF 取最大
值时．
① . 求 PD PC 的最小值；
② . 如图 2， Q 点是 y轴上一动点 , 请直接写出 DQ OQ 的最小值．






















6、如图，抛物线 y ＝ax2+bx+c （a≠0）的图象经过 A（1， 0）， B（3， 0）， C（0， 6）三点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点 M与对称轴 l 上的点 N 关于 x 轴对称，直线 AN交抛物线 于点 D，直线 BE交 AD于点 E，若直线 BE将△ABD的面积分为 1： 2 两部分，

求点 E 的坐标．
（3） P 为抛物线上的一动点， Q 为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 P， 使 A、 D、 P、 Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若









不存在，请说明理由．




























7、在平面直角坐标系 xOy 中，等腰直角△ ABC的直角顶点 C 在 y 轴上，另两个 顶点 A， B 在 x 轴上，且 AB＝4，抛物线经过 A， B， C 三点，如图 1 所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线 l 交抛物线于 M， N两点，如图 2 所示．
①求△CMN面积的最小值．
②已知 Q（1，﹣ ）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 P，使得点 P

与点 Q关于直线 l 对称，若存在，求出点 P 的坐标及直线 l 的一次函数表达
式；若不存在，请说明理由．




























8、如图 1，抛物线 y ＝x +bx+c2 交 x 轴于 A， B 两点，其中点 A 的坐标为 (1， 0)， 与 y 轴交于点 C（(0，﹣ 3)．









（ 1）求抛物线的函数解析式；
（2）点 D 为 y 轴上一点，如果直线 BD与直线 BC的夹角为 15°，求线段 CD的 长度；

（3）如图 2， 连接 AC， 点 P 在抛物线上， 且满足∠ PAB＝2∠ACO，求点 P 的坐标．




























9、如图，二次函数 y＝ ax2＋bx＋4 的图象与 x 轴交于点 A( －1． 0)， B(4． 0)， 与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，其对称轴与线段 BC交于点 E．垂直于 x 轴 的动直线 l 分别交抛物线和线段 BC于点 P 和点 F，动直线 l 在抛物线的对称轴 的右侧（不含对称轴）沿 x 轴正方向移动到 B 点．
（ 1）求出二次函数 y＝ ax2＋bx＋4 和 BC所在直线的表达式；
（2）在动直线 l 移动的过程中， 试求使四边形 DEFP为平行四边形的点 P 的坐标；

（3）连接 CP， CD，在移动直线 l 以点 P， C， F 为顶点的三角形与△ 不存在，请说明理由．
y




C






移动的过程中，抛物线上是否存在点 P，使得
DCE相似，如果存在，求出点 P 的坐标，如果




D
l



P

E








A O






10、如图，在平面直角坐标系中，点

F
B x





O为坐标原点，抛物线










y ax2 bx c 的顶

6
5








点是 A(1， 3) ，将 OA绕点 O逆时针旋转 90 后得到 OB，点 B 恰好在抛物线上， OB

与抛物线的对称轴交于点 C．





















（ 1）求抛物线的解析式；
（2） P 是线段 AC上一动点， 且不与点 A， C重合， 过点 P 作平行于 x 轴的直线，
与 OAB 的边分别交于 M，N两点， 将 AMN 以直线 MN为对称轴翻折， 得到 A MN ．
设点 P 的纵坐标为 m．
①当 A MN 在 OAB 内部时，求 m的取值范围；
②是否存在点 P，使 S A MN S OA'B , 若存在，求出满足 m的值；若不存在，请说

明理由．



11、综合与探究
如图，抛物线 y ＝ x2 ﹣ x ﹣ 3 与 x 轴交于 A， B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y

轴交于点 C．直线 l 与抛物线交于 A，D两点， 与 y 轴交于点 E，点 D 的坐标为（4，
﹣ 3）．
（ 1）请直接写出 A， B 两点的坐标及直线 l 的函数表达式；
（2）若点 P 是抛物线上的点，点 P 的横坐标为 m（m≥0），过点 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M． PM与直线 l 交于点 N，当点 N 是线段 PM的三等分点时，求点 P 的坐 标；
（3）若点 Q是 y 轴上的点，且∠ ADQ＝45°，求点 Q 的坐标．



































12、如图，抛物线过点 A（0， 1）和 C，顶点为 D，直线 AC与抛物线的对称轴 BD 的交点为 B（ ， 0），平行于 y 轴的直线 EF 与抛物线交于点 E，与直线 AC

交于点 F，点 F 的横坐标为 ，四边形 BDEF为平行四边形．

（1）求点 F 的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点 P 为抛物线上的动点，且在直线 AC上方，当△ PAB面积最大时，求 点 P 的坐标及△ PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点 Q，同时在抛物线上取一点 R，使以 AC为一 边且以 A， C， Q， R为顶点的四边形为平行四边形，求点 Q和点 R 的坐标．


























13、如图 1，抛物线 y＝﹣ x2 +bx+c 经过点 C（6， 0），顶点为 B，对称轴 x ＝2 与 x 轴相交于点 A， D 为线段 BC的中点．


































（1）求抛物线的解析式；
（2） P 为线段 BC上任意一点， M为 x 轴上一动点，连接 MP，以点 M为中心， 将△MPC逆时针旋转 90°，记点 P 的对应点为 E，点 C 的对应点为 F．当直线

EF与抛物线 y＝﹣ x2+bx+c 只有一个交点时，求点 M的坐标．



（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若 PC＝
①求证： EA＝ED．
②当点 E 在（ 1）所求的抛物线上时，求线段

（如图 2）．



CM的长．




14、 在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ax2+bx ﹣ 3 过点 A（﹣ 3， 0）， B（1， 0）， 与 y 轴交于点 C，顶点为点 D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 为直线 CD上的一个动点，连接 BC；
①如图 1，是否存在点 P，使∠ PBC＝∠ BCO？ 若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图 2，点 P 在 x 轴上方，连接 PA 交抛物线于点 N，∠ PAB＝∠ BCO， 点 M 在第三象限抛物线上，连接 MN， 当∠ANM＝45°时，请直接写出点 M 的坐标．

2
1
2
1




































15、如图，已知抛物线 y ax2 bx c经过 A( 2,0)， B(4,0)， C(0, 4) 三点．



















（ 1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点 B 的直线交 y 轴于点 D，交线段 AC 于点 E，若 BD 5DE ．
①求直线 BD 的解析式；
②已知点 Q在该抛物线的对称轴 l 上，且纵坐标为 1，点 P 是该抛物线上位于第 一象限的动点，且在 l 右侧．点 R 是直线 BD 上的动点，若 PQR 是以点 Q为直

