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鲁科版 (2019)选择性必修 第一册第2章 机械振动第2节 振动的描述导学案
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这是一份鲁科版 (2019)选择性必修 第一册第2章 机械振动第2节 振动的描述导学案，共11页。
知识点一 振动特征的描述
1．振幅(A)
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离．
(2)物理意义：表示振动幅度大小或振动强弱的物理量，是标量．
2．周期(T)和频率(f)
(1)周期：做简谐运动的物体，完成一次全振动所经历的时间．
(2)频率：在一段时间内，物体完成全振动的次数与这段时间之比．
(3)固有周期(或固有频率)：物体仅在回复力作用下的振动周期(或频率)，叫作固有周期(或固有频率)．
(4)物理意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示物体振动越快，周期与频率的关系是T＝eq \f(1,f)．
简谐运动的位移是矢量，振幅是标量，振幅等于最大位移的数值，但是最大位移并不是振幅．
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)振动物体离开平衡位置的最大距离叫振幅．(√)
(2)振幅随时间做周期性变化．(×)
(3)物体两次通过平衡位置的时间叫作周期．(×)
知识点二 简谐运动的位移图像及位移公式
1．简谐运动的位移图像
(1)坐标系的建立
以横轴表示做简谐运动物体运动的时间，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移．
(2)图像的特点
一条正弦(或余弦)曲线．
(3)图像意义
表示做简谐运动的物体的位移随时间按正弦(或余弦)规律变化的情况．
(4)图像信息
如图所示，从图像上可知周期和振幅．还可知道任一时刻的位移大小和方向．
2．简谐运动的位移公式
简谐运动的一般表达式为x＝Asin ωt＝Asineq \f(2π,T)t．
(1)x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示振动时间．
(2)A表示简谐运动的振幅．
(3)ω叫作简谐运动的角速度(或圆频率)，表示简谐运动的快慢，ω＝eq \f(2π,T)＝2πf．
图像上的一个点表示什么意义？
提示：表示物体在某一时刻所处的位置(或位移)．
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简谐运动的位移图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移．(√)
(2)简谐运动图像上可以看出振子的运动轨迹．(×)
(3)x＝Asin ωt中的A为振幅，是矢量．(×)
3：填空
x＝Asin ωt，该表达式表示的是物体由平衡位置开始计时，沿正方向运动．
考点1 振幅、周期和频率
如图所示，思考探究下面两个问题
(1)振子振幅与位移最大值有什么关系？
(2)图乙中振子振幅为多少？
提示：(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是振动物体相对平衡位置的位置变化；位移的最大值等于振幅．
(2)10 cm．
1．对全振动的理解
(1)振动特征：一个完整的振动过程．
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)等各物理量第一次同时与初始状态相同．
(3)时间特征：历时一个周期．
(4)路程特征：振幅的4倍．
2．振幅和振动系统的能量关系
对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大．
3．振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系是
(1)一个周期内的路程为4倍的振幅；
(2)半个周期内的路程为2倍的振幅．
4．振幅与周期的关系
在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
频率、周期的理解
【典例1】 (多选)关于简谐运动的频率，下列说法正确的是( )
A．频率越高，振动质点运动的速度越大
B．频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多
C．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
D．弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关
BC [简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描述物体运动的快慢用速度，而速度是变化的，物体振动过程中最大速度大，也不能说明它的频率大．振动得越快和运动得越快意义是不同的，故A错误；简谐运动的物体在一个周期内速度的方向改变两次，频率越高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多，故B、C正确；弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置的速度没有关系，它由振动系统的固有量：质量m和弹簧的劲度系数k决定，故D错误．]
振幅与振动物体的路程
【典例2】 如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
[思路点拨] (1)振子从B经O到C的时间为eq \f(1,2)T．
(2)振子的振幅是5 cm，完成一次全振动的路程为振幅的4倍．
D [振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm．弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过路程为40 cm,3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm．故D正确，A、B、C错误．]
振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅．
(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，eq \f(1,4)周期内的路程等于振幅．
(2)若从一般位置开始计时，eq \f(1,4)周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．
[跟进训练]
1．(角度1)有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A．1∶1 1∶1B．1∶1 1∶2
C．1∶4 1∶4D．1∶2 1∶2
B [弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2．而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为1∶1．]
2．(角度2)一个物体做简谐运动时，周期是T，振幅是A，那么物体( )
