数列求和方法练习题

数列求和

副标题

1. 已知数列中，，前项和为，且点在直线上，则   

A.  B.  C.  D.

2. 已知数列的前项和为且，记，若对恒成立，则          ；的最小值为          ．
3. 已知数列满足：，
   求数列的通项；
   若，求数列的前项和；
   设，，求证：．
   
   
   
   
   
   
    
4. 已知是正数组成的数列，，且点在函数的图象上．数列满足，
   Ⅰ求数列，的通项公式；
   Ⅱ若，求数列的前项和．
   
   
   
   
   
   
    
5. 已知数列的前项和为若且．

求数列的通项公式；

设，求数列的前项的和．






 

6. 已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列

求数列的通项公式；

设，求数列的前项和．






 

7. 数列中，且满足．

求数列的通项公式；

设，求；

设，，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立若成立？求出的值；若不存在，请说明理由．






 

8. 对于正项数列，定义为数列的“匀称”值．

若当数列的“匀称”值，求数列的通项公式

若当数列的“匀称”值，设，求数列的前项和及的最小值．






 

9. 已知数列，满足：．
   证明：是等差数列，并求数列的通项公式；
   设，求实数为何值时恒成立．
   
   
   
   
   
   
    
10. 数列满足，若对，都有成立，则最小的整数是

A.  B.  C.  D.

11. 已知数列中，，且，，则以下结论正确的是  

A.
B. 是单调递增数列
C.
D. 若，则表示不超过的最大整数

12. 在，，是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
    问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为，为等比数列，其前项和，为常数，，___．
    求数列，的通项公式；
    令，其中表示不超过的最大整数，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
13. 已知数列的前项和为，且，，数列满足，．

Ⅰ求数列，的通项公式；

Ⅱ若数列满足，且对任意恒成立，求实数的取值范围．






 

14. 已知数列，的前项和分别是，，，且

求数列，的通项公式；

若，且，求证：

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的通项及前项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累．
通过将点代入直线，进而可知数列是首项、公差均为的等差数列，从而裂项可知，进而并项相加即得结论．

【解答】

解：因为点在直线上，
所以，
又因为，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，
所以，
，
所以
．
故选A．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推关系及裂项相消法求和，属于较难题．
由已知得，从而得，，即可表示出，根据对恒成立，分离参数，得，即可求解．

【解答】

解： 
， 
 即，
数列为首项为 ，公差为 的等差数列，
即 
则， ，
所以 ，
由，得 ，
因为 或 时，有最大值，
 ，即的最小值为，
故答案为； ．

3.【答案】解：因为，
所以当时，
；
又，
故．
由及题设知：，
所以，
所以，
所以．
证明：由及题设知：，
所以，
所以
即，所以．
又是递增数列，
所以的最小值为；即可证得；
 

【解析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和以及数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
利用已知条件通过累加法求解数列的通项公式．
利用错位相减法求解数列的和．
求出数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，即可证明不等式．
 

4.【答案】解：Ⅰ因为点在函数的图象上
所以
根据等差数列的定义：是首项为，公差为的等差数列
所以
则，，，，
，当时也满足，
故
，
当为偶数时，
设，则
得
当为奇数时，
 

【解析】Ⅰ由题设条件知，根据等差数列的定义：是首项为，公差为的等差数列，从而，根据，可得累加可求和，从而得的通项公式；
 根据，可得，再分为偶数，奇数分别求和即可．
本题以函数为载体，考查数列的概念和性质及其应用，考查分组求和，解题时要注意公式的灵活运用，属于拔高题．
 

5.【答案】解：且，
时，，
，
，
，
 ，
又当时，，
，
所以是首项为，公差为的等差数列．
；
，
当为偶数时
当为奇数时，
，
综上：
 

【解析】本题主要考查了数列的递推关系，数列的通项公式和数列的求和，属于较难题．
由与的关系，以及，可得是首项为，公差为的等差数列，求出即可；
当为偶数时，利用分组求和即可，当为奇数时，，计算可得．
 

6.【答案】解：函数，
即，
令得，，，
依题意，；
是周期的数列，
，，，，
，，，，
从而，，，
所以是周期为的数列，
 

【解析】本题考查三角函数的恒等变换公式的运用，考查数列的周期性的判断和求和，考查运算能力．
由二倍角公式化简，求得方程的解，可得所求通项公式；
求得的周期，计算一个周期的项，分类讨论，结合周期性即可得到所求和．
 