角顶点的等腰直角三角形，求点 P 的坐标．






16、如图 1，抛物线 y


( x 2) 2 6 与抛物线 y1

x2 tx t 2 相交 y 轴于


点 C，抛物线 y1 与 x 轴交于 A、 B 两点（点 B 在点 A 的右侧） ，直线 y2 kx 3 交
x 轴负半轴于点 N，交 y 轴于点 M，且 OC ON．




























（ 1）求抛物线 y1 的解析式与 k 的值；

（2）抛物线 y1 的对称轴交 x 轴于点 D，连接 AC ，在 x 轴上方的对称轴上找一 点 E，使以点 A， D， E 为顶点的三角形与 △AOC 相似，求出 DE 的长；

（3）如图 2，过抛物线 y1 上的动点 G作 GH x 轴于点 H，交直线 y2 kx 3 于

点 Q，若点 Q 是点 Q关于直线 MG 的对称点，是否存在点 G （不与点 C重合），

使点 Q 落在 y轴上？若存在，请直接写出点 G的横坐标，若不存在，请说明理

由．

2x 2x 4；

2
2
= 4







参考答案
2021年中考数学压轴题第三轮冲刺专题复习：二次函数的综合练习（二）



1、如图， 开口向下的抛物线与 x轴交于点 A 1,0 、B(2,0)，与 y轴交于点 C(0, 4)，

点 P 是第一象限内抛物线上的一点．



















（ 1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形 CABP 的面积为 S ，求 S 的最大值．
解： （1）∵ A（-1， 0）， B（2， 0）， C（0， 4），
设抛物线表达式为： y a x 1 x 2 ，

将 C 代入得： ，
解得： a=-2，
∴该抛物线的解析式为： y 2 x 1 x 2 2

（2）连接 OP，设点 P 坐标为（ m， 2m 2m 4）， m＞0，

∵A（-1， 0）， B（2， 0）， C（0， 4），
可得： OA=1， OC=4， OB=2，
∴S=S四边形 CABP=S△OAC+S△OCP+S△OPB



1 1 4 1 m 1 2
2 2 2

2m2 2m 4



= 2m 4m 6

当 m=1时， S 最大，且为 8.
































2、如图，二次函数 y ＝ax2+bx+x 的图象过 O（0，

三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2） 若线段 OB的垂直平分线与 y 轴交于点 C， 的部分相交于点 D，求直线 CD的解析式；

0）、 A（1， 0）、 B（ ， ）







与二次函数的图象在 x 轴上方

（3）在直线 CD下方的二次函数的图象上有一动点 P，过点 P 作 PQ⊥x 轴，交 直线 CD于 Q，当线段 PQ的长最大时，求点 P 的坐标．




















【解答】 解： （1） 将点 O、 A、 B 的坐标代入抛物线表达式得 ，









解得 ，



故抛物线的表达式为： y＝

（2）由点 B 的坐标知，直线 半轴的夹角为 60°，







x2 ﹣ x；

BO的倾斜角为 30°，则 OB中垂线（ CD）与 x 负

2
5








故设 CD的表达式为： y＝﹣ x +b，而 OB中点的坐标为（ ， ），

将该点坐标代入 CD表达式并解得： b＝ ，
故直线 CD的表达式为： y＝﹣ x + ；



（3）过点 P 作 y 轴额平行线交 CD于点 H，





















设点 P（x， x2 ﹣

则 PH＝﹣ x + ﹣（

x），则点 H（x，﹣

x2 ﹣ x）＝﹣

x + ），

x2 ﹣ x + ，


∵ ＜0，故 PH有最大值，此时点 P 的坐标为（﹣ ， ）．

3、如图所示，二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像（记为抛物线 ）与 y 轴交 于点 C，与 x 轴分别交于点 A、B，点 A、B的横坐标分别记为 x1， x2，且 0 x1 x2．


























（ 1）若 a c， b 3 ，且过点 (1, 1) ，求该二次函数的表达式；

（2）若关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 的判别式 4．求证： 当 b 时，

二次函数 y1 ax 2 (b 1)x c 的图像与 x 轴没有交点．

2c 6
c
4a
c
c
∴ x2 x1
2
5
1











（3）若 AB 2
c
2


轴， 且抛物线的
于点 D，若 OPB

，点 P 的坐标为 ( x0 , 1) ，过点 P 作直线 l 垂直于 y

顶点在直线 l 上， 连接 OP、AP、 BP， PA的延长线与抛物线 交

DAB ，求 x0 的最小值．


解： （1）由题意得： y ax2 3x a，

∵函数过点 (1, 1)，
∴ a 3 a 1，
∴ a c ，
∴ y x2 3x 1．

（2）由题意，一元二次方程 ax2 bx c 0 的判别式 4．

∴ b2 4ac 4，

∴ 4ac b2 4，

在函数 y1 ax2 (b 1)x c 中，

1 (b 1)2 4ac (b 1)2 b2 4 2b 5

∵ b ，
∴ 2b 5 0，
即函数图象与 x 轴没有交点．

（3）因为函数顶点在直线 l 上，则有 4ac b2 1，


即 b2 4ac 4a ①

∵ AB 2 c2 2c 6，



2 c2 2c 6
c
，


即 x1 x2 2 4x1 x2 c2 2c 6，

a2
6
2
1
，
1，










∴ b2 4ac




由①得：
4
a
∵ OAP ∴ OAP ∵ OAP ∴ OBP

c2 2c
c

c2 2c
c

DAB ， OPB OBP
OPA，

6
，




②








APB， OPB OPA APB

则△OAP∽△OPB．


∴ ∴ ∴ ∴
∴


OA OP
OA

x1x2
c
a
x0

OP
OB

OB OP ，

( x0 )2 ( 1)2．

x0 1，
c
a
．




由②得： x0
c
2
，
2c
4

1
4
4
∴ x0 1 (c 1)2
∴当 c 1 时， x0 min


6







1
．
4

4、将抛物线 C :y ( x 2)2 向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1， 再将抛物线 C1
向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2．

4































（ 1）直接写出抛物线 C1， C2 的解析式；

（2）如图（ 1），点 A 在抛物线 C1 对称轴 l 右侧上，点 B 在对称轴 l 上， OAB 是

以 OB 为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标；
（3） 如图 （2）， 直线 y kx （ k 0， k 为常数） 与抛物线 C2 交于 E， F 两点， M

