2021-2022学年重庆市渝北区五校联盟八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年重庆市渝北区五校联盟八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列式子中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 式子中的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如下图，数轴上点所表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知一个正多边形的内角是，则它是几边形(    )

A.  B.  C.  D.

5. 最接近哪个整数(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知的三个内角分别为、、，三边分别为、、，下列条件不能判定是直角三角形的是(    )

A. ：：：： B.
C.  D. ：：：：

7. 如图，在▱中，，，的平分线交于点，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列命题是真命题的是(    )

A. 面积相等的两个三角形全等
B. 两条直线被第三条直线所截同位角相等
C. 角平分线上的点到两边的距离相等
D. 同旁内角互补

9. 已知，则化简二次根式的正确结果是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，是由一些边长相等的等边三角形按一定规律排列而成，我们可以发现，每一层菱形的个数与层数有规律，如第层有个菱形，第层有个菱形，第层有个菱形，，则第层的菱形个数为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数均为整数，则不符合条件的整数的有(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在中，，，是上一点，连接把沿翻折得到，且于点，连接，则点到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13. 计算： ______ ．
14. 的整数部分是______，小数部分是______．
15. 在中，，，，平分交于点，，且交于点，则的长为______．
16. 重阳佳节来临之际，某糕点店对桂圆味，核桃味、绿豆味重阳糕分别记为、、进行混装，推出了甲、乙两种盒装重阳糕，盒装重阳糕的成本是盒中所有、、的成本与盒装包装成本之和，每盒甲装有个，个，个，每盒乙装有个，个，个，每盒甲中所有、、的成本之和是个成本的倍，每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的倍．每盒乙的利润率为，每盒乙的售价比每盒甲的售价高当该店销售这两种盒装重阳糕的总销售额为元，总利润率为时，销售甲种盒装重阳糕的总利润是______元．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 已知如图，四边形是平行四边形．
    尺规作图：作的角平分线交的延长线于，交于不写作法和证明，但要保留作图痕迹．
    请在的情况下，求证：．

19. 已知：如图，四边形是平行四边形，于，于．
    求证：．

20. 如果的三边分别为，，，且满足，求的面积？
21. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、．
    作出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标．
    求的面积．

22. 为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的倍，如果两队各自修建快线，甲队比乙队少用天．
    求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？
    现计划再修建长度为的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为万元，乙队每天所需费用为万元，求在总费用不超过万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
23. 已知一个四位数，若，则称这个四位数为“共和数”，将这个“共和数”的千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的“共和数”，记，例如，对调千位上的数字与百位上的数字及十位上的数字与个位上的数字得到，所以．
    求，的值；
    若与均为“共和数”，且，求的最小值．
24. 已知与均为等腰直角三角形，且，点在直线上．
    如图，当点在延长线上时，求证：；
    如图，当点不在直线上时，、相交于．
    直接写出的度数；
    求证：平分．
     

25. 已知，在中，，．
    如图，取的中点，连接，在上截取，连接，求的度数；
    如图，分别以，为边向外作等边和等边，连接交于点，求证：；
    如图，垂直平分交于点，点在线段上运动不与点，重合，以为一边，在下方作，交的延长线于点，请直接写出，与之间的数量关系．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；
B、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；
C、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义即可得出答案．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数与数轴上的点的一一对应关系．也考查了勾股定理．
先根据勾股定理计算出，则，然后计算出的长，接着计算出的长，即可得到点所表示的数．
【解答】
解：如图，，，
，
，
，
，
点表示的数为．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：设正边形的边数是，由内角和公式，得
．
解得，
故选：．
多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
 

5.【答案】 

【解析】解：，即，
，
．
最接近整数．
故选：．
估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、：：：：，，故不能判定是直角三角形；
B、，，，故能判定是直角三角形；
C、，，故能判定是直角三角形；
D、，故能判定是直角三角形；
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
．
故选：．
根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般．
 

8.【答案】 

【解析】解：、面积相等的两个三角形不一定全等，故错误，是假命题，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截同位角相等，故错误，是假命题，不符合题意；
C、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，是真命题，符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，不符合题意．
故选：．
利用全等三角形的判断方法、平行线的性质、角平分线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判断方法、平行线的性质、角平分线的性质等知识，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：有意义，
，
，
又，
，，
．
故选A．
由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知必须异号，而，易确定的取值范围，也就易求二次根式的值．
本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察图形发现：
第层有个菱形，
第层有个菱形，
第层有个菱形，
，
第层有个菱形，
第层有个菱形，
故选B．
仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解．
考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形的变化规律，难度不大．
 

