高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第一课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第一课时学案设计，共9页。
第一课时 抛物线的简单几何性质
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？
[问题] 上述情境中主要用到了抛物线的怎样的几何性质？



知识点 抛物线的简单几何性质
在同一坐标系下试画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？
提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．y2＝±12x
解析：选C 可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依题意知eq \f(p,2)＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.
2．设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选B ∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，
∴eq \f(p,2)＝6，即p＝12.
又抛物线上的点到准线距离的最小值为eq \f(p,2)，
∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[6，＋∞)．
3．若双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．
答案：4
[例1] (链接教科书第134页例3)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2eq \r(3)，求抛物线的方程．
[解] 设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y20)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2
C．2p2 D．p2
解析：选B 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x，,y2＝2px))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2p，,y＝2p，))
不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝eq \f(1,2)×4p×2p＝4p2.
角度一 直线与抛物线位置关系的判断
[例2] (1)过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？
(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
[解] (1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意．
当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程是y＝kx＋1，代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，x＝eq \f(1,2)，符合题意；当k≠0时，由Δ＝0，得k＝eq \f(1,2)，直线方程为y＝eq \f(1,2)x＋1.
故满足条件的直线有三条．
(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝（a＋1）x－1，,y2＝ax))只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.①
(ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.))
(ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－eq \f(4,5).
所以原方程组有唯一解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝－2.))
综上，实数a的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(4,5))).
eq \a\vs4\al()
直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数；
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．
角度二 弦长问题
[例3] 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(5,2)p，求AB所在的直线方程．
[解] 由题意知焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠eq \f(5,2)p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，k≠0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝eq \f(2p,k)，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))·（y1－y2）2)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))＝eq \f(5,2)p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
eq \a\vs4\al()
抛物线弦长的求解思路
当直线的斜率k存在且k≠0时，弦长公式为|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；当直线的斜率k＝0时，只有抛物线的对称轴是y轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|；当直线的斜率k不存在时，只有抛物线的对称轴是x轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|y1－y2|.
[注意] 焦点弦是特殊的弦，一般利用抛物线的定义转化为焦半径和焦点弦长问题处理．注意熟记抛物线的四种标准方程对应的焦点弦长公式．
角度三 中点弦问题
[例4] 过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则弦AB所在直线的方程为________．
[解析] 法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在，设该直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝k（x－4）＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，则y1＋y2＝eq \f(8,k).
又y1＋y2＝2，所以eq \f(8,k)＝2，解得k＝4.
故所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
法二：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq \\al(2,1)＝8x1， ①
yeq \\al(2,2)＝8x2，②
且x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，③
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，④
将③代入④，得y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，则弦AB所在直线的斜率为4.
故所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
[答案] 4x－y－15＝0
eq \a\vs4\al()
解决中点弦问题的思路
解决中点弦问题的基本方法是点差法、利用根与系数的关系，直线与抛物线的方程联立时消y有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解．一般地，已知抛物线y2＝2px(p>0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)及AB的中点P(x0，y0)，则kAB＝eq \f(p,y0).
直线AB的方程为y－y0＝eq \f(p,y0)(x－x0)．
线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝－eq \f(y0,p)(x－x0)．
[跟踪训练]
1．设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝25，则k的值为( )
A．±2 B．－1
C．±1 D．－2
解析：选A 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，
消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，
所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，
抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，
因为|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25⇒k＝±2.
2．已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
解：联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝eq \f(1,4)，
∴y＝1，
∴直线l与C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－eq \f(4,3) B．－1
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,2)
解析：选C 因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－eq \f(p,2)，且点A(－2，3)在准线上，所以eq \f(－p,2)＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，故直线AF的斜率k＝eq \f(3－0,－2－2)＝－eq \f(3,4).
2．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
解析：选CD 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，
依题意得y＝eq \f(p,2)，代入x2＝2py或x2＝－2py得|x|＝p，
∴2|x|＝2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(AF,\s\up6(―→))＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2eq \r(2)) B．(1，±2)
C．(1，2) D．(2，2eq \r(2))
解析：选B 由题意知F(1，0)，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,0),4)，y0))，
则eq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,0),4)，y0))，
eq \(AF,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(yeq \\al(2,0),4)，－y0)).
由eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(AF,\s\up6(―→))＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.
4．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4eq \r(3)，则焦点F到直线AB的距离为________．
解析：由抛物线的方程可知F(1，0)，由|AB|＝4eq \r(3)且AB⊥x轴得yeq \\al(2,A)＝(2eq \r(3))2＝12，
∴xA＝eq \f(yeq \\al(2,A),4)＝3，
∴所求距离为3－1＝2.
答案：2
5．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点．
当k≠0时，联立方程消去y，得
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
解得k＝1.
答案：0或1
新课程标准解读
核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质
直观想象
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用
数学运算、直观想象
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
性质
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0，0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
抛物线方程及其几何性质
直线与抛物线的位置关系