为线段 EF 的中点；直线 y k x 与抛物线 C2 交于 G， H 两点， N 为线段 GH 的
中点．求证：直线 MN 经过一个定点．
解： （1）∵抛物线 C :y ( x 2)2 向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1 ，再将抛




物线 C1 向左平移 2 个单位长度得到抛物线

∴抛物线 C1 的解析式为： y=(x-2) 2-6 ，即

抛物线 C2 的解析式为： y=(x-2+2) 2-6 ，即


C
2，

y=x2-4x-2 ，

y=x2-6．

（2）如下图，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，连接 AD，









∵ OAB 是等腰直角三角形，
∴∠ BOA =45°，
又∵∠ BDO=∠BAO=90°，
∴点 A、 B、 O、 D 四点共圆，
∴∠ BDA=∠BOA=45°，
∴∠ADC=90°- ∠BDA=45°，
∴△DAC 是等腰直角三角形，
∴DC=AC．
∵点 A 在抛物线 C1 对称轴 l 右侧上，点 B在对称轴 l 上，

∴抛物线 C1 的对称轴为 x=2，
设点 A 的坐标为（ x， x2-4x-2 ），
∴DC=x-2， AC= x2-4x-2 ，
∴x-2= x 2-4x-2 ，
解得： x=5 或 x=0 （舍去） ，
∴点 A 的坐标为（ 5， 3）；
同理，当点 B、点 A 在 x 轴的下方时，
x-2= -(x 2-4x-2) ，
x=4 或 x=-1 （舍去），
∴点 A 的坐标为（ 4， -2），
综上，点 A 的坐标为（ 5， 3）或（ 4， -2）．
（3）∵直线 y kx （k 0， k 为常数）与抛物线 C2 交于 E， F 两点，




y
y ∴
kx
x2 6，
∴x2-kx-6=0 ，
设点 E 的横坐标为 ∴xE+xF=k，
∴中点 M的横坐标










xE，点 F 的横坐标为 xF，



x

2
k k2 ）；
2 8
k
2 8
4
1










中点 M的纵坐标 yM=kx= k2 ，



∴点 M的坐标为（ ，
2 2

同理可得：点 N 的坐标为（














），
k， k 2



设直线 MN的解析式为


k
k
将 M（



2

2
8
2




解得：
2 2
k
2
a
k
2
k
b
， k 2 ）、 N（




a b

，
a b
k

k 2 4
，
2


∴直线 MN的解析式为

不论 k 取何值时（ k

y=ax+b（a≠0），


）代入得：
k， k 2



















y= k 2 4 ·x+2 （k 0），


0），当 x=0 时， y=2，

∴直线 MN 经过定点（ 0， 2）．
5、在平面直角坐标系中， 抛物线 y ax2 bx 3 与 x轴相交于 A 3,0 、B 1,0 ，
交 y轴于点 N ，点 M 抛物线的顶点，对称轴与 x轴交于点 C．
⑴ . 求抛物线的解析式；
⑵ . 如图 1，连接 AM , 点 E 是线段 AM 上方抛物线上的一动点， EF AM 于点 F ；
过点 E 作 EH x 轴于点 H , 交 AM 于点 D . 点 P 是 y轴上一动点， 当 EF 取最大
值时．
① . 求 PD PC 的最小值；
② . 如图 2， Q 点是 y轴上一动点 , 请直接写出 DQ OQ 的最小值．

p q
解得{
，
9a 3b 3 0 a 1
a b 3 0 b 2



























【详解】 1）将 A（-3,0 ）、 B（1,0 ）代入二次函数 y ax2 bx 3 得，


{ 解之得 { ，∴二次函数的解析式为 y x2 2x 3；


（2）①将二次函数 y x2 2x 3 配方得 y ( x 1)2 4， ∴M（-1,4 ）
设直线 AM的解析式为 y px q ，将 A( 3,0), M ( 1,4) 代入直线可得，



3 p q {



0 p
4 q

2
，
6


∴直线 AM的解析式为 y 2x 6，

过 E 作直线 l ，平行于直线 AM， 且解析式为 y 2x m，

∵E 在直线 AM上方的抛物线上，
∴ 3 xE 1；
当直线 l 与 AM距离最大时， EF取得最大值，


∴当 l 与抛物线只有一个交点时， EF取得最大值，
将直线 l 的解析式代入抛物线得 x2 4x m 3 0，

由题意可得， △=16 4 1(m 3) 0， 经计算得 m 7， 将 m

得，
x2 4x 4 0，
∴x 2 ，即 E 点的横坐标为 -2 ，将 x 2 代入抛物线得 y
∴ E( 2,3)，








7 代入二次方程可








3

1 5
4 4
4
1
4







又∵ ED ⊥ x轴，
∴ xD xE 2 ，将 xD 2 代入直线 AM，

∴ D ( 2,2) ，

∵ C( 1,0), B(1,0)，
∴B、 C两点关于 y轴对称，
∴ PB PC ，
∴ PC PD PB PD ，当 P、 B、 D 三点不共线时 PB PD BD ，
当 P、 B、 D 三点共线时， PB PD BD ，
∴当 P、 B、 D 三点共线时 PC+PD取得最小值，
在 Rt△BHD中。 DH=2， BH=3， ∴ BD= DH 2 BH 2 13，

∴ PC PD 的最小值为 13；
②过 Q作直线平行于 x轴，并在 y轴右侧该直线上取一点 G，使得，


1
QG= OQ，
4
∴ DQ OQ DQ QG ，当

DQ+Q得最小值，设 Q（0，
∵QG∥x轴，

∴ yD yG yQ 2，

∴ y 2，

∴ DQ OQ 的最小值为 y






D , Q , G 三点共线时，
y），则 G( 1 y , y)，












5
．
2




6、如图，抛物线 y ＝ax2+bx+c （a≠0）的图象经过 A（1， 0）， B（3， 0）， C（0， 6）三点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点 M 与对称轴 l 上的点 N 关于 x 轴对称，直线 AN交抛物线 于点 D，直线 BE交 AD于点 E，若直线 BE将△ABD的面积分为 1： 2 两部分，

求点 E 的坐标．









（3） P 为抛物线上的一动点， Q 为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 P， 使 A、 D、 P、 Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若

