初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线学案设计

这是一份初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线学案设计，共24页。学案主要包含了相交线，对顶角的定义，对顶角相等，邻补角定义，找邻补角，邻补角互补的运用等内容，欢迎下载使用。
知识点一、相交线
1．在同一平面内,两条直线可能的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行、相交或重合
2．在一个平面内，任意三条直线相交，交点的个数最多有 ( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（ ）
A．B．C．D．
知识点二、对顶角的定义
4．如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列说法中，正确的是
A．相等的角是对顶角B．有公共点并且相等的角是对顶角
C．如果和是对顶角，那么D．两条直线相交所成的角是对顶角
知识点三、对顶角相等
7．如图，直线AB与CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠AOC=42°，则∠AOE＝（ ）
A．126°B．96°C．102°D．138°
8．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD与∠BOC的和为210°，那么∠AOC的度数是（ ）
A．105°B．75°C．90°D．100°
9．如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（ ）
∠1＝72°B．∠2＝120°C．∠3＝144°D．∠4＝36°
知识点四、邻补角定义
10．下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
11．将一把直尺和一块三角板如图叠放，直尺的一边刚好经过直角三角板的直角顶点且与斜边相交，则与一定满足的数量关系是（ ）
A．B．C．D．
12．下列语句正确的是（ ）
A．近似数0．010精确到百分位
B．｜x-y｜=｜y-x｜
C．如果两个角互补，那么一个是锐角，一个是钝角
D．若线段AP=BP，则P一定是AB中点
知识点五、找邻补角
13．下列各图中，∠1和∠2可能是邻补角的只有（ ）
A．B．C．D．
14．把一张长方形纸片沿翻折后，点，分别落在、的位置上，交于点， 则图中与互补的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．如图，已知∠1+∠3=180°，则图中有标出来的角中与∠1互补的角有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
知识点六、邻补角互补的运用
16．如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型．转动木条，当∠1增大2°时，下列说法正确的是（ ）
A．∠2增大2°B．∠3减小2°C．∠4减小2°D．∠4减小1°
17．已知各角的度数如图所示，则下列各题中的和分别是（ ）．
A．B．C．D．
18．如图，直线与相交于点O，，，射线平分，则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
19．如图，，，点，，在同一直线上，则的度数为（ ）
A．B．
C．D．
填空题
知识点一、相交线
20．平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，最多对顶角数为c，则的值是 ________ ．
21．已知条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为个，最少为个，则______．
22．如果4条直线两两相交，最多有_________个交点，最少有_________个交点.
知识点二、对顶角的定义
23．仔细填空：
(1)两条直线相交于一点，有____对对顶角；
(2)三条直线相交于一点，有____对对顶角；
(3)四条直线相交于一点，有____对对顶角；
(4)n条直线相交于一点，有________对对顶角．
24．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE的对顶角是____．
25．如图，AB，CD相交于点O，OE⊥CD，∠1与∠2叫做_________，∠2与∠3叫做_______．∠2与∠4叫做___________，∠1与∠3叫做__________．
知识点三、对顶角相等
26．如图，直线AB和直线CD相交于点O，且∠AOC＝2∠BOC，则∠AOD的度数为____________．
27．如图，直线和直线相交于点，，平分，那么_______度．
28．如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为______．
知识点四、邻补角定义
29．如图所示，直线和相交于点是一条射线．
（1）写出的邻补角：__________________；
（2）写出的邻补角：__________________；
（3）写出的邻补角：__________________；
（4）写出的对顶角：___________________．
30．如图所示，AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是__________，∠1的对顶角是__________.