A．在任意eq \f(T,4)内通过的路程一定等于A
B．在任意eq \f(T,2)内通过的路程一定等于2A
C．在任意eq \f(3T,4)内通过的路程一定等于3A
D．在任意T内通过的路程一定等于2A
B [物体做简谐运动，是变加速运动，在任意eq \f(T,4)内通过的路程不一定等于A，故A错误；物体做简谐运动，在任意eq \f(T,2)内通过的路程一定等于2A，故B正确；物体做简谐运动，在任意eq \f(3T,4)内通过的路程不一定等于3A，故C错误；物体做简谐运动，在一个周期内完成一次全振动，位移为零，路程为4A，故D错误．]
考点2 简谐运动的图像和公式
如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹．
讨论：(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
(2)振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？
提示：(1)是一条平行于小球运动方向的线段．
(2)是一条正弦曲线．
1．简谐运动图像的应用
(1)由图像可以直接确定周期和频率．
(2)可直接读出振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小．
(3)可直接读出振子正(负)位移的最大值，确定振幅的大小．
(4)可判断某一时刻振动物体的速度方向和加速度方向，以及它们的大小和变化趋势．
(5)可以由图像信息写出简谐运动表达式．
2．简谐运动表达式x＝Asin ωt的理解
(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移．
(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱．
(3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝eq \f(2π,Τ)＝2πf．可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．
3．简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ0)的理解
(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
(2)式中φ0表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．
(3)相位差：即某一时刻的相位之差．两个具有相同ω的简谐运动，设其初相位分别为φ01和φ02；其相位差Δφ＝(ωt＋φ02)－(ωt＋φ01)＝φ02－φ01．当Δφ＝0时，两质点振动步调一致；当Δφ＝π时，两质点振动步调完全相反．
简谐运动的表达式
【典例3】 如图所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN＝4 cm．从小球在图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.1 s，则小球振动的周期为________s，振动方程的表达式为x＝________cm．
[解析] 如题图，从正向最大位移处开始计时，振动方程的表达式为：x＝A cs ωt；其中振幅A＝2 cm；据题可得：T＝4×0.1 s＝0.4 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝5π rad/s，则振动方程的表达式为：x＝2cs 5πt cm．
[答案] 0.4 2cs 5πt
简谐运动的图像
【典例4】 如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝1 kg的小球，小球静止时弹簧伸长量为10 cm．现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2．
(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；
(2)求出小球在0～12.9 s内运动的总路程和12.9 s时刻的位置；
(3)小球运动到最高点时加速度的大小．
甲 乙
[解析] (1)由振动图像可知：A＝5 cm，T＝1.2 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(5π,3) rad/s
小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式：
y＝Acs ωt＝5cs eq \f(5π,3)t(cm)．
(2)12.9 s＝10eq \f(3,4)T，则小球在0～12.9 s内运动的总路程：43A＝215 cm；12.9 s时刻的位置：y＝0，即在平衡位置．
(3)小球在平衡位置时弹簧伸长量10 cm，则：k＝eq \f(mg,Δx)＝eq \f(10,0.1) N/m＝100 N/m
小球在最高点时，弹簧伸长5 cm，则mg－kΔx′＝ma
解得a＝5 m/s2．
[答案] (1)y＝5cseq \f(5π,3)t(cm) (2)215 cm 平衡位置
(3)5 m/s2
简谐运动图像的应用技巧
(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向
质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小．方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断．
(2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向
由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可．
[跟进训练]
3．(角度1)弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt＋\f(π,2)))(m)
B．x＝4×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2)))(m)
C．x＝8×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,2)))(m)
D．x＝4×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt－\f(π,2)))(m)
B [振子振动范围0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期为0.5 s，所以ω＝eq \f(2π,T)＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即在负向最大位移位置，综上可得：x＝4×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2)))( m )，B正确，A、C、D错误．]
4．(角度2)(多选)弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，则( )
A．t＝0时，振子位移为零，速度为零，加速度为零
B．t＝1 s时，振子位移最大，速度为零，加速度最大
