2020-2021学年重庆市渝北区松树桥中学八年级（下）第一次月考数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆市渝北区松树桥中学八年级（下）第一次月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．4，6，8C．8，24，25D．6，12，13
3.甲、乙、丙、丁四人各进行10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2=1，S乙2=1.1，S丙2=0.6，S丁2=0.9，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4.下列运算中正确的是（ ）
A． B. C. D.
5.估计的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
6.2020年受新型冠状肺炎病毒的影响，某地开展了“阅读战‘疫’，读书强国”师生阅读活动，某班为了解学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示：则本次调查中，该班平均每天阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．2，1B．1，1.5C．1，2D．1，1
7.如图，每个图形都由同样大小的“●”按照一定的规律组成，其中第1个图形有个“●”，第2个图形有2个“●”，第3个图形有5个“●”，…，则第6个图形中“●”的个数为（ ）
A．23B．24C．25D．26
8.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．16B．18C．20D．24
9.已知一个平行四边形的两条对角线长是6cm和8cm，则下列线段长度可以是它的边长的是（ ）
A．10cmB．9cmC．8cmD．5cm
10.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A．-1B．C．-1D．
11.在△ABC中，若AB=AC=15，BC=24，若P是△ABC所在的平面内的点，且PB=PC=20，则AP的长为（ ）
A．7B．5C．7或25D．5或14
12.如果关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（每题4分，共24分）
13.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____.
14.=_________.
15.在一次业余歌手大奖赛中，小红根据10名选手在决赛中的成绩制作了如图所示的折线统计图，则这10名选手大奖赛中的平均成绩是_____.
16.在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为____.
17.有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是_____厘米（π取3）．
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则△B'FC的面积为____.
三、解答题（共8小题，第19--25题，每小题10分，第26题8分，共78分）
19.（1）
（2）
20.先化简，再求值：，其中
21.如图，▱ABCD中，E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于F．
求证：DC=DF．
22.5月5日18时，我国载人空间站研制的长征五号B运载火箭在海南文昌首飞成功，正式拉开我国载人航天工程“第三步”任务的序幕．为了解重庆一中初三学生对我国航天事业的关注程度，随机抽取了男、女各m名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图：（数据分组为A组：x＜18，B组：18≤x＜22，C组：22≤x＜26，D组：26≤x≤30，x表示问卷测试的分数），其中男生得分处于C组的有14人，
男生C组得分情况分别为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25
男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：
（1）直接写出m，n的值，并补全条形统计图；
（2）通过以上数据分析，你认为成绩更好的是男生还是女生？说明理由（一条理由即可）；
（3）已知初三年级总人数为2000人，请估计参加问卷测试，成绩处于C组的人数．
23.如图，在▱ABCD中，AP、BP分别是∠DAB和∠CBA的角平分线，已知AD=5．
（1）求线段AB的长；
（2）延长AP，交BC的延长线于点Q．
①请在答卷上补全图形；
②若BP=6，求△ABQ的周长．
24.如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：△ADC≌△BDF；
（2）线段BF与AE有何数量关系？并说明理由．
（3）若CD=，求AD的长．
25.由（a-b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：a+b≥2，当且仅当a=b时取到等号．
例如：已知x＞0，求式子x+的最小值．
解：令a=x，b=，则由a+b＞2，得x+≥2=4，当且仅当x=时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当x＞0，式子x+的最小值为____；当x＜0，则当x=_____时，式子4x+取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，DE⊥CD，且DE=CD，CE交边AB于点F，连接BE．
（1）若AC=6，CD=7，求线段AD的长；
（2）如图2，求证：△CBE是直角三角形；
（3）如图3，若CD≠CF，直接写出线段AC，CD，BE之间的数量关系．
2020-2021学年重庆市渝北区松树桥中学八年级（下）第一次月考数学试卷 （教师版）
一、选择题（每题4分，共48分）
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2.以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．4，6，8C．8，24，25D．6，12，13
【答案】A
3.甲、乙、丙、丁四人各进行10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2=1，S乙2=1.1，S丙2=0.6，S丁2=0.9，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
4.下列运算中正确的是（ ）
A． B. C. D.
