第3讲 函数与导数小题 2022高考新题好题汇编

第3讲 函数与导数小题

一、多选题

1．（2021·全国高三专题练习）已知函数，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】

先分析得到在上单调递增，得到，由于二次函数不是单调函数， 不一定成立，所以选项A错误；，所以选项B正确；由于函数，不是单调函数，所以不一定成立.所以选项C错误；因为函数，函数在上单调递增，所以选项D正确.

【详解】

因为，所以在上单调递增，

由可得，所以，所以选项B正确；

又因为函数，函数在上单调递增，所以，所以选项D正确；

由于二次函数不是单调函数，所以当时，不一定成立，所以选项A错误；

由于函数，不是单调函数，所以当时，不一定成立.所以选项C错误.

故选：BD

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是想到利用导数分析得到函数的单调性，研究函数的问题，一般先要通过探究函数的奇偶性、单调性和周期性等，再求解函数问题.

2．（2021·山东高三专题练习）函数，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．若有两个不相等的实根，则 D．若均为正数，则

【答案】BD

【分析】

求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．

由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断D．

【详解】

由得：

令得，

当x变化时，变化如下表：

故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，，且时，时，，，

A．

，故A错

B．，且在单调递增

，故：B正确

C．有两个不相等的零点

不妨设

要证：，即要证：在单调递增，∴只需证：即：只需证：……①

令，则

当时，在单调递增

，即：这与①矛盾，故C错

D．设，且均为正数，则

且

，故D正确．

故选：BD．

【点睛】

关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．

3．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】

确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项．

【详解】

易知是上的增函数，

时，成立，成立，BD一定成立；

与的大小关系不确定，A不一定成立；

同样与的大小关系也不确定，如时，，C也不一定成立．

故选：BD．

4．（2021·广东湛江市·高三一模）已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（    ）

A．f(x)的极大值为0 B．曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴

C．f(x)的最小值为0 D．f(x)在定义域内单调

【答案】BC

【分析】

直接对f(x)=x3-3lnx-1，求出导函数，利用列表法可以验证A、C、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可.

【详解】

f(x)=x3-3lnx-1的定义域为，

令，得，

列表得：

所以f(x)的极小值，也是最小值为f(1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故C正确，A、D错误；

对于B:由f(1)=0及，所以y=f(x)在（1，f(1))处的切线方程，即.故B正确.

故选：BC

【点睛】

导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围.

5．（2021·河北邯郸市·高三一模）已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】BC

【分析】

利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.

【详解】

因为的两根为，

所以，

从而．

令，

则，．

因为，

所以，

所以在上恒成立，

从而在上单调递增．

又，

所以，

即的取值范围是，

故选：BC．

【点睛】

关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数 ，利用导数求取值范围是解决本题的关键.

6．（2021·全国高三专题练习）已知函数，其导函数为，设，则（    ）

A．的图象关于原点对称 B．在R上单调递增

C．是的一个周期 D．在上的最小值为

【答案】AC

【分析】

对A：求出的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；

对B：利用的导数可判断；

对C：计算，看是否等于即可；

对D：设，根据对勾函数的单调性可得最值.

【详解】

的定义域是，其定义域关于坐标原点对称，

且，

所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A项正确；

由，得，则．

恒成立，所以在上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误；

由，得函数的定义域是，故C项正确；

设，当时，，

此时，，根据对勾函数的单调性，在上单调递减，

，故D项错误.

故选：AC．

7．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．是偶函数 B．最小值为2

C．在区间上单调递减 D．的零点个数为5

【答案】ABD

【分析】

去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断.

【详解】

∵，，∴是偶函数，A正确；

因为，由函数的奇偶性与周期性，只须研究在上图像变化情况.，

当，，则在上单调递增，在上单调递减，此时；

当时，，则在上单调递增，在上单调递减，此时，故当时，，B正确.

因在上单调递减，又是偶函数，故在上单调递增，故C错误.

对于D，转化为根的个数问题.因在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.当时，，，无实根.时，，无实根，，显然为方程之根.，，，单独就这段图象，，在上变化趋势为先快扣慢，故在内有1个零点，由图像知在内有3个零点，又，结合图象，知D正确.

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手：

（1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；

（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.

8．（2021·江苏高三专题练习）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】

构造函数由已知可得在R上单调递增，利用单调性对各个选项进行分析判断即可.

【详解】

根据题意设其导数为

由知在R上单调递增，

对于A, 由函数单调性得即，即，即，又由，则,必有，故A正确，B错误；

对于C, ，则，则有，即，即，故C正确，D错误；

故选：AC

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，常用解题方法构造新函数，考查学生推理能力和计算能力，属于中档题.

9．（2021·全国高三专题练习）设函数，则（    ）

A．在单调递增 B．的值域为

C．的一个周期为 D．的图像关于点对称

【答案】BC

【分析】

根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解.

【详解】

令，则，显然函数为增函数，

当时，为减函数，

根据复合函数单调性可知，在单调递减，

因为，

所以增函数在时，，

即的值域为；

因为，

所以的一个周期为，

因为，令，

设为上任意一点，

则为关于对称的点，

而，

知点不在函数图象上，

故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称.