不存在，请说明理由．

























【解答】 解： （1） ∵抛物线 y ＝ax2+bx+c（a≠0） 的图象经过 A（1， 0）， B（3，
0），
∴设抛物线解析式为： y ＝a （x ﹣ 1）（x ﹣ 3），
∵抛物线 y ＝a （x ﹣ 1）（x ﹣ 3）（a≠0）的图象经过点 C（0， 6），
∴6＝a （0 ﹣ 1）（0 ﹣ 3），
∴a＝2，
∴抛物线解析式为： y＝ 2（x ﹣ 1）（x ﹣ 3）＝ 2x2 ﹣ 8x+6；
（2）∵y ＝2x2 ﹣ 8x+6＝2 （x ﹣ 2） 2 ﹣ 2，
∴顶点 M的坐标为（ 2，﹣ 2），
∵抛物线的顶点 M与对称轴 l 上的点 N关于 x 轴对称，
∴点 N（2， 2），
设直线 AN解析式为： y ＝kx +b，

由题意可得： ，

解得： ，
∴直线 AN解析式为： y ＝2x ﹣ 2，


联立方程组得： ，










解得： ， ，


∴点 D（4， 6），
∴S△ABD＝ ×2×6＝6，
设点 E（m， 2m﹣ 2），
∵直线 BE将△ABD的面积分为 1： 2 两部分，



∴S△ABE＝ S△ABD＝2 或 S△ABE＝

∴ ×2×（ 2m﹣ 2）＝ 2 或

∴m＝2 或 3，
∴点 E（2， 2）或（ 3， 4）；

S△ABD＝4，

×2×（ 2m﹣ 2）＝ 4，

（3）若 AD为平行四边形的边，
∵以 A、 D、 P、 Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD ﹣ xA＝xP ﹣ xQ或 xD ﹣ xA ＝xQ ﹣ xP，
∴xP＝4 ﹣ 1+2＝5 或 xP＝2 ﹣ 4+1＝﹣ 1，
∴点 P 坐标为（ 5， 16）或（﹣ 1， 16）；
若 AD为平行四边形的对角线，
∵以 A、 D、 P、 Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与 PQ互相平分，
∴ ，
∴xP＝3，
∴点 P 坐标为（ 3， 0），
综上所述：当点 P 坐标为（ 5， 16）或（﹣ 1， 16）或（3， 0）时，使 A、 D、 P、
Q为顶点的四边形为平行四边形．
7、在平面直角坐标系 xOy 中，等腰直角△ ABC的直角顶点 C 在 y 轴上，另两个
顶点 A， B 在 x 轴上，且 AB＝4，抛物线经过 A， B， C 三点，如图 1 所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线 l 交抛物线于 M， N两点，如图 2 所示．









①求△CMN面积的最小值．
②已知 Q（1，﹣ ）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 P，使得点 P

与点 Q关于直线 l 对称，若存在，求出点 P 的坐标及直线 l 的一次函数表达
式；若不存在，请说明理由．

























【解答】 解： （1）设抛物线的解析式为 y ＝ax2+bx+c （a≠0），
在等腰 Rt△ABC中， OC垂直平分 AB，且 AB＝4，
∴OA＝OB＝OC＝2，
∴A（﹣ 2， 0）， B（2， 0）， C（0，﹣ 2），


∴ ，







解得， ，


∴抛物线的解析式为 y＝

（2）①设直线 l 的解析式为


由 ，可得

∴x1+x2＝2k， x1?x2＝﹣ 4， ∴
∴ ，






﹣ 2；
y＝ kx， M（x1， y1）， N（x2， y2），



，







，









∴ ，

∴当 k＝ 0 时 2 取最小值为 4．

∴△CMN面积的最小值为 4．
②假设抛物线上存在点 P（m， ﹣ 2），使得点 P 与点 Q关于直线 l 对称，

∴OP＝OQ， 即 ，

解得， ， ， m3＝ 1， m4＝﹣ 1，

∵m3＝ 1， m4＝﹣ 1 不合题意，舍去，
当 时，点 P（ ），

线段 PQ的中点为（ ），

∴ ，

∴ ，
∴直线 l 的表达式为： y ＝（ 1 ﹣ ） x，



当 时，点 P（﹣

线段 PQ的中点为（

∴ ，

∴ ，

，﹣ ），

，﹣ 1），

∴直线 l 的解析式为 y ＝（ 1+ ） x．
综上，直线 l 的解析式为 y＝（ 1 ﹣ ） x 或 y ＝（ 1+ ） x．
8、如图 1，抛物线 y ＝x +bx+c2 交 x 轴于 A， B 两点，其中点 A 的坐标为 (1， 0)， 与 y 轴交于点 C（(0，﹣ 3)．
（ 1）求抛物线的函数解析式；
（2）点 D 为 y 轴上一点，如果直线 BD与直线 BC的夹角为 15°，求线段 CD的 长度；
（3）如图 2， 连接 AC， 点 P 在抛物线上， 且满足∠ PAB＝2∠ACO，求点 P 的坐标．

0 1 b c
3
2
c
b


































【详解】解： （1）∵抛物线 y ＝x +bx+c2 交 x 轴于点 A（1， 0），与 y 轴交于点 C （0，﹣ 3），
∴ c ，


解得： ，
3
∴抛物线解析式为： y ＝x2+2x ﹣ 3；
（2）∵抛物线 y ＝x2+2x ﹣ 3 与 x 轴于 A， B 两点，
∴点 B（﹣ 3， 0），
∵点 B（﹣ 3， 0），点 C（0，﹣ 3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
如图 1，当点 D在点 C上方时，