【答案】B
5.估计的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】B
6.2020年受新型冠状肺炎病毒的影响，某地开展了“阅读战‘疫’，读书强国”师生阅读活动，某班为了解学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示：则本次调查中，该班平均每天阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．2，1B．1，1.5C．1，2D．1，1
【答案】D
7.如图，每个图形都由同样大小的“●”按照一定的规律组成，其中第1个图形有个“●”，第2个图形有2个“●”，第3个图形有5个“●”，…，则第6个图形中“●”的个数为（ ）
A．23B．24C．25D．26
【答案】D
8.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则平行四边形ABCD的周长是（ ）
A．16B．18C．20D．24
【答案】C
9.已知一个平行四边形的两条对角线长是6cm和8cm，则下列线段长度可以是它的边长的是（ ）
A．10cmB．9cmC．8cmD．5cm
【答案】D
10.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A．-1B．C．-1D．
【答案】A
11.在△ABC中，若AB=AC=15，BC=24，若P是△ABC所在的平面内的点，且PB=PC=20，则AP的长为（ ）
A．7B．5C．7或25D．5或14
解：过A做AD垂直于BC交BC于D，
∵AB=AC，PB=PC，
∴A和P都在BC的中垂线上，且D是BC的中点，
当p在A上边时PA=16-9=7；
当P在BC下边时PA=16+9=25．
故选：C．
12.如果关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：分式方程去分母得：1-ax+2x-4=-1，即（2-a）x=2，
由分式方程有整数解，得到2-a≠0，
解得：x=，
不等式组整理得：-3≤x＜，
由不等式组有且只有四个整数解，得到0＜≤1，
解得：＜a≤2，
由x为整数，且≠2，得到2-a=±1，-2，
解得：a=1，此时分式方程无解，
则符合条件的所有整数a的个数为0，
故选：A．
二、填空题（每题4分，共24分）
13.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____.
答案为：x≥-2且x≠2．
14.=_________.
【答案】
15.在一次业余歌手大奖赛中，小红根据10名选手在决赛中的成绩制作了如图所示的折线统计图，则这10名选手大奖赛中的平均成绩是_____.
【答案】8.4．
16.在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为____.
答案为48．
17.有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是_____厘米（π取3）．
解：展开圆柱的半个侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即3π=9，矩形的宽是圆柱的高12．
根据两点之间线段最短，
知最短路程是矩形的对角线的长，即=15厘米．
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则△B'FC的面积为____.
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴BA=10，
∵将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，
∴∠AEC=∠CED，∠ACE=∠DCE，
∵∠AED=180°，
∴∠CED=90°，即CE⊥AB，
∵S△ABC=AB×EC=AC×BC，
∴EC=，
在Rt△ACE中，AE=，
∴BE=10-，
∵将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
∴△BCF≌△B'CF，BF=B'F，∠BCF=∠B'CF，
∴S△BCF=S△B'CF，
∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE=∠ACB=90°
∴∠ECF=45°且CE⊥AB
∴∠EFC=∠ECF=45°
∴CE=EF=，
∴BF=，
∴S△BCF=，
∴S△BCF=S△B'CF=.
三、解答题（共8小题，第19--25题，每小题10分，第26题8分，共78分）
19.（1）
（2）
20.先化简，再求值：，其中
21.如图，▱ABCD中，E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于F．
求证：DC=DF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=DC，
∴∠F=∠EBA，
∵E是AD边的中点，
∴DE=AE，
在△DEF和△AEB中，
∵，
∴△DEF≌△AEB（AAS），
∴DF=AB，
∴DC=DF．
22.5月5日18时，我国载人空间站研制的长征五号B运载火箭在海南文昌首飞成功，正式拉开我国载人航天工程“第三步”任务的序幕．为了解重庆一中初三学生对我国航天事业的关注程度，随机抽取了男、女各m名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图：（数据分组为A组：x＜18，B组：18≤x＜22，C组：22≤x＜26，D组：26≤x≤30，x表示问卷测试的分数），其中男生得分处于C组的有14人，
男生C组得分情况分别为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25
男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：
（1）直接写出m，n的值，并补全条形统计图；