故选：BC

【点睛】

本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.

二、单选题

10．（2021·广东广州市·高三一模）已知是自然对数的底数，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果.

【详解】

设，，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

，时，，即，

设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立，

即，

令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即，

得：，那么，

即，即，

综上可知.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据，放缩，从而构造函数，比较大小.

11．（2021·全国高三专题练习）已知函数，若，，，则，，的大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

先求出函数的定义域，判断函数为偶函数，再对函数求导判断出函数在上单调递增，然后作差比较的大小，可得，从而可比较出，，的大小

【详解】

由题可知：的定义域为，且

，

则为偶函数，，当时，，在上单调递增.又由

所以，，故.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：此题考查利用函数的单调性比较大小，考查导数的应用，考查对数运算性质的应用，考查了基本不等式的应用，解题的关键是判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，然后利用单调性比较大小，属于中档题

12．（2021·全国高三专题练习）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先利用定义确定函数为偶函数，再利用单调性证明在上为增函数，所以不等式化简为，转化为在上恒成立，求出的取值范围.

【详解】

函数的定义域为，且，所以为偶函数.

又当时, 是增函数，

任取，且，

，，

所以在上是增函数，即在上是增函数.

所以不等式对任意恒成立，转化为，即，从而转化为和在上恒成立

①若在上恒成立，则，解得；

②若在上恒成立，，则，解得；

综上所述，实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：

（1）把不等式转化为的模型；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.

13．（2021·江苏常州市·高三一模）若则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

按或0，，和四种情况，分别化简解出不等式，可得x的取值范围．

【详解】

①当或0时，成立；

②当时，，可有，解得；

③当且时，

若，则，解得

若，则，解得

所以

则原不等式的解为，

故选：B

14．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）若，“”是“函数在上有极值”的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性与极值，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解.

【详解】

由题意，函数，则，

令，可得，

当时，；当时，，

所以函数在处取得极小值，

若函数在上有极值，则，解得．

因此“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件．

故选：A．

15．（2021·全国高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

利用函数奇偶性的定义判断各选项中函数的奇偶性，利用导数法判断各选项中函数在区间上的单调性，由此可得出合适的选项.

【详解】

对于A选项，由，解得，

所以，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，A选项不满足条件；

对于B选项，由，可得，即函数的定义域为.

，该函数为奇函数，

当时，，

所以，函数在上单调递减，B选项满足条件；

对于C选项，由，解得，所以，函数的定义域为，

，该函数为奇函数，

当时，，该函数在上为增函数，C选项不满足条件；

对于D选项，函数的定义域为，

，该函数为奇函数，

当时，，该函数在上为增函数，D选项不满足条件.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：

（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；

（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；

（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；

（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.

16．（2021·湖南岳阳市·高三一模）对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“先享点”已知函数且函数存在5个“先享点”，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先根据题中所给的条件，判断出“先享点”的特征，之后根据存在5个“先享点”，等价于函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点，构造函数利用导数求得结果.

【详解】

依题意，存在5个“先享点”，原点是一个，其余还有两对，

即函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点，

而函数关于原点对称的函数为，

即有两个正根，

，

令，

，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，且，

并且当和时，，

所以实数a的取值范围为，

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关新定义问题，结合题意，分析问题，利用等价结果，利用导数研究函数的性质，属于较难题目.

17．（2020·山东高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若的零点为，极值点为，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】

令可求得其零点，即的值，再利用导数可求得其极值点，即的值，从而可得答案．

【详解】

解：，

当时，，即，解得；

当时，恒成立，

的零点为．

又当时，为增函数，故在，上无极值点；

当时，，，

当时，，当时，，

时，取到极小值，即的极值点，

．

故选：C．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．

三、填空题

18．（2021·广东韶关市·高三一模）若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

解：由y=ax2(a>0),得y′=2ax，

由y=ex,得y′=ex，

曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线，

设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点，

则，

可得2x2=x1+2，∴ ，

记，则 ，

当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)递减；

当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增．

∴当x=2时,.

∴a的范围是 .

19．（2021·全国高二课时练习（理））设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____．

【答案】

【详解】

设.

对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)．

考点：导数的几何意义．

20．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且曲线在点处的切线斜率为4，则______．

【答案】

【分析】

利用奇函数性质，求在时的解析式，根据导数的几何意义有，即可求参数a的值.

【详解】

当时，则，

∴，此时．

所以，当时，，则，解得．

故答案为：．

21．（2021·河北邯郸市·高三一模）已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为___________．

【答案】3

【分析】

根据极限形式和求导公式得，进而得，计算得解.

【详解】

由，可得．

因为，所以，即，则，

所以，．

故答案为：3.

22．（2021·湖南衡阳市·高三一模）定义在上的函数满足，的导函数，则___________.

【答案】

【分析】

对两边同时求导得,进而得答案.

【详解】

因为，

两边同时求导可得：，

故.

故答案为：

【点睛】

本题考查复合函数导数问题，解题的关键在于根据已知对函数求导，考查运算求解能力，是中档题.