∠DBO＝ ＝ ， BO 3
OD
BO








∵∠ DBC＝15°，
∴∠OBD＝30°，

∴tan OD 3





∴OD＝


3 ×3＝ 3，
3


∴CD＝3 ﹣ 3；

若点 D 在点 C 下方时，
∵∠ DBC＝15°，
∴∠OBD＝60°，
∴tan ∠DBO＝ ＝ 3，

∴OD＝3 3，

∴DC＝3 3 ﹣ 3，

综上所述：线段 CD的长度为 3 ﹣ 3 或 3 3 ﹣ 3；
（3）如图 2，在 BO上截取 OE＝OA，连接 CE，过点 E 作 EF⊥AC，



























∵点 A（1， 0），点 C（0，﹣ 3），
∴OA＝1， OC＝3，
∴AC＝ OA2 OC 2 ＝ 1 9 ＝ 10，

∵OE＝OA，∠ COE＝∠COA＝90°， OC＝OC，

4
4


3
3
AO 4
CF 4
10 5
2 2
1 1








∴△OCE≌△OCA（SAS），

∴∠ACO＝∠ ECO， CE＝AC＝ 10，

∴∠ ECA＝2∠ACO，
∵∠ PAB＝2∠ACO，
∴∠ PAB＝∠ ECA，

∵S△AEC＝ AE×OC＝ AC×EF，

∴EF＝ 2 3 ＝ 3 10，



∴CF＝ CE2 EF 2 ＝ 10 18 ＝ 4 10 ，
5 5

∴tan ∠ECA＝ EF ＝ 3，


如图 2，当点 P 在 AB的下方时，设 AO与 y 轴交于点 N，
∵∠ PAB＝∠ ECA，
∴tan ∠ECA＝tan ∠PAB＝ ON ＝ 3，





∴ON＝ ，



∴点 N（0， ），


又∵点 A（1， 0），


∴直线 AP解析式为：




联立方程组得：
y y





解得：
x1
y1
1 或
0
x
y
2



2


















4
3
y
x
＝



x

2
4 4
3 x ﹣ 3，



3
4 ，
2x 3


9
4
，
39
16

x
15 57
4 16
15
16 4 16
57 9 39
4 4
解得
4 16
9 39









∴点 P 坐标为： （﹣ ，﹣ ）


当点 P 在 AB的上方时，同理可求直线 AP解析式为： y＝﹣ 3 x+ 3，






联立方程组得：



y
y

3 3
4 4 ，
x2 2x 3






y1 0
x1 1


解得： 或
15
4
57
16
x
y

2

，

2

∴点 P 坐标为： （﹣ ， ），


综上所述：点 P 的坐标为（﹣ ，
4















），（﹣ ，﹣ ）．

9、如图，二次函数 y＝ ax2＋bx＋4 的图象与 x 轴交于点 A( －1． 0)， B(4． 0)， 与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，其对称轴与线段 BC交于点 E．垂直于 x 轴 的动直线 l 分别交抛物线和线段 BC于点 P 和点 F，动直线 l 在抛物线的对称轴 的右侧（不含对称轴）沿 x 轴正方向移动到 B 点．
（ 1）求出二次函数 y＝ ax2＋bx＋4 和 BC所在直线的表达式；
（2）在动直线 l 移动的过程中， 试求使四边形 DEFP为平行四边形的点 P 的坐标；

（3）连接 CP， CD，在移动直线 l 以点 P， C， F 为顶点的三角形与△ 不存在，请说明理由．
y




C






移动的过程中，抛物线上是否存在点 P，使得
DCE相似，如果存在，求出点 P 的坐标，如果




D
l



P

E




F
A O B x



解： （1）由题意，将 A( －1． 0)， B(4． 0) 代入 y ＝ax2＋bx＋4，得
a b 4 0, a 1,
16a 4b 4 0. b 3.

4m n
2 2 2 2 2
2 2 2 4 2
)．
21
4
2 4 2 4
3
2 4 2 2
2 2 2 4 2 4
2 2
C
P

E
m







∴二次函数的表达式为 y＝－ x2 ＋3x＋4．
当 x ＝0 时， y＝ 4，得点 C(0， 4) ，又点 B(4， 0)，
设线段 BC所在直线的表达式为 y ＝mx＋n，


n 4, ∴




解得 0.


1
,
n
4.

∴BC所在直线的表达式为 y ＝－ x＋ 4．
（2）∵ DE⊥x轴， PF⊥x 轴，∴ DE∥PF，
只要 DE＝PF，此时四边形 DEFP即为平行四边形．
由二次函数 y ＝－ x2 ＋3x＋4＝ (x － 3 ) 2 ＋ 25 ，得 D( 3， 25 )．

将 x ＝ 3 代入 y ＝－ x＋4，即 y ＝－ 3 ＋4＝ 5 ，得点 E( 3， 5 )．

∴DE＝ 25 － 5 ＝ 15．
4 2 4
设点 P 的横坐标为 t ，则 P( t ，－t 2＋3t ＋4)， F( t ，－t ＋4)，
PF＝－ t 2＋3t ＋4 －( －t ＋4) ＝－ t 2＋4t，
由 DE＝PF，得－ t 2＋4t ＝ 15，
4
解之，得 t 1 ＝ 3 (不合题意，舍去 )， t 2＝ 5．

当 t ＝ 5 时，－ t 2 ＋3t ＋4＝－ ( 5 ) 2＋3× 5 ＋4＝ 21 ．∴ P( 5，

y y
D D
l l

C
P

E






A O


F
B x


A O

F
B x


图① 图②
（3）由（ 2）知， PF∥DE，∴∠ CED＝∠CFP．
又∠PCF与∠DCE有共同的顶点 C，且∠ PCF在∠DCE的内部，
∴∠ PCF≠∠ DCE，
∴只有当∠ PCF＝∠CDE时，△ PCF∽△CDE．
由 D( ， 25 )， C(0， 4)， E( 3， 5 ) ，利用勾股定理，可得


CE＝ ( 3) 2 (4 5)2 ＝ 3 2， DE＝ 25 － 5 ＝ 15．

5 5 5 25
5 25
6
5










由（ 2）以及勾股定理知，
PF＝－ t 2＋4t， 2 t ．
2t
．
15
4
PF
CF＝ t 2 [4 ( t


∴ CF ，即
CE DE
4)] 2 ＝
t
2

3
2
4t

2

∵t ≠0，∴ 15 ( －t ＋4) ＝3，∴ t ＝ 16．
4 5
当 t ＝ 16 时，－ t 2 ＋3t ＋4＝－ ( 16 ) 2＋3× 16 ＋4＝ 84 ．

∴点 P 的坐标是 ( 16， 84 )．

10、如图，在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，抛物线





























y ax2 bx c 的顶


点是 A(1， 3) ，将 OA绕点 O逆时针旋转 90 后得到 OB，点 B 恰好在抛物线上， OB

与抛物线的对称轴交于点 C．





















（ 1）求抛物线的解析式；
（2） P 是线段 AC上一动点， 且不与点 A， C重合， 过点 P 作平行于 x 轴的直线，
与 OAB 的边分别交于 M，N两点， 将 AMN 以直线 MN为对称轴翻折， 得到 A MN ．
设点 P 的纵坐标为 m．
①当 A MN 在 OAB 内部时，求 m的取值范围；
②是否存在点 P，使 S A MN S OA'B , 若存在，求出满足 m的值；若不存在，请说

明理由．
【详解】解： （1）如图：作 AD⊥y 轴于点 D，作 BE⊥x 轴于点 E，

2
，
3，
3，
























∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵将 OA绕点 O逆时针旋转 90 后得到 OB，
∴OA=O，B ∠AOB=9，
∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，



∴∠AOD=∠BOE， ∴△AOD≌△ BOE， ∴AD=BE，OD=O，E ∵顶点 A 为（ 1， 3）， ∴AD=BE=，1 OD=OE=，3 ∴点 B 的坐标为（ 3， 1）， 设抛物线的解析式为 y a(x 1)2

