中考数学第三轮冲刺：二次函数解答题专题复习

这是一份中考数学第三轮冲刺：二次函数解答题专题复习，共38页。

2021年中考数学第三轮冲刺：二次函数 解答题专题复习
1、已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．
（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点；
（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．

2、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．


3、如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．


4、已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．


5、已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为　　，抛物线的顶点坐标为　　；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



6、如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．


7、已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．


8、如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？


9、如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；
（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．


10、已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为　　，抛物线的顶点坐标为　　；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



11、如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．



12、在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．


13、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．

14、综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为　　．
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．









参考答案
2021年中考数学第三轮冲刺：二次函数 解答题专题复习
1、已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．
（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点；
（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
【解答】解：（1）把点A（2，0）代入y＝kx+4得：2k+4＝0
∴k＝﹣2
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点A（2，0），且a＝b
∴4a﹣2a+c＝0
解得：c＝﹣2a
∴二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a（a≠0）
当ax2﹣ax﹣2a＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1
∴二次函数与x轴交点坐标为（2，0），（﹣1，0）．

（2）证明：由（1）得：直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a

整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0
∴△＝（2﹣a）2﹣4a（﹣2a﹣4）＝a2﹣4a+4+8a2+16a＝9a2+12a+4＝（3a+2）2
∵a＞c，c＝﹣2a
∴a＞﹣2a
∴a＞0
∴3a+2＞0
∴△＝（3a+2）2＞0
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴直线与抛物线还有另一个异于点A的交点

（3）∵c＜a≤c+3，c＝﹣2a
∴﹣2a＜a≤﹣2a+3
∴0＜a≤1，抛物线开口向上
∵ 整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0，且△＝（3a+2）2＞0
∴x＝
∴x1＝2（即点A横坐标），x2＝﹣1﹣
∴y2＝﹣2（﹣1﹣）+4＝+6
∴直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标为（﹣1﹣，）
∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x﹣）2﹣a
∴顶点M（，﹣a），对称轴为直线x＝
∴抛物线对称轴与直线y＝﹣2x+4的交点N（，3）
∴如图，MN＝3﹣（﹣a）＝3+a
∴S＝S△AMN﹣S△BMN＝MN（xA﹣）﹣MN（﹣xB）＝（3+a）（2﹣）﹣（3+a）（+1+）＝（3+a）（﹣﹣）＝3a﹣+
∵0＜a≤1
∴0＜3a≤3，﹣≤﹣3
∴当a＝1时，3a＝3，﹣＝﹣3均取得最大值
∴S＝3a﹣+有最大值，最大值为．

2、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，
即点C（﹣1，0）；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝x+1…②，
设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
S△PBC＝PG（xC﹣xB）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，
∵＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，

当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，
联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），
同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，
联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），
故点P（﹣，﹣）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），
故点P（0，5）；
故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．
3、如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD＝C′D，
取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，
故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，

四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE，＝3：5或5：3，
则AE＝或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣6或﹣2，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②
联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．
4、已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴，解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，
∴AC2＝OA2+OC2＝18，
∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），
∴CD2＝12+12＝2
∴AD2＝22+42＝20
∴AC2+CD2＝AD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．
∵，
∴F为AD的中点，
∴，
∴．
②在Rt△ACD中，tan，
在Rt△OBC中，tan，
∴∠ACD＝∠OCB，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠FAO＝∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：
当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，
∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，
∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
∴，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝2x+6，
∴，解得：，
∴F（﹣）．
当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，
∵∠CAB＝45°，
∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y＝﹣x，
∴，解得：，
∴F（﹣2，2）．
综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．
5、已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为　y＝﹣x2﹣2x+3　，抛物线的顶点坐标为　（﹣1，4）　；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×＝2，
yD＝BDsin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；

（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，

∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x＝（舍去正值），
故点P（，）；

（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，

直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，
整理得：3x2+9x+7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．

6、如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

【解答】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3，
即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），
则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
点P（1，4）；
（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：
x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，
设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），
则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，
则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，
同理：y1y2＝9﹣4k2，
①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），
S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，
|x2﹣x1|＝，
解得：k＝±2；
②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），
则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，
为：k1k2＝＝＝﹣1，
故PM⊥PN，
即：△PMN恒为直角三角形；
③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，

设点H坐标为（x，y），
则x＝＝1﹣k，
y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），
整理得：y＝﹣2x2+4x+1，
即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．

7、已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．

【解答】解：（1）由题意：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点D坐标（2，3）．

（2）可能．如图1，

∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），
∴AB＝8，AD＝BD＝5，
①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，
∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．
②当DE＝EF时，
又∵△BEF∽△AED，
∴△BEF≌△AED，
∴BE＝AD＝5
③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，
△FDE∽△DAB，
∴＝，
∴＝＝，
∵△AEF∽△BCE
∴＝＝，
∴EB＝AD＝，
答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．

（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，

则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，
∵﹣＜0，
∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，
∵＝m，
∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，
观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个，
当m＝时，满足条件的点P的个数有3个，
当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．
8、如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），
即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
（2）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），
则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，
同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，
设直线AC的中点为M（﹣，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，
同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，
①当AC＝AQ时，如图1，

则AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），
故点Q（1，3）；
②当AC＝CQ时，如图1，
CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，
则QM＝MB＝，
故点Q（，）；
③当CQ＝AQ时，
联立①②并解得：x＝（舍去）；
故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；
（3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣m2+m，
∵﹣＜0，∴PN有最大值，
当m＝时，PN的最大值为：．
9、如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；
（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