31．如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝80°，∠2＝2∠3，则∠4＝_____．
知识点五、找邻补角
32．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOC的邻补角是___________．若∠AOC＝50°，则∠BOD＝________，∠COB＝________．
33．如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2；④∠1＝∠3；⑤∠1+∠4＝180°，其中正确的是_____．
34．在括号内填写依据：
如图，因为直线a，b相交于点O，
所以∠1＋∠3＝180°(________)，
∠1＝∠2(____________)．
知识点六、邻补角互补的运用
35．如图所示，O为直线BC上一点，∠AOC=35°，则∠1＝____________．
36．如图，直线a、b相交，∠1＝36°，则∠2﹣∠3＝_______．
37．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD=120°，则∠BOD=__________°．
三、解答题
38．如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝28°，求∠AOE的度数．
39．如图，直线AB、CD交于点O，∠AOM=90°
（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数
40．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．
（1）过点P画AB的垂线段PE．
（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．
（3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？
参考答案
1．D
【解析】分析:根据同一平面内,两条直线的位置关系解答即可.
详解: 在同一平面内,当两条直线有且只有一个公共点时,那么这两条直线相交; 在同一平面内,当两条直线有两个公共点时,那么这两条直线重合; 在同一平面内,当两条直线没有公共点时,那么这两条直线平行.
故选D.
点拨:本题考查了同一平面内两条直线的位置关系,解答时不要漏掉重合这种情况.
2．C
【解析】
三条直线相交时，位置关系如图所示：

判断可知：最多有3个交点，
故选C．
3．A
【分析】根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可．
解：解：A．符合条件，
B．不符合点P不在直线c上；
C．不符合点P在直线a上；
D．不符合直线a、b、c两两相交；
故选：A．
【点拨】本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键．
4．B
【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
解：解：A．∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角；
B．∠1与∠2有公共顶点，并且两边互为反向延长线，是对顶角；
C．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
D．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的定义是解题的关键．
5．A
【分析】根据对顶角的意义结合具体图形进行判断即可．
解：根据对顶角的意义，一个角的两条边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角，
只有图③中的∠1和∠2是对顶角，
故选：A．
【点拨】本题考查对顶角，理解对顶角的意义是正确判断的前提．
6．C
【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．由此逐一判断．
解：A、对顶角是有公共顶点，且两边互为反向延长线，相等只是其性质，错误；
B、对顶角应该是有公共顶点，且两边互为反向延长线，错误；
C、角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，符合对顶角的定义，正确．
D、两条直线相交所成的角有对顶角、邻补角，错误；
故选C．
【点拨】要根据对顶角的定义来判断，这是需要熟记的内容．
7．B
【分析】由题意直接利用对顶角的性质以及角平分线性质和邻补角的性质进行分析计算可得答案．
解：解：∵∠AOC=42°，
∴∠BOD=42°，
∵OD平分∠BOE，
∴∠BOE=84°，
∴∠AOE=180°-84°=96°，
故选：B．
【点拨】本题主要考查邻补角和对顶角以及角平分线性质，解题的关键是掌握邻补角互补，对顶角相等．
8．B
【分析】由对顶角相等先求得∠AOD的度数，然后根据邻补角的性质求得∠AOC即可．
解：解：由对顶角相等可知：∠AOD=∠BOC，
∴∠AOD=×210°=105°．
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOC=180°-105°=75°．
故选：B．
【点拨】本题主要考查的是对顶角和邻补角的性质，掌握对顶角和邻补角的性质是解题的关键．
9．A
【分析】先根据邻补角的定义可得，从而可求出的度数，再根据对顶角相等分别求出的度数，由此即可得出答案．
解：解：，
，
解得，
，
由对顶角相等得：，，
观察四个选项可知，只有选项A正确，
故选：A．
【点拨】本题考查了邻补角、对顶角相等，熟练掌握邻补角的定义是解题关键．
10．D
【分析】依据邻补角的定义进行判断即可．
解：解：．两个角不存在公共边，故不是邻补角，故不符合题意；
、两个角不存在公共边，故不是邻补角，故不符合题意；
、两个角不存在公共边，故不是邻补角，故不符合题意；