C．t1和t2时刻振子具有相同的速度
D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度
BD [t＝0时刻，振子位于平衡位置O，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，选项A错误；t＝1 s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，选项B正确；t1和t2时刻振子位于正向同一位置，t1时刻是经此点向正方向运动，t2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，选项C错误；t3和t4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，选项D正确．]
1．关于振幅的各种说法中，正确的是( )
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强，周期越长
A [振幅是振子离开平衡位置的最大距离，是标量，在简谐运动中大小不变，而位移是变化的，故A对，B、C错；振幅越大，振动越强，但与周期无关，D错．]
2．两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin 4πt(cm)和x2＝2sin 2πt(cm)，它们的振幅之比、各自的频率之比是( )
A．2∶1,2∶1B．1∶2,1∶2
C．2∶1,1∶2D．1∶2,2∶1
A [由题意知A1＝4 cm，A2＝2 cm，ω1＝4π rad/s，ω2＝2π rad/s，则A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1．故A正确，B、C、D错误．]
3．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
A [由图像可知从P→Q物体远离平衡位置向外运动，位移增大，速度减小，A正确，B错误；由M→N，物体由正位移处向平衡位置移动，速度增大，位移减小，再由平衡位置沿负方向运动，位移增大，速度减小，选项C、D错误．]
4．(新情境题，以“弹簧振子”为背景，考查振动图像)
在研究一个物体的振动是否为简谐运动时，可以通过作出振动的图像来判断．如图所示，在弹簧振子的小球上安置一支记录用的铅笔P，在下面放一白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线．
问题：为什么要匀速拉动纸带？
[解析] 用纸带的运动方向代表时间轴的方向，纸带匀速运动时，由x＝vt知，位移与时间成正比，因此在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间．小球振动时，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线．
[答案] 见解析
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．在简谐运动中，完成一次全振动通过的路程为多大？需要多少时间？
提示：4A(其A为振幅)，一个周期T．
2．简谐运动的图像是一条什么样的曲线？从图像上可以直接得到什么信息？
提示：正弦(或余弦)曲线，振幅、周期．
3．请写出简谐运动的位移公式？
提示：x＝Asin ωt或x＝Asin(ωt＋φ0)．
核心素养
学习目标
物理观念
知道振幅、周期和频率的概念，了解全振动的含义及简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线．
科学思维
掌握简谐运动图像的物理意义和应用．
科学探究
能分析简谐运动的图像与质点的运动轨迹．
科学态度与责任
知道振动图像在生产、生活中的应用．
知识点一 振动特征的描述
1．振幅(A)
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离．
(2)物理意义：表示振动幅度大小或振动强弱的物理量，是标量．
2．周期(T)和频率(f)
(1)周期：做简谐运动的物体，完成一次全振动所经历的时间．
(2)频率：在一段时间内，物体完成全振动的次数与这段时间之比．
(3)固有周期(或固有频率)：物体仅在回复力作用下的振动周期(或频率)，叫作固有周期(或固有频率)．
(4)物理意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示物体振动越快，周期与频率的关系是T＝eq \f(1,f)．
简谐运动的位移是矢量，振幅是标量，振幅等于最大位移的数值，但是最大位移并不是振幅．
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)振动物体离开平衡位置的最大距离叫振幅．(√)
(2)振幅随时间做周期性变化．(×)
(3)物体两次通过平衡位置的时间叫作周期．(×)
知识点二 简谐运动的位移图像及位移公式
1．简谐运动的位移图像
(1)坐标系的建立
以横轴表示做简谐运动物体运动的时间，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移．
(2)图像的特点
一条正弦(或余弦)曲线．
(3)图像意义
表示做简谐运动的物体的位移随时间按正弦(或余弦)规律变化的情况．
(4)图像信息
如图所示，从图像上可知周期和振幅．还可知道任一时刻的位移大小和方向．
2．简谐运动的位移公式
简谐运动的一般表达式为x＝Asin ωt＝Asineq \f(2π,T)t．
(1)x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示振动时间．
(2)A表示简谐运动的振幅．
(3)ω叫作简谐运动的角速度(或圆频率)，表示简谐运动的快慢，ω＝eq \f(2π,T)＝2πf．
图像上的一个点表示什么意义？
提示：表示物体在某一时刻所处的位置(或位移)．
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简谐运动的位移图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移．(√)
(2)简谐运动图像上可以看出振子的运动轨迹．(×)
(3)x＝Asin ωt中的A为振幅，是矢量．(×)
3：填空
x＝Asin ωt，该表达式表示的是物体由平衡位置开始计时，沿正方向运动．
考点1 振幅、周期和频率
如图所示，思考探究下面两个问题
(1)振子振幅与位移最大值有什么关系？
(2)图乙中振子振幅为多少？
提示：(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是振动物体相对平衡位置的位置变化；位移的最大值等于振幅．
(2)10 cm．
1．对全振动的理解
(1)振动特征：一个完整的振动过程．
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)等各物理量第一次同时与初始状态相同．
(3)时间特征：历时一个周期．
(4)路程特征：振幅的4倍．
2．振幅和振动系统的能量关系
对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大．
3．振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系是
