青海省西宁市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（含答案与解析）

西宁市2021-2022学年高二上学期期中考试

数 学（文理合卷）

考试时间:120分钟 分值:150分

一、选择题((本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.  过点且与直线平行的直线方程为( )

A.  B.  C.  D.  

2.  已知平面平面，若两条直线分别在平面内，则的关系不可能是(　　)

A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 

3.  如下图,直线的方程是( )                                            

A.  B.   C.  D.  

第三题（3）            第三题（4）       第三题（13）

4.  一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为（ ）

A.  B.  C.  D.  

5.  圆上的点到原点的距离的最小值是(　　)

A.  B.  C.  D.  

6.  设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )

A. 若,,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,,则

7.  等腰中，，为的中点，沿把它折成二面角，折后与的距离为，则二面角的大小为(　　)

A.  B.  C.  D.  

8.  两直线与互相平行的条件是（ ）

A.  B.  C.  D. 或 

9.  已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为(　　)

A.  B.  C.  D.  

10.  已知圆与圆,则两圆的公共弦长为( )

A.  B.  C.  D.  

11.  已知是面积为的等边三角形,且其顶点都在球的球面上,若球的表面积为,则到平面的距离为( )

A.  B.  C.  D.  

12.  设P(x，y)是曲线上任意一点，则的取值范围是(　　)

A. [，] B. (－∞，]∪[，＋∞)
C.  D. (－∞，]∪[，＋∞)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13.  如图所示的直观图，其对应平面图形的面积为__________.

14.  把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是，母线长是，则圆锥的母线长为__________.

15.  已知在直线上，点，，则的最小值为__________.

16.  在过点A(2，1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为__________．

（第II卷）

三、解答题:(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.  已知、、． (1)求线段的中点坐标； (2)求的边上的中线所在的直线方程．

18.  如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上． (1)求直线的斜率及点的坐标； (2)为直角三角形外接圆的圆心，求圆的方程．               

19.  如图,在四棱锥中,底面是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,与的交点为,为侧棱上一点(不含端点）. (Ⅰ)当为侧棱的中点时,求证:平面; (Ⅱ)求证:平面平面；                                                                       

20.  如图,已知四棱锥,侧面为边长等于的正三角形,底面为菱形,. (1)证明:. (2)若平面底面,为线段上的点,且,求三棱锥的体积.                

21.  如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面．                                                  

22.  如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦． (1)当时，求； (2)当弦被点平分时，求直线的方程；                                                                   

西宁市2021-2022学年高二上学期期中考试

数学答案和解析

一、选择题

二、填空题

13：                  6                       ；14：                                         ；

15：                           ；    16：        2x＋y－5＝0               ；

 第1题：

【答案】A

【解析】与直线平行的直线方程设为，因为过点，所以，所以，因此直线方程为.故选A.
 

 第2题：

【答案】B

【解析】平面平面，若两条直线分别在平面内，则两直线平行或异面，但不可能相交，故选：B.
 

 第3题：

【答案】D

【解析】由图可得直线的倾斜角为,所以斜率,所以直线与轴的交点为,所以直线的点斜式方程可得:,即.故选:D
 

 第4题：

【答案】B

【解析】由三视图可得，该几何体是四棱锥，侧棱与底面垂直，底面积，体积，解得，故答案为B．
 

 第5题：

【答案】B

【解析】因为圆的圆心坐标为，半径为，圆心与原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为．故选B.
 

 第6题：

【答案】D

【解析】由是两条不同的直线,是两个不同的平面,知: 在A中:若,,则与相交,平行或异面,故A错误; 在B中:若,,则与平行或异面,故B错误; 在C中:若,,则与相交或平行,故C错误; 在D中,若,,,则由面面垂直的判定定理得.
 

 第7题：

【答案】C

【解析】如图，由，知． ∵为的中点， ∴，且，， ∴为二面角的平面角． ∵，，∴. 故选C．
 

 第8题：

【答案】D

【解析】根据两直线平行可得，，又两直线不可重合，所以时，，时，.
 

 第9题：

【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则圆锥底面周长等于展开图半圆的弧长，故，圆锥表面积， 所以圆锥底面半径.
 

 第10题：

【答案】C

【解析】将两圆的方程相减可得两圆的公共弦所在的直线方程为, 直线经过圆的圆心, 所以两圆的公共弦长等于圆的直径,为.
 

 第11题：

【答案】C

【解析】设的外接圆圆心为,记,圆的半径为,球半径为,等边三角形的边长为,则,可得,于是,由题知球的表面积为,则,由易得,即到平面的距离为.
 

 第12题：

【答案】C

【解析】因为的几何意义表示的是圆上点到原点的斜率的范围， 那么可以作图，过原点做圆的切线，那么可知其斜率的范围是，故选C.
 

 第13题：

【答案】

【解析】根据直观图可知：其平面图形是的直角三角形，并且所以其平面图形的面积为
 

 第14题：

【答案】

【解析】作出圆锥的轴截面如图,设； 利用平行线截线段成比例， 则,即， 解得. 即圆锥的母线长为. 故答案为：.
 

 第15题：

【答案】

【解析】设点关于直线的对称点，得解得则.
 

 第16题：

【答案】2x＋y－5＝0

【解析】当直线与OA垂直时，原点到直线l的距离最大，∵，∴．∴直线的方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0．
 

 第17题：

【答案】(1)(2)

【解析】(1)设的中点为，由中点坐标公式得：，即. (2)因为，，所以，由点斜式方程可得:
 

 第18题：

【答案】（1），； （2）.

【解析】(1)∵，，∴， ∴直线的方程为， 令，得，∴. (2)由(1)知，为直角三角形， ∴圆心是的中点，∴圆心． 又∵，∴外接圆的方程为.
 

 第19题：

【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析； (Ⅲ)点是的中点.

【解析】(Ⅰ)连接，由条件可得. 因为平面，平面， 所以平面. (Ⅱ)证明:由 (Ⅰ)知面，.建立如图所示的空间直角坐标系.设四棱锥的底面边长为， 则，，，，，. 所以，. 设，由已知可求得. 所以，. 设平面法向量为， 则，即， 令，得. 易知是平面的法向量. 因为， 所以，所以平面平面. (Ⅲ)解:设，由(Ⅱ)可知，平面法向量为. 因为面，所以是平面的一个法向量. 由已知二面角的大小为. 所以， 所以，解得. 所以点是的中点.
 

 第20题：

【答案】见解析

【解析】(1)取中点连接,,∵,∴,∵为菱形,,∴,∴面,又,所以面,所以. (2)由题知,因为平面底面,则,,两两垂直,则,则.
 

 第21题：

【答案】证明见解析.

【解析】（1）连结，∵中，分别是的中点，∴，∵正方体中，，，∴四边形是平行四边形，可得，因此，∵平面，平面，∴平面，同理，平面，∵为平面内的相交直线，∴平面平面； （2）∵，为正方形，得，∴， 又∵正方体中，面，面，∴， ∵是平面内的相交直线， ∴平面， 又∵平面，∴平面平面.
 

 第22题：

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】(1)∵，∴，∴，圆心到直线距离为，则； （2）设圆心,∵,∴,则，即； （3）当时，，则； 当时，不存在，则； 当且时，，， 根据题意，可知， 即， 综上：点的坐标所满足的关系式为.