把点 B 代入，得
a(3 1)2 3 1，
∴ a 1，

∴抛物线的解析式为 y ( x 1)

即 y x2 2x 2；

（2）①∵ P 是线段 AC上一动点，
∴ m 3
∵当 A MN 在 OAB 内部时，
当点 A ' 恰好与点 C重合时，如图：


3 3
1 8
3
3
1
3
1 10
3
，
3
3 3
3 3
2 3 3
1 10 5




























∵点 B 为（ 3， 1），
∴直线 OB的解析式为 y x，

令 x 1 ，则 y 1

1
∴点 C 的坐标为（ 1， ），
∴AC=3 ( ) ，

∵P 为 AC的中点，
∴AP= ，
∴ m 5 4，

∴m的取值范围是 4 m 3；

②当点 M在线段 OA上，点 N 在 AB上时，如图：



















∵点 P 在线段 AC上，则点 P 为（ 1， m），
∵点 A ' 与点 A关于 MN对称，则点 A ' 的坐标为（ 1， 2m- 3），


∴ A' P 3 m，
设直接 OA为 y

A'C (2 m 3) 2m ，
ax ，直线 AB为 y kx b，

2 2 2 3
3
5 5 5 1
1
m
2 4
MN ? A ' P ? ( m) ? (3
2 2 2 6 12 2
1 3 8
15
； 4
12 2 4 6
m
2 2 3
m m 5
m 5 m 5 5
2 3 2 6
OA B，
m








分别把点 A，点 B代入计算，得
直接 OA为 y 3x ；直线 AB为 y 2x 5，
令 y m，

则点 M的横坐标为 ，点 N 的横坐标为 ，
3 2
∴ MN m；

∵ S A 'MN 1 1 5 5 m) 5 m2 5 m

S OA' B ? A 'C ?3 ? (2m ) 3m 4；

5
又∵ S A MN S '
6
∴ 5 m2 5 15 5 (3m 4)，

解得： m 6 19 或m 6 19 （舍去）；

当点 M在边 OB上，点 N 在边 AB上时，如图：


































把 y m代入 y x，则 x 3m，

∴ MN 3m m ， A 'C (2m


2
S
∴ S A 'MN 1 MN ? A ' P



OA' B
1 3
2 2
? A 'C ?3

8
3
1
2
? (
2 2
? (5 m 5) ?(3 m)

2m) 4 3m，






8 3)
3
5 2
4





2m，

5 m 15，

5 2
4
5 15 5
2 4 6
或 m
'
．










∵ S A MN

∴ m


解得： m


5 S
6 OA B，
m (4 3m)，


6 39 6 39
3 3










（舍去） ；





综合上述， m的值为： m 6 19 或 m


6 39
3


11、综合与探究
如图，抛物线 y ＝ x2 ﹣ x ﹣ 3 与 x 轴交于 A， B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y

轴交于点 C．直线 l 与抛物线交于 A，D两点， 与 y 轴交于点 E，点 D 的坐标为（4，
﹣ 3）．
（ 1）请直接写出 A， B 两点的坐标及直线 l 的函数表达式；
（2）若点 P 是抛物线上的点，点 P 的横坐标为 m（m≥0），过点 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M． PM与直线 l 交于点 N，当点 N 是线段 PM的三等分点时，求点 P 的坐 标；
（3）若点 Q是 y 轴上的点，且∠ ADQ＝45°，求点 Q 的坐标．























【解答】 解： （1）令 y ＝0，得 y ＝ x2 ﹣ x ﹣ 3＝0，

解得， x＝﹣ 2，或 x＝ 6，
∴A（﹣ 2， 0）， B（6， 0），
设直线 l 的解析式为 y ＝kx +b （k≠0），则


，










解得， ，


∴直线 l 的解析式为 ；

（2）如图 1，根据题意可知，点 P 与点 N 的坐标分别为 P（m， m2 ﹣ m﹣ 3）， N（m， m﹣ 1），




























∴PM＝ ﹣ m2+m+3， MN＝ m+1， NP＝﹣ m2+ m+2，

分两种情况：
①当 PM＝3MN时，得﹣ m2+m+3＝3 （ m+1），

解得， m＝0，或 m＝﹣ 2 （舍），


∴P（0，﹣ 3）；
②当 PM＝3NP时，得﹣



m2+m+3＝3 （﹣ m2+ m+2），


解得， m＝3，或 m＝﹣ 2 （舍），
∴P（3，﹣ ）；

∴当点 N是线段 PM的三等分点时，点 P 的坐标为（ 3，﹣ ）或（ 0，﹣ 3）；

（3）∵直线 l： 与 y 轴交于点 E，

∴点 E 的坐标为（ 0，﹣ 1），
分两种情况：①如图 2，当点 Q在 y 轴的正半轴上时，记为点 Q1，


































过 Q1 作 Q1H⊥AD于点 H，则∠ Q1HE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q1EH＝∠AEO，
∴△Q1EH∽△AEO，


∴ ，即


∴Q1H＝2HE，
∵∠Q1DH＝45°，∠ Q1HD＝90°，
∴Q1H＝DH，
∴DH＝2EH，
∴HE＝ED，
连接 CD，
∵C（0，﹣ 3）， D（4，﹣ 3），
∴CD⊥y 轴，

∴ED＝ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴Q1O＝Q1E ﹣ OE＝9，
∴Q1 （0， 9）；
②如图 3，当点 Q在 y 轴的负半轴上时，记为点 Q2 ，过 Q2 作 Q2G⊥AD于 G，则 ∠Q2GE＝∠AOE＝90°，






































∵∠Q2EG＝∠AEO，
∴△Q2GE∽△AOE，


∴ ，即 ，


∴Q2G＝2EG，
∵∠Q2DG＝45°，∠ Q2GD＝90°，
∴∠DQ2G＝∠ Q2DG＝45°，
∴DG＝Q2 G＝2EG，
∴ED＝EG+DG＝3EG，


由①可知，
∴3EG＝2
∴

∴

∴

∴





ED＝2


，


，



，











，


，














，



，



综上，点 Q的坐标为（ 0， 9）或（ 0，﹣ ）．

12、如图，抛物线过点 A（0， 1）和 C，顶点为 D，直线 AC与抛物线的对称轴 BD








的交点为 B（ ， 0），平行于 y 轴的直线 EF 与抛物线交于点 E，与直线 AC

交于点 F，点 F 的横坐标为 ，四边形 BDEF为平行四边形．

（1）求点 F 的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点 P 为抛物线上的动点，且在直线 AC上方，当△ PAB面积最大时，求 点 P 的坐标及△ PAB面积的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上取一点 Q，同时在抛物线上取一点 R，使以 AC为一 边且以 A， C， Q， R为顶点的四边形为平行四边形，求点 Q和点 R的坐标．























