第16讲 解析几何解答题 2022高考新题好题汇编

第16讲 解析几何解答题

一、解答题

1．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线，为其焦点，，三点都在抛物线上，且，设直线的斜率分别为.

（1）求抛物线的方程，并证明；

（2）已知，且三点共线，若且，求直线的方程.

2．（2021·广东汕头市·高三一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．

（1）求动点的轨迹方程；

（2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；

①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．

②求四边形面积的最小值．

3．（2021·山东高三专题练习）设是坐标原点，以、为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和恰好有两个交点.

（1）求的方程；

（2）是外的一点，过的直线、均与相切，且、的斜率之积为，记为的最小值，求的取值范围.

4．（2021·全国高三专题练习）已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.

（1）求的方程

（2）过点作倾斜角互补的两条直线，若直线与曲线交于两点，直线与圆交于两点，当四点构成四边形，且四边形的面积为时，求直线的方程.

5．（2021·山东高三专题练习）已知双曲线C： ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2.

（1）求C的标准方程；

（2）若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： ＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.

6．（2021·广东韶关市·高三一模）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为4.

（1）求抛物线的方程；

（2）设，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，若，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值.

7．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且经过点.设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一个动点（异于椭圆的左、右端点）.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作椭圆的切线，过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值.

8．（2021·广东梅州市·高三一模）给定椭圆：（），称圆心在原点，半径为 圆是椭圆的“卫星圆”.若椭圆的一个焦点为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；

（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点的直线，与椭圆都只有一个交点，且，分别交其“卫星圆”于点，.试探究：的长是否为定值？若为定值，写出证明过程；若不是，说明理由.

9．（2021·江苏常州市·高三一模）已知O为坐标系原点，椭圆的右焦点为点F，右准线为直线n.

（1）过点的直线交椭圆C于两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点O，求该直线的方程；

（2）已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为.直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M.求证：为定值.

10．（2021·江苏盐城市·）设F为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆C交于两点.

（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线的方程；

（2）设直线的斜率分别为，，求证：为定值.

11．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知椭圆方程，直线与轴相交于点，过右焦点的直线与椭圆交于，两点．

（1）若过点的直线与垂直，且与直线交于点，线段中点为，求证：．

（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否垂直，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．

12．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆的方程为，斜率为的直线与相交于两点.

（1）若为的中点，且，求椭圆的方程；

（2）在（1）的条件下，若是椭圆的左顶点，是椭圆的左焦点，要使在以为直径的圆内，求的取值范围.

13．（2021·辽宁高三一模（理））过点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，分别过点作抛物线的切线，设两切线交于点.

（1）求证：点在一定直线上；

（2）设直线分别交直线于点.

（i）求证：；

（ii）设的面积为，的面积为，记，求的最小值.

14．（2021·全国高三专题练习（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过的直线l与C交于A，B两点，若，求．

15．（2021·全国高三专题练习）已知双曲线上一动点P，左、右焦点分别为，且，定直线，点M在直线上，且满足．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线的斜率，且过双曲线右焦点与双曲线右支交于两点，求的外接圆方程．

16．（2021·湖南衡阳市·高三一模）已知圆：与圆：的公共点的轨迹为曲线.

（1）求的方程；

（2）设点为圆：上任意点，且圆在点处的切线与交于，两点.试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

17．（2021·湖南岳阳市·高三一模）已知双曲线的离心率为，点在上．

（1）求双曲线的方程；

（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．

18．（2020·浙江高三专题练习）在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与的斜率依次为、，若，求证：直线MN恒过定点.