【解答】解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，
∵∠BAR+∠RAB＝90°，∠RAB+∠CAS＝90°，
∴∠RAB＝∠CAR，又AB＝AC，
∴RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），
∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，
故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1），
将点B、C坐标代入抛物线y＝ax2﹣x+c并解得：
a＝，c＝11，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+11；
（2）将点B坐标代入y＝kx+1并解得：y＝x+1，则点D（﹣2，0），
点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），
则AB＝，AD＝5，
点E在直线BD上，则设E的坐标为（x，x+1），
∵AD＝AE，则52＝（3﹣x）2+（x+1）2，
解得：x＝﹣2或6（舍去﹣2），
故点E（6，4），
把x＝6代入y＝x2﹣x+11＝4，
故点E在抛物线上；
（3）①当切点在x轴下方时，
设直线y＝k1x﹣1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，﹣1），连接GA，

AH＝AB＝，GA＝，
∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠HKA，∴△KOG∽△KHA，
∴，即：，
解得：KO＝2或﹣（舍去﹣），
故点K（﹣2，0），
把点K、G坐标代入y＝k1x﹣1并解得：
直线的表达式为：y＝﹣x﹣1；
②当切点在x轴上方时，
直线的表达式为：y＝2x﹣1；
故满足条件的直线解析式为：y＝﹣x﹣1或y＝2x﹣1．
10、已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为　y＝﹣x2﹣2x+3　，抛物线的顶点坐标为　（﹣1，4）　；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×＝2，
yD＝BDsin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；

（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，

∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x＝（舍去正值），
故点P（，）；

（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，

直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，
整理得：3x2+9x+7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．


11、如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．

【解答】解：由抛物线C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），
将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c
得 ，
解得，
∴y2＝﹣+x+2，
∴B（2，3）；
（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，
①若B为直角顶点，BE⊥AB，kBE•kAB＝﹣1，
∴kBE＝﹣1，
直线BE解析式为y＝﹣x+5
联立，
解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1，
∴E（6，﹣1）；
②若A为直角顶点，AE⊥AB，
同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3，
联立，
解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13，
∴E（10，﹣13）；
③若E为直角顶点，设E（m，﹣m2+m+2）
由AE⊥BE得kBE•kAE＝﹣1，
即，
解得m＝2或﹣2（不符合题意舍去），
∴点E的坐标∴E（6，﹣1）或E（10，﹣13）；
（3）∵y1≤y2，
∴﹣2≤x≤2，
设M（t，），N（t，），且﹣2≤t≤2，
易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，
过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，

则Q（），
S1＝QM•|yF﹣yA|
＝
设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），
S2＝PN•|xA﹣xB|
＝2﹣
S＝S1+S2＝4t+8，
当t＝2时，
S的最大值为16．


12、在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．

【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．
令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∴AB＝OA+OB＝4，
∵△ABD的面积为5，
∴＝5，
∴yD＝，代入抛物线解析式得，，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴D（4，），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝．
（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），

∴＝，
∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，
＝，
∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．
（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，

∵E（），OA＝1，
∴AG＝1+＝，EG＝，
∴，
∵∠AGE＝∠AHP＝90°
∴sin，
∴，
∵E、F关于x轴对称，
∴PE＝PF，
∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，
∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，
∴＝，
∴．
∴PE+PA的最小值是3．

13、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．

【解答】解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），
∵点C（0，4）在抛物线上，
∴4＝﹣27a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+3）（x﹣9）＝﹣x2+x+4，
∵CD垂直于y轴，C（0，4），
令﹣x2+x+4＝4，
解得，x＝0或x＝6，
∴点D的坐标为（6，4）；

（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，
∵点F是抛物线y＝﹣x2+x+4的顶点，
∴F（3，），
∴FH＝﹣4＝，
∵GH∥A1O1，
∴△FGH∽△FA1O1，
∴，
∴，
解得，GH＝1，
∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，
∴S重叠部分＝﹣S△FGH
＝A1O1•O1F﹣GH•FH
＝
＝；

（3）①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，
∵C2O2∥DE，
∴△OO2M∽△OED，
∴，
∴，
∴O2M＝t，
∴S＝＝OO2×O2M＝t×t＝t2；

②当3＜t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，
将点D（6，4）代入y＝kx，
得，k＝，
∴yOD＝x，
将点（t﹣3，0），（t，4）代入y＝kx+b，
得，，
解得，k＝，b＝﹣t+4，
∴直线A2C2的解析式为：y＝x﹣t+4，
联立yOD＝x与y＝x﹣t+4，
得，x＝x﹣t+4，
解得，x＝﹣6+2t，
∴两直线交点M坐标为（﹣6+2t，﹣4+t），
故点M到O2C2的距离为6﹣t，
∵C2N∥OC，
∴△DC2N∽△DCO，
∴，
∴，
∴C2N＝（6﹣t），
∴S＝＝﹣
＝OA•OC﹣C2N（6﹣t）
＝×3×4﹣×（6﹣t）（6﹣t）
＝﹣t2+4t﹣6；

∴S与t的函数关系式为：S＝．



14、综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为　（，﹣5）　．
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝6
∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）
∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6

（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3
∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝
∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称
∴xD＝，AD＝BD
∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小
设直线BC解析式为y＝kx﹣6
∴3k﹣6＝0，解得：k＝2
∴直线BC：y＝2x﹣6
∴yD＝2×﹣6＝﹣5
∴D（，﹣5）
故答案为：（，﹣5）

（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F
设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）
∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t
∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+
∴当t＝时，△BCE面积最大
∴yE＝（）2﹣﹣6＝﹣
∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．

（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．
∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）
∴AC＝
①若AC为菱形的边长，如图3，
则MN∥AC且，MN＝AC＝2
∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）
②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4
设N4（﹣2，n）
∴﹣n＝
解得：n＝﹣
∴N4（﹣2，﹣）
综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．