解： （1）设抛物线的解析式为 y ＝ax2+bx+c （a≠0），
∵A（0， 1）， B（ ， 0），
设直线 AB 的解析式为 y＝ kx +m，
∴ ，



解得 ，


∴直线 AB的解析式为 y＝﹣ x+1，

∵点 F 的横坐标为 ，

∴F 点纵坐标为﹣ +1＝﹣ ，

∴F 点的坐标为（ ，﹣ ），

又∵点 A 在抛物线上，
∴c ＝1，
对称轴为： x＝﹣ ，

＝﹣ x +2







∴b＝﹣ 2 a，
∴解析式化为： y ＝ax2 ﹣ 2 ax+1，
∵四边形 DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，
∴﹣ 3a+1＝ a ﹣ 8a+1 ﹣（﹣ ），

解得 a＝﹣ 1，
∴抛物线的解析式为 y 2 x+1；
（2）设 P（n，﹣ n2+2 n+1），作 PP' ⊥x 轴交 AC于点 P' ，






















则 P' （n，﹣

∴PP' ＝﹣ n2 +
n
n+1），


，

S△ABP＝ OB?PP' ＝﹣ n＝﹣

∴当 n＝ 时，△ABP的面积最大为



（3）∵ ，



∴x ＝0 或 x＝ ，

∴C（ ，﹣ ），

设 Q（ ， m），
①当 AQ为对角线时， ∴R（﹣ ），

∵R 在抛物线 y＝ +4 上，









+ ，

，此时 P（ ， ）．











∴m+ ＝﹣

解得 m＝﹣ ，

∴Q ， R

②当 AR为对角线时， ∴R（ ），

∵R 在抛物线 y＝

∴m﹣

解得 m＝﹣ 10，
∴Q（ ，﹣ 10）， R（

综上所述， Q

13、如图 1，抛物线 y＝﹣


+4，






；








+4 上，

+4，




）．

，R ；或 Q（ ， ﹣ 10），R（ ）．

x2 +bx+c 经过点 C（6， 0），顶点为 B，对称轴 x ＝2


与 x 轴相交于点 A， D 为线段 BC的中点．

























（1）求抛物线的解析式；
（2） P 为线段 BC上任意一点， M为 x 轴上一动点，连接 MP，以点 M为中心，
将△MPC逆时针旋转 90°，记点 P 的对应点为 E，点 C 的对应点为 F．当直线
EF 与抛物线 y＝﹣ x2+bx+c 只有一个交点时，求点 M的坐标．

（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若 PC＝ （如图 2）．
①求证： EA＝ED．









②当点 E 在（ 1）所求的抛物线上时，求线段 CM的长． 【解答】 解： （1）∵点 C（6， 0）在抛物线上，

∴ ，

得到 6b+c＝ 9，
又∵对称轴为 x ＝2，

∴ ，


解得 b＝ 1，
∴c ＝3，
∴二次函数的解析式为 ；

（2）当点 M在点 C 的左侧时，如图 2 ﹣ 1 中：

























∵抛物线的解析式为 ，对称轴为 x ＝2， C（6， 0）

∴点 A（2， 0），顶点 B（2， 4），
∴AB＝AC＝4，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ 1＝45°；
∵将△ MPC逆时针旋转 90°得到△ MEF，
∴FM＝CM， ∠2＝∠ 1＝45°，
设点 M的坐标为（ m， 0），
∴点 F（m， 6 ﹣ m），









又∵∠ 2＝45°，
∴直线 EF 与 x 轴的夹角为 45°，
∴设直线 EF的解析式为 y ＝x+b，
把点 F（m， 6 ﹣ m）代入得： 6 ﹣ m＝m+b，解得： b＝6 ﹣ 2m，
直线 EF的解析式为 y ＝x+6 ﹣ 2m，

∵直线 EF 与抛物线 只有一个交点，


∴ ，


整理得： ，

∴△＝ b2 ﹣ 4ac＝0，解得 m＝ ，

点 M的坐标为（ ， 0）．

当点 M在点 C 的右侧时，如下图：

























由图可知， 直线 EF与 x 轴的夹角仍是 45°， 因此直线 EF与抛物线

不可能只有一个交点．
综上，点 M的坐标为（ ， 0）．

（3）①当点 M在点 C 的左侧时，如下图，过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G，过点 E 作 EH⊥x 轴于点 H，


































∵ ，由（ 2）知∠ BCA＝45°，
∴PG＝GC＝1，
∴点 G（5， 0），
设点 M的坐标为（ m， 0），
∵将△ MPC逆时针旋转 90°得到△ MEF，
∴EM＝PM，
∵∠HE∠EMH＝∠GM∠EMH＝90°，
∴∠HEM＝∠GMP，


在△EHM和△MGP中， ，


∴△EHM≌△ MGP（AAS），
∴EH＝MG＝5 ﹣ m， HM＝PG＝ 1，
∴点 H（m﹣ 1， 0），
∴点 E 的坐标为（ m﹣ 1， 5 ﹣ m）；
∴EA＝ ＝ ，

又∵D 为线段 BC的中点， B（2， 4）， C（6， 0），
∴点 D（4， 2），
∴ED＝ ＝ ，

∴EA＝ED．
当点 M在点 C的右侧时，如下图：

































同理，点 E 的坐标仍为（ m﹣ 1， 5 ﹣ m），因此 EA＝ED．
②当点 E 在（ 1）所求的抛物线 上时，

把 E（m﹣ 1， 5 ﹣ m）代入，整理得： m2 ﹣ 10m+13＝0，
解得： m＝ 或 m＝ ，
∴CM＝ 或 CM＝ ．
14、 在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ax2+bx ﹣ 3 过点 A（﹣ 3， 0）， B（1， 0），
．
与 y 轴交于点 C，顶点为点 D
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 为直线 CD上的一个动点，连接 BC；
①如图 1，是否存在点 P，使∠ PBC＝∠ BCO？ 若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图 2，点 P 在 x 轴上方，连接 PA 交抛物线于点 N，∠ PAB＝∠ BCO， 点 M 在第三象限抛物线上，连接 MN， 当∠ANM＝45°时，请直接写出点 M的坐标．