11.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
，
方程组，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
与都为整数，
或，
解得：或或舍去或，
则的值为或或，不符合条件的．
故选：．
不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围，再由方程组的解为整数确定出满足题意的值，判断即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
，
在中，
，
，
解得，
，
，
解得：，
在中，
，
，
解得：，
由翻折可得，，
，
，
≌，
，，
设，
则，，
在中，
，
，
解得，
，，
设点到的距离为，
，
，
解得．
所以点到的距离为．
故选：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质及勾股定理，可计算出、的长度，根据等面积法可计算出的长度，再由翻折的性质可得≌，在中，可计算出的长度，即可得出的长，再由在中应用等面积法即可得出答案．
本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
首先化简二次根式，进而合并求出即可．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：，
，
的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，．
根据平方运算估算出的值，即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于，
在中，，，，
，
，
，
，
平分，
，
，即，
解得．
故答案为：．
过点作于，根据勾股定理的逆定理，再根据平行线的性质和角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解．
本题考查的是勾股定理的逆定理，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设的单价为元，的单价为元，的单价为元，每盒甲的盒装包装成本为，则每盒乙的盒装包装成本是，当销售这两种盒装重阳糕的销售利润率为时，该店销售甲的销售量为盒，乙的销售量为盒，
甲每盒装的重阳糕的成本是：，
化简得：，
乙每盒装的重阳糕的成本是：，
，
乙每盒的成本是甲每盒的成本的，
设甲每盒的成本为，则乙每盒的成本为，
乙每盒的售价为：，
每盒乙的售价比每盒甲的售价高，
甲每盒的售价为：，
根据甲乙的利润得：
，
化简得：，
，
，
，
解得：，
销售甲种盒装重阳糕的总利润是：元，
故答案为：．
设的单价为元，的单价为元，的单价为元，每盒甲的盒装包装成本为，则每盒乙的盒装包装成本是，当销售这两种盒装重阳糕的销售利润率为时，该店销售甲的销售量为盒，乙的销售量为盒，甲每盒装的重阳糕的成本是，即，乙每盒装的重阳糕的成本是，得出乙每盒的成本是甲每盒的成本的，设甲每盒的成本为，则乙每盒的成本为，乙每盒的售价为，求出甲每盒的售价为，根据甲乙的利润得，得出，由，解得，即可得出结果．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识；由题意列出方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先进行化简，零指数幂的运算，再进行加减运算即可；
先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：尺规作图如下：


证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
． 

【解析】利用尺规作出的平分线即可．
根据平行四边形的性质和角平分线定义即可解决问题．
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质、角平分线的作法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用等腰三角形的性质解决问题．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，分
分
于，于，
分
≌分
分 

【解析】证线段所在的三角形全等．根据“”可证≌或≌．
此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，属基础题．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，，，
，，，
即，，，
，，，
，
是直角三角形，
． 

【解析】把原式因式分解，得到，，的长度，进而求三角形的面积即可．
本题考查的是因式分解的应用，解题的关键是把原式因式分解求得各边长．
 

21.【答案】解：如图，即为所求，点；


． 

【解析】利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设乙工程队每天修路米，则甲工程队每天修路米，
依题意得：．
解得：，
经检验，是原方程的解．
米．
答：甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米；
设安排乙工程队施工天，
则安排甲工程队施工的天数为，
依题意得：．
解得：．
答：至少安排乙工程队施工天． 

【解析】设乙工程队每天修路米，则甲工程队每天修路米，根据工作时间工作总量工作效率结合两队各自修建公路时甲队比乙队少用天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设安排乙工程队施工天，则安排甲工程队施工天，根据总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：；
；
，
．
为“共和数”，
，
．
．
同理可得：．
，
．
，
．
．
由题意：的整数，的整数，
或或或．
或或或．
的最小值为． 

【解析】利用题干中的公式解得即可；
利用题干中的公式求得，，将上述结果代入，利用四位数数位上的数字的特征可求得，，，的值，代入后可得结论．
本题主要考查了因式分解的应用，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．
 

24.【答案】证明：设与交于点，如图，

与均为等腰直角三角形，
，，．
．
即．
在和中，
，
≌．
．
，，
．
．
．
解：设与交于点，如图，

与均为等腰直角三角形，
，，．
．
即．
在和中，
，
≌．
．
，，
．
．
．
证明：，
，
，
．
，，，四点共圆．
．
与均为等腰直角三角形，
．
．
，
．
即平分． 

【解析】设与交于点，通过证明≌，得到，利用三角形内角和定理和对顶角的性质定理通过计算即可得出结论；
利用中的方法解答即可；
利用可得，，，四点共圆，再利用圆周角定理可得结论．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，圆周角定理，证明≌是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图中，

是的中点，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；

证明：过点作于．

是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，，
，，
，
，
≌，
，
，，
≌，
，
；

解：当点在上时，结论：．
理由：如图中，连接，在上截取，使得，设交于点．

垂直平分线段，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
≌，
，
．
如图中，当点在上时，同法可证，．
 

【解析】证明是等边三角形，求出，，可得结论；
过点作于利用全等三角形的性质证明，，即可解决问题；
当点在上时，结论：连接，在上截取，使得，设交于点证明≌，可得结论．当点在上时，同法可证，．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．