人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆学案，共8页。


在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图①②所示．
我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径．
[问题] (1)那么，你能说说到底什么是椭圆吗？
(2)椭圆上任意一点的特征是什么？



知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？
提示：不是．
设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
答案：D
知识点二 椭圆的标准方程
eq \a\vs4\al()
椭圆的标准方程的特征
(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上；
(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于eq \f(x,a)与eq \f(y,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,a)与\f(x,b)))的平方和，并且分母为不相等的正值．
1．若椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1的一个焦点坐标为(1，0)，则实数m的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
答案：C
2．若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为________________．
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1
[例1] (链接教科书第107页例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；
(3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝eq \r(6).
[解] (1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义，知2a＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2))\s\up12(2))＋
eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2))\s\up12(2))＝eq \f(3\r(10),2)＋eq \f(\r(10),2)＝2eq \r(10)，
∴a＝eq \r(10).
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，
∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.
(3)∵c＝eq \r(6)，∴a2－b2＝c2＝6.①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，
∴b2＝2，∴a2＝8.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
eq \a\vs4\al()
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[跟踪训练]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))；
(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同的焦点．
解：(1)法一(分类讨论法)：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝8，,b2＝4，))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b2＝8，,a2＝4，))
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
法二(待定系数法)：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(eq \r(3)，－eq \r(5))在椭圆上，所以eq \f(（－\r(5)）2,a2)＋eq \f(（\r(3)）2,b2)＝1，
即eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
[例2] (链接教科书第109页练习1题)(1)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________；
(2)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为________．
[解析] (1)A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|，
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.
故△ABF2的周长为4×5＝20.
(2)由eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，知a＝4，b＝3，c＝eq \r(7)，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2eq \r(7)，
∴cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(1,2)，
∴∠F1PF2＝60°.
[答案] (1)20 (2)60°
eq \a\vs4\al()
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a；
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
[跟踪训练]
1.如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆的标准方程为____________．
解析：设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，则由已知得c＝1，|F1F2|＝2，所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
2.如图所示，P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
解：由已知a＝2，b＝eq \r(3)，得c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1.
∴|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 60°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cs 60°.∴4＝16－3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝4.∴Seq \a\vs4\al(△PF1F2)＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
[例3] (链接教科书第108页例2、例3)(1)已知P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________；
(2)点A，B的坐标分别是(0，1)，(0，－1)，直线AM，BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是－eq \f(1,2)，求点M的轨迹方程．
(1)[解析] 设P(xP，yP)，Q(x，y)，
由中点坐标公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(xP,2)，,y＝\f(yP,2)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xP＝2x，,yP＝2y，))
又点P在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上，所以eq \f(（2x）2,4)＋eq \f(（2y）2,8)＝1，
即x2＋eq \f(y2,2)＝1.
[答案] x2＋eq \f(y2,2)＝1
(2)[解] 设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(0，1)，所以直线AM的斜率kAM＝eq \f(y－1,x)(x≠0)，同理，直线BM的斜率kBM＝eq \f(y＋1,x)(x≠0)．
由已知有eq \f(y－1,x)·eq \f(y＋1,x)＝－eq \f(1,2)，
化简，得点M的轨迹方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1(x≠0)．
eq \a\vs4\al()
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0；
(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可；
(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
[跟踪训练]
求过点P(3，0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．
解：圆方程化为标准方程为(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3，0)，半径为R＝10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PC|＝r，,|CC1|＝R－r，))消去r得|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.
又P(3，0)，C1(－3，0)，且|PC1|＝6<10.可见C点是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3，2a＝10，
所以a＝5，从而b＝4，
故所求的动圆圆心的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
1．椭圆eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选D 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 椭圆方程可化为x2＋eq \f(y2,\f(4,k))＝1，
由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4,k)>1，,\f(4,k)－1＝1，))解得k＝2.
3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0，2)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
解析：选D ∵方程x2＋ky2＝2，
即eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴eq \f(2,k)>2且eq \f(2,k)>0，故04．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq \r(15)，则此椭圆的标准方程为________．
解析：由已知2a＝8，2c＝2eq \r(15)，所以a＝4，c＝eq \r(15)，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋x2＝1.
答案：eq \f(y2,16)＋x2＝1
5．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为________．
解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴eq \f(1,2)×8b＝12，
∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
新课程标准解读
核心素养
1.了解椭圆的实际背景
数学抽象
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程
数学抽象、直观想象
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图 形
焦点坐标
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的
关系
c2＝a2－b2
求椭圆的标准方程
椭圆的定义及其应用
与椭圆有关的轨迹问题