【解答】 解： （1） y ＝ax2+bx ﹣ 3＝a （x+3）（x ﹣ 1），
解得： a＝ 1，
故抛物线的表达式为： y ＝x2+2x ﹣ 3①；



（2）由抛物线的表达式知，点 C、 D 的坐标分别为（ 0，﹣ 3）、 （﹣ 1，﹣ 4）， 由点 C、 D 的坐标知，直线 CD的表达式为： y＝ x ﹣ 3；
tan ∠BCO＝ ，则 cos∠BCO＝ ；

①当点 P（P′）在点 C 的右侧时，

























∵∠PAB＝∠ BCO，
故 P′B∥y 轴，则点 P′（ 1，﹣ 2）；
当点 P 在点 C 的左侧时，
设直线 PB交 y 轴于点 H，过点 H 作 HN⊥BC于点 N，
∵∠PAB＝∠ BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则 BC＝2CH?cos∠BCO＝2×CH× ＝ ，

解得： CH＝ ，则 OH＝3 ﹣ CH＝ ，故点 H（0，﹣ ），

由点 B、 H 的坐标得，直线 BH的表达式为： y＝ x ﹣ ②，

联立①②并解得： ，

故点 P 的坐标为（ 1，﹣ 2）或（﹣ 5，﹣ 8）；
②∵∠ PAB＝∠BCO，而 tan ∠BCO＝ ，









故设直线 AP的表达式为： y ＝ x +s，将点 A 的坐标代入上式并解得： s＝ 1，

故直线 AP的表达式为： y＝ x+1，




联立①③并解得： ，故点 N（ ， ）；



设△AMN的外接圆为圆 R，

























当∠ANM＝45°时，则∠ ARM＝90°，设圆心 R 的坐标为（ m， n），
∵∠GR∠MRH＝90°，∠ MR∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR， ∠AGR＝∠RHM＝90°，


∴△AGR≌△ RHM（AAS）， ∴AG＝m+3＝ RH， RG＝ ﹣ n＝ MH， ∴点 M（m+n， n ﹣ m﹣ 3），
将点 M的坐标代入抛物线表达式得：









n ﹣ m﹣ 3＝（ m+n） 2 +2（m+n）﹣ 3③，

由题意得： AR＝NR，即（ m+3） 2 ＝（ m﹣ ） 2+ （ ） 2④，




联立③④并解得： ，



故点 M（﹣ ，﹣ ）．




15、如图，已知抛物线 y ax2 bx c经过 A( 2,0)， B(4,0)， C(0, 4) 三点．

1 ，
2
得： ，解得：
联立：
y
4


























（ 1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点 B 的直线交 y 轴于点 D，交线段 AC 于点 E，若 BD 5DE ．
①求直线 BD 的解析式；
②已知点 Q在该抛物线的对称轴 l 上，且纵坐标为 1，点 P 是该抛物线上位于第 一象限的动点，且在 l 右侧．点 R 是直线 BD 上的动点，若 PQR 是以点 Q为直

角顶点的等腰直角三角形，求点 P 的坐标．
【详解】解： （1）∵抛物线 y ax2 bx c经过点 A( 2,0)， B(4,0) ， C(0, 4) ，代

入，




4a 2b c
∴ 16a 4b c
c
4


0 a
0 ，解得： b
c

1
2


4



∴抛物线表达式为： y 1 x2 x 4；

（2）①过点 E 作 EG⊥x 轴，垂足为 G，
∵ B（4， 0），
设直线 BD的表达式为： y=k （x-4），
设 AC表达式为： y=mx+n，将 A 和 C 代入，
2m n 0 m 2
n 4 n 4，
∴直线 AC的表达式为： y=2x+4，
y k x 4
2x ，

4k 4 12k
2
k 2 ，

12
4k 4
2
1
2
2











x
解得：
y
4k 4 k 2 12k ， k 2


∴ E（ k 2 ， k 2），


∴G（ 0），



∴BG=k ，
∵EG⊥x 轴，
∴△ BDO∽△ BEG，


BD
BE
BD
BE
∴


∵ BD


∴


4
∴ 12
,
BO
BG

5DE ，



BO
BG
5
，
6

5
6，
k
2
解得： k= ，


∴直线 BD的表达式为： y































































1 x 2；



















②由题意：设 P（s， 1 s2 s 4）， 1＜s＜4，

2
2
2








∵△PQR是以点 Q为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠ PQR=9， PQ=R，Q
当点 R 在 y 轴右侧时，如图，
分别过点 P， R 作 l 的垂线，垂足为 M和 N，
∵∠ PQR=9，
∴∠ PQMRQN=9°0，
∵∠ MPQPQM=9°0，
∴∠ RQNMPQ，又 PQ=R，Q ∠ PMQRNQ=9°0，
∴△ PM△QNR，
∴MQ=N，RPM=Q，N
∵Q在抛物线对称轴 l 上，纵坐标为 1，
∴Q（1， 1），
∴QN=PM=，1MQ=R，N
则点 P 的横坐标为 2，代入抛物线得： y=4，
∴ P（2， 4）；
















当点 R 在 y 轴左侧时，
如图，分别过点 P， R 作 l 的垂线，垂足为 M和 N，
同理：△ PM△QNR，
∴NR=Q，MNQ=PM，

设 R（t， 1 t 2），





∴RN= 1t 2 1


NQ=1-t=PM，

1 t 1=QM，

2
( x 2)
2
2








∴P（ 1t 2， 2-t ），代入抛物线，


解得： t= 2 13 6或 2 13 6 （舍），

∴点 P 的坐标为（ 13 1， 2 13 4），


















综上：点 P 的坐标为（ 2， 4）或（ 13 1， 2 13 4） .



16、如图 1，抛物线 y


1 2 6 与抛物线 y1

x2 1 tx t 2 相交 y 轴于


点 C，抛物线 y1 与 x 轴交于 A、 B 两点（点 B 在点 A 的右侧） ，直线 y2 kx 3 交
x 轴负半轴于点 N，交 y 轴于点 M，且 OC ON．



















（ 1）求抛物线 y1 的解析式与 k 的值；

（2）抛物线 y1 的对称轴交 x 轴于点 D，连接 AC ，在 x 轴上方的对称轴上找一 点 E，使以点 A， D， E 为顶点的三角形与 △AOC 相似，求出 DE 的长；

（3）如图 2，过抛物线 y1 上的动点 G作 GH x 轴于点 H，交直线 y2 kx 3 于

点 Q，若点 Q 是点 Q关于直线 MG 的对称点，是否存在点 G （不与点 C重合），

使点 Q 落在 y轴上？若存在，请直接写出点 G的横坐标，若不存在，请说明理