（2）通过以上数据分析，你认为成绩更好的是男生还是女生？说明理由（一条理由即可）；
（3）已知初三年级总人数为2000人，请估计参加问卷测试，成绩处于C组的人数．
解：（1）m=14÷28%=50（人），
50×（2%+24%）=13（人），
∴男生中位数n==25，
女生C组人数=50-2-13-20=15（人），
条形图如图所示：
（2）男生的成绩比较好，因为男生的中位数比女生的中位数大（也可以根据众数的大小判断）．
（3）2000×=580（人），
答：估计成绩处于C组的人数约为580人．
23.如图，在▱ABCD中，AP、BP分别是∠DAB和∠CBA的角平分线，已知AD=5．
（1）求线段AB的长；
（2）延长AP，交BC的延长线于点Q．
①请在答卷上补全图形；
②若BP=6，求△ABQ的周长．
解：（1）∵在▱ABCD中，AD=5，
∴BC=5，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠DPA，
∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP=∠DAP，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DP=AD=5，
同理可得，CP=BC=5，
∴CD=10，
∴AB=10；
（2）①如图所示：
②∵AD∥BQ，
∴∠Q=∠DAP，
又∵∠DAP=∠BAP，
∴∠Q=∠BAP，
∴AB=QB=10，
又∵BP平分∠ABQ，
∴BP⊥AQ，AP=QP，
∴Rt△ABP中，AP=,
∴AQ=16，
∴△ABQ的周长为：16+10+10=36．
24.如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：△ADC≌△BDF；
（2）线段BF与AE有何数量关系？并说明理由．
（3）若CD=，求AD的长．
证明：（1）∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
∴△ADC≌△BDF（ASA）；
（2）BF=2AE，
理由如下：∵△ADC≌△BDF，
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
（3）∵△ADC≌△BDF，
∴CD=DF=，
又∵∠ADC=90°，
∴CF=CD=2，
∵AE=EC，BE⊥AC，
∴AF=CF=2，
∴AD=AF+DF=2+．
15.由（a-b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：a+b≥2，当且仅当a=b时取到等号．
例如：已知x＞0，求式子x+的最小值．
解：令a=x，b=，则由a+b＞2，得x+≥2=4，当且仅当x=时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当x＞0，式子x+的最小值为____；当x＜0，则当x=_____时，式子4x+取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
解：（1）当x＞0时，x+≥2=2，x+的最小值为2．
（当a＞0，b＞0时，a+b≥2ab，当且仅当a=b时取到等号）
当x＜0时，4x+=-[（-4x）+（-）]≤-2=-2×12=-24，
当且仅当-4x=-时，x=-3时取到等号，
即当x=-3时，式子4x+3/取得最大值．
故答案为：2；-3；
（2）设长为x，宽为y．则xy=32，欲使x+2y最小，
∵x＞0，y＞0，
x+2y≥2=2=2=2×8=16，
当且仅当x=2y时取得等号，
由，
解得，x=8，y=4，
即长为8，宽为4时，所用篱笆最短．
最短篱琶为16米．
26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，DE⊥CD，且DE=CD，CE交边AB于点F，连接BE．
（1）若AC=6，CD=7，求线段AD的长；
（2）如图2，求证：△CBE是直角三角形；
（3）如图3，若CD≠CF，直接写出线段AC，CD，BE之间的数量关系．
【解答】
（1）解；过点C作CM⊥AB于M，如图1所示：
∵∠ACB=90°，AC=BC，AC=6，
∴AB=AC=12，
∵CM⊥AB，
∴AM=BM，CM=AB=AM=BM=6，
∴DM=，
∴AD=AM-DM=6-；
（2）证明：过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，如图2所示：
则∠CMD=∠DNE=90°，
∴∠MCD+∠MDC=90°，
∵DE⊥CD，
∴∠MDC+∠NDE=90°，
∴∠MCD=∠NDE，
又∵CD=DE，
∴△CDM≌△DEN（AAS），
∴CM=DN，DM=EN，
∴DM+MN=CM，
由（1）得：∠ABC=45°，CM=AB=AM=BM，
∴BM=MN+BN=CM=DM+MN，
∴DM=BN=EN，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
∴∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴△CBE是直角三角形；
（3）解：AC2+BE2=2CD2，理由如下：
过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，如图3所示：
由（2）可知：EN=BN=DM，BE2=EN2+BN2=2EN2=2DM2，
∴DM2=BE2，
在Rt△ACM中，CM=AM，AC2=CM2+AM2，
在Rt△CDM中，CM=AM，CD2=CM2+DM2，
∴CD2=AC2+BE2，
∴AC2+BE2=2CD2．
每天阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
8
19
10
3
组别
平均数
中位数
众数
男
20
n
22
女
20
23
20
每天阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
8
19
10
3
组别
平均数
中位数
众数
男
20
n
22
女
20
23
20