、两个角是邻补角，故符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查的是邻补角的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
11．D
【分析】根据直角和邻补角的定义列出关系式，从而利用等式的性质计算求解．
解：解：由题意可得：∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°
∴∠3=90°-∠1，∠3=180°-∠2
∴90°-∠1=180°-∠2
∴
故选：D．
【点拨】本题考查直角和邻补角的概念及等式的性质，掌握相关性质正确列关系式求解是关键．
12．B
【分析】A中,近似数精确位数是看小数点后最后一位;B中,相反数的绝对值相等;C中,互补性质的考查;D中,点P若不在直线AB上则不成立
解：A中,小数点最后一位是千分位,故精确到千分位,错误;
B中,x－y与y－x互为相反数,相反数的绝对值相等,正确；
C中，若两个角都是直角，也互补，错误；
D中，若点P不在AB这条直线上，则不成立，错误
故选：B
【点拨】概念的考查，此类题型，若能够举出反例来，则这个选项是错误的
13．B
【解析】
【分析】根据邻补角的定义作出判断即可．
解：根据邻补角的定义可知：只有B图中的是邻补角，其它都不是．
故选B．
【点拨】本题考查了邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
14．C
【分析】根据对折的性质可知，∠FEG=∠FEC，找出与∠FEC互补的角即可．
解：∵将长方形纸片沿翻折得到如上图形
∴∠FEG=∠FEC，∠EFD=∠EF
由图形知，∠FEC与∠FCB互补
∵AD∥BC，∴∠FEC与∠EFD互补
∴∠EF与∠EFD也互补
故选：C
【点拨】本题考查对折的性质和互补的性质，解题关键是将∠FEG转化为∠FEC．
15．A
【分析】图中与∠1互补的角有：①与∠1互为邻补角的角；②∠3及∠3的对顶角．
解：解：①与∠1互为邻补角的角有∠5与∠7；
②∠3及∠3的对顶角有∠3与∠4．
所以图中有标出来的角中与∠1互补的角有4个．
故选A．
【点拨】本题考查互为邻补角的两个角的和为180°；对顶角相等，找与∠1互补的角即是要找∠1的邻补角和∠3与∠3相等的角．
16．C
【分析】根据对顶角的性质，邻补角的定义可得答案．
解：解：∵∠1与∠3是对顶角，
∴∠1＝∠3，
∴当∠1增大2°时，∠3增大2°；
∵∠1与∠2是邻补角，∠1与∠4是邻补角，
∴∠1+∠2＝180°，∠1+∠4＝180°，
∴当∠1增大2°时，∠2减小2°，∠4减小2°．
∴当∠1增大2°时，下列说法正确的是∠4减小2°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查对顶角、邻补角，解题的关键是掌握对顶角和邻补角的定义和性质．
17．B
【分析】根据对顶角相等列方程可求得x的值；根据邻补角互补列方程可求得y的值．
解：解：根据题意得：x=2x-30°，
解得：x=30°；
y+2y-30°=180°，
解得：y=70°；
故选：B．
【点拨】本题考查了一元一次方程组的应用，理解对顶角相等，邻补角互补，解答本题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组．
18．B
【分析】首先设∠DOF＝2x，∠AOD＝3x，然后表示∠FOE和∠BOE，再根据平角定义列方程，然后可得答案．
解：解：设∠DOF＝2x，∠AOD＝3x，
∵∠DOE＝80°，
∴∠FOE＝80°﹣2x，
∵射线OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠EOF＝80°﹣2x，
则：3x+80°+80°﹣2x＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠AOD＝60°
∴∠BOC＝∠AOD=60°
故选B．
【点拨】此题主要考查了邻补角和对顶角，关键是理清图中角之间的关系，利用方程思想解决问题．
19．C
【分析】先求出∠BOC，再由邻补角关系求出∠COD的度数．
解：∵∠AOB=25°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=90°-25°=65°，
∴∠COD=180°-65°=115°．
故选：C．
【点拨】本题考查了余角、邻补角的定义和角的计算；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
20．1
【分析】根据n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍，由此可得出a，b，c的值，再代入计算即可．
解：∵n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍，
∴a＝10，b=1，c=20
∴．
故答案为：1．
【点拨】考查了直线的交点问题，解题关键是掌握n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍．
21．
【分析】由题意可得6条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出M，m的值，从而得出答案．
解：解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；
任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，
∵任意三条直线不过同一点，
∴此时点为：6×（6-1）÷2=15，即M=15；
∴M-m=14．
故答案为：14．
【点拨】本题主要考查了平面图形，得到6条直线相交于一点时交点最少；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多是解题的关键．
22．6， 1
【分析】根据相交线的特点，可得答案．
解：解：最多交点个数为=，最少有1个交点.