7.【答案】解：由题意，，
为等差数列，设公差为，
由题意得，
．
若，则，
当时，
，
时，
，
故．
，
若对任意成立，即对任意成立，
的最小值是，
，的最大整数值是．
即存在最大整数，使对任意，均有．
 

【解析】本题主要考查等差数列的通项公式，考查数列的求和及恒成立问题，有一定的综合性．
由条件，可得，从而为等差数列，利用，可求公差，从而可求数列的通项公式；
利用，则，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；
先裂项求和，再根据对任意成立，得对任意成立，利用的最小值是，可知，从而存在最大整数．
 

8.【答案】解：当时，，
即，
令，
当时，
当时，，即，
检验：时，成立，
综上所述：；
当时，，
即，
令，
当时，，
当时，，即，
检验：时，成立，所以，
则
，
当为奇数时，
当为偶数时，，
故，
令，则，
因为，
所以为递增数列，即为递增数列，
当时，．
 

【解析】本题考查数列的新定义、数列的通项公式、裂项求和和数列的单调性，属于较难题．
由新定义得，令，利用和的关系即可求解
先求出，得，然后对进行分类讨论，令，利用数列的单调性即可求解．
 

9.【答案】解：证明：，
，．
由，，可得，，
数列是以为首项，为公差的等差数列．
，
．
，
，
．
由条件可知恒成立即可满足条件，
设，
当时，恒成立，
当时，由二次函数的性质知不可能恒成立．
当时，对称轴，
在为单调递减函数．
，，
即有时，恒成立．
综上知：时，恒成立．
 

【解析】本题考查等差数列的定义和通项公式以及数列的裂项相消求和、不等式恒成立问题的解法，考查二次函数的单调性的运用，以及化简运算能力、推理能力，属于拔高题．
由已知条件推得结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
求得，，运用数列的裂项相消求和可得，，设，讨论，，，结合二次函数的图象和性质，可得恒成立情况．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列与不等式的综合应用，涉及裂项求和，属于中档题．
对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是如何对求和，根据题目的条件经过变形得到，可利用裂项相消求和，从而求得的取值范围．

【解答】

解：由，得，
所以，即，
所以，且，
，
，
，
对都有成立，
所以，故最小整数是．
故选．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查数列的递推关系，数列的单调性问题，以及运用裂项相消法求数列的前项和问题，对于由取倒数即可得结论，对于根据单调递增数列的定义，由得，结合即可得结论，对于由得，易得结论，对于由，结合的定义即可得结论．

【解答】

解：：，所以A正确．

：，而，
则，即，是单调递增数列，所以B正确．

：由可知，，则，

累加得：，
又是单调递增数列，，，所以C错误．

，

又，

由，且得，，
又是单调递增数列，则时，，则，
由知，
所以，得．
所以D正确．
故选ABD．

12.【答案】解：选，
设的公差为，不为零，的公比为，
由已知可得，，
所以，
则，
故，
则，解得，
所以；
由，
则，
，
，
所以．
选．
设的公差为，不为零，的公比为，
由已知可得，，
所以，
则，
故，
由，可得，
解得，
所以；
由，
则，，
，
所以．
选是与的等比中项，
设的公差为，不为零，的公比为，
由已知可得，，
所以，
则，
故，
由是与的等比中项，可得，
即，
解得，则；
由，
则，，
，
所以．
 

【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，等差数列的求和公式，等比数列的性质，考查方程思想和运算能力，属于拔高题．
选择条件，设的公差为，不为零，的公比为，结合等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；
由，的通项公式和的定义，发现的特点，计算可得所求和．
 

13.【答案】解：Ⅰ 时，，

时， ，两式相减，得，即，

又符合上式，
所以，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，

所以，
所以当时，

，
易知满足上式，
所以

Ⅱ，

所以，

则，即，
即对任意恒成立，

因为在上单调递增，
所以，
所以．

【解析】本题考查了数列的函数特征、数列的递推关系，考查了裂项相消法 
Ⅰ根据时， 两式相减得出的递推公式，进而求得，由累加法可得的通项公式
Ⅱ由，由裂项相消法得，分离出参数，结合函数的单调性可求得实数的取值范围．
 

14.【答案】解：，则，

两式相减得：，

，由，得，，可得，

依此类推，，，

又，，

，
，

综上，，

，，

两式相减得，，

又，，

是等比数列，首项为，公比为，；

由得，
由，

得，

，

由
，
得
，

，

综上，．

【解析】本题考查了数列的通项公式、数列的递推关系和裂项相消法，是拔高题．
先得出，相减可得，分奇数和偶数可得；同理可得；
由，由裂项相消求和得，由，由裂项相消得，从而得证．