(1)一个周期内的路程为4倍的振幅；
(2)半个周期内的路程为2倍的振幅．
4．振幅与周期的关系
在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
频率、周期的理解
【典例1】 (多选)关于简谐运动的频率，下列说法正确的是( )
A．频率越高，振动质点运动的速度越大
B．频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多
C．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
D．弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关
BC [简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描述物体运动的快慢用速度，而速度是变化的，物体振动过程中最大速度大，也不能说明它的频率大．振动得越快和运动得越快意义是不同的，故A错误；简谐运动的物体在一个周期内速度的方向改变两次，频率越高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多，故B、C正确；弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置的速度没有关系，它由振动系统的固有量：质量m和弹簧的劲度系数k决定，故D错误．]
振幅与振动物体的路程
【典例2】 如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
[思路点拨] (1)振子从B经O到C的时间为eq \f(1,2)T．
(2)振子的振幅是5 cm，完成一次全振动的路程为振幅的4倍．
D [振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm．弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过路程为40 cm,3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm．故D正确，A、B、C错误．]
振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅．
(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，eq \f(1,4)周期内的路程等于振幅．
(2)若从一般位置开始计时，eq \f(1,4)周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．
[跟进训练]
1．(角度1)有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A．1∶1 1∶1B．1∶1 1∶2
C．1∶4 1∶4D．1∶2 1∶2
B [弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2．而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为1∶1．]
2．(角度2)一个物体做简谐运动时，周期是T，振幅是A，那么物体( )
A．在任意eq \f(T,4)内通过的路程一定等于A
B．在任意eq \f(T,2)内通过的路程一定等于2A
C．在任意eq \f(3T,4)内通过的路程一定等于3A
D．在任意T内通过的路程一定等于2A
B [物体做简谐运动，是变加速运动，在任意eq \f(T,4)内通过的路程不一定等于A，故A错误；物体做简谐运动，在任意eq \f(T,2)内通过的路程一定等于2A，故B正确；物体做简谐运动，在任意eq \f(3T,4)内通过的路程不一定等于3A，故C错误；物体做简谐运动，在一个周期内完成一次全振动，位移为零，路程为4A，故D错误．]
考点2 简谐运动的图像和公式
如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹．
讨论：(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
(2)振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？
提示：(1)是一条平行于小球运动方向的线段．
(2)是一条正弦曲线．
1．简谐运动图像的应用
(1)由图像可以直接确定周期和频率．
(2)可直接读出振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小．
(3)可直接读出振子正(负)位移的最大值，确定振幅的大小．
(4)可判断某一时刻振动物体的速度方向和加速度方向，以及它们的大小和变化趋势．
(5)可以由图像信息写出简谐运动表达式．
2．简谐运动表达式x＝Asin ωt的理解
(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移．
(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱．
(3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝eq \f(2π,Τ)＝2πf．可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．
3．简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ0)的理解
(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
(2)式中φ0表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．
(3)相位差：即某一时刻的相位之差．两个具有相同ω的简谐运动，设其初相位分别为φ01和φ02；其相位差Δφ＝(ωt＋φ02)－(ωt＋φ01)＝φ02－φ01．当Δφ＝0时，两质点振动步调一致；当Δφ＝π时，两质点振动步调完全相反．
简谐运动的表达式
【典例3】 如图所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN＝4 cm．从小球在图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.1 s，则小球振动的周期为________s，振动方程的表达式为x＝________cm．
[解析] 如题图，从正向最大位移处开始计时，振动方程的表达式为：x＝A cs ωt；其中振幅A＝2 cm；据题可得：T＝4×0.1 s＝0.4 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝5π rad/s，则振动方程的表达式为：x＝2cs 5πt cm．
[答案] 0.4 2cs 5πt
简谐运动的图像
【典例4】 如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝1 kg的小球，小球静止时弹簧伸长量为10 cm．现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2．