故答案为6,1.．
【点拨】本题考查了相交线，关键是考虑全面，不要漏解．
23．2 6 12 n(n－1)
【解析】
【分析】（1）（2）（3）画图，根据图形即可得出结论；
（4）根据（1）、（2）（3）观察的规律可知，n条直线相交于一点，有n（n﹣1）对对顶角．
解：（1）两条直线相交于一点，有2对对顶角；
（2）三条直线相交于一点，有6对对顶角；
（3）四条直线相交于一点，有12对对顶角；
（4）n条直线相交于一点，有n（n﹣1）对对顶角．
故答案为2，6，12，n(n－1)．
【点拨】本题考查了多条直线相交于一点所形成的对顶角的个数的计算规律．即n条直线相交于一点，有n（n﹣1）对对顶角．
24．∠BOF．
【分析】对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，依此即可求解．
解：由图形可知，∠AOE的对顶角是∠BOF．
故答案为：∠BOF．
【点拨】此题考查了对顶角、邻补角，判断对顶角和邻补角的关键是看准是由哪两条直线相交而成的角．
25．互为余角 对顶角 互为补角 互为余角
【分析】根据互余和互补的定义，结合图形进行判断即可．
解：∵OE⊥CD，
∴∠1与∠2叫做互余；
∠2与∠3叫做对顶角．
∠2与∠4叫做互为邻补角；
∠1与∠3叫做互余．
故答案为互余，对顶角，互为邻补角，互余．
【点拨】本题考查了余角和补角的知识，注意掌握各部分的定义．
26．
【分析】根据，可得，再根据对顶角相等即可求出的度数．
解：解：∵，
∴
∴
∵
∴
故答案为：
【点拨】本题主要考查了邻补角、对顶角的相关知识，熟练运用邻补角、对顶角的相关知识是解答此题的关键．
27．25
【分析】根据对顶角相等求得∠BOD=∠AOC=50°，再根据角平分线的定义即可求解．
解：解：∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=∠AOC=50°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠BOD=25°，
故答案为：25．
【点拨】本题考查对顶角相等、角平分线的定义，熟练掌握对顶角相等和角平分线的定义是解答的关键．
28．72°
【分析】先根据角平分线，求得∠AOD的度数，再根据对顶角相等，求得∠BOD的度数．
解：解：∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×36=72，
∵∠BOC与∠AOE是对顶角，
∴∠BOC的度数为72，
故答案为：72．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义以及对顶角的定义，解题的关键是找到角与角的关系．
29．
【分析】邻补角指的是有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角；对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，据此解答即可．
解：解：根据邻补角的定义得，
（1）的邻补角：；
（2）的邻补角：；
（3）的邻补角：；
（4）根据对顶角的定义得，的对顶角：，
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）．
【点拨】本题考查邻补角的定义、对顶角的定义等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
30．∠2，∠4 ∠3
解：根据对顶角和邻补角的定义解答，注意两直线相交，一个角的对顶角只有一个，但邻补角有两个．
解：由图形可知，∠1的对顶角是∠3，
∠1的邻补角是∠2和∠4．
31．140°
解：∵∠1与∠2是对顶角,∴∠1=∠2=80°,又已知∠2=2∠3,∴∠3=40°,
∵∠4与∠3互为邻补角,∴∠4=180°－∠3=180°－40°=140°.
故答案为: 140°.
32．∠AOD、∠BOC 50° 130°
【分析】根据邻补角必须是相邻的两个角，即有一条公共边和一个公共顶点的互补的两个角；对顶角有一个公共顶点，其中一个角的两