(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；
(2)求出小球在0～12.9 s内运动的总路程和12.9 s时刻的位置；
(3)小球运动到最高点时加速度的大小．
甲 乙
[解析] (1)由振动图像可知：A＝5 cm，T＝1.2 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(5π,3) rad/s
小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式：
y＝Acs ωt＝5cs eq \f(5π,3)t(cm)．
(2)12.9 s＝10eq \f(3,4)T，则小球在0～12.9 s内运动的总路程：43A＝215 cm；12.9 s时刻的位置：y＝0，即在平衡位置．
(3)小球在平衡位置时弹簧伸长量10 cm，则：k＝eq \f(mg,Δx)＝eq \f(10,0.1) N/m＝100 N/m
小球在最高点时，弹簧伸长5 cm，则mg－kΔx′＝ma
解得a＝5 m/s2．
[答案] (1)y＝5cseq \f(5π,3)t(cm) (2)215 cm 平衡位置
(3)5 m/s2
简谐运动图像的应用技巧
(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向
质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小．方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断．
(2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向
由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可．
[跟进训练]
3．(角度1)弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt＋\f(π,2)))(m)
B．x＝4×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2)))(m)
C．x＝8×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,2)))(m)
D．x＝4×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt－\f(π,2)))(m)
B [振子振动范围0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期为0.5 s，所以ω＝eq \f(2π,T)＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即在负向最大位移位置，综上可得：x＝4×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2)))( m )，B正确，A、C、D错误．]
4．(角度2)(多选)弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，则( )
A．t＝0时，振子位移为零，速度为零，加速度为零
B．t＝1 s时，振子位移最大，速度为零，加速度最大
C．t1和t2时刻振子具有相同的速度
D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度
BD [t＝0时刻，振子位于平衡位置O，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，选项A错误；t＝1 s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，选项B正确；t1和t2时刻振子位于正向同一位置，t1时刻是经此点向正方向运动，t2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，选项C错误；t3和t4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，选项D正确．]
1．关于振幅的各种说法中，正确的是( )
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强，周期越长
A [振幅是振子离开平衡位置的最大距离，是标量，在简谐运动中大小不变，而位移是变化的，故A对，B、C错；振幅越大，振动越强，但与周期无关，D错．]
2．两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin 4πt(cm)和x2＝2sin 2πt(cm)，它们的振幅之比、各自的频率之比是( )
A．2∶1,2∶1B．1∶2,1∶2
C．2∶1,1∶2D．1∶2,2∶1
A [由题意知A1＝4 cm，A2＝2 cm，ω1＝4π rad/s，ω2＝2π rad/s，则A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1．故A正确，B、C、D错误．]
3．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
A [由图像可知从P→Q物体远离平衡位置向外运动，位移增大，速度减小，A正确，B错误；由M→N，物体由正位移处向平衡位置移动，速度增大，位移减小，再由平衡位置沿负方向运动，位移增大，速度减小，选项C、D错误．]
4．(新情境题，以“弹簧振子”为背景，考查振动图像)
在研究一个物体的振动是否为简谐运动时，可以通过作出振动的图像来判断．如图所示，在弹簧振子的小球上安置一支记录用的铅笔P，在下面放一白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线．
问题：为什么要匀速拉动纸带？
[解析] 用纸带的运动方向代表时间轴的方向，纸带匀速运动时，由x＝vt知，位移与时间成正比，因此在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间．小球振动时，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线．
[答案] 见解析
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．在简谐运动中，完成一次全振动通过的路程为多大？需要多少时间？
提示：4A(其A为振幅)，一个周期T．
2．简谐运动的图像是一条什么样的曲线？从图像上可以直接得到什么信息？
提示：正弦(或余弦)曲线，振幅、周期．
3．请写出简谐运动的位移公式？
提示：x＝Asin ωt或x＝Asin(ωt＋φ0)．
核心素养
学习目标
物理观念
知道振幅、周期和频率的概念，了解全振动的含义及简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线．
科学思维
掌握简谐运动图像的物理意义和应用．
科学探究
能分析简谐运动的图像与质点的运动轨迹．
科学态度与责任
知道振动图像在生产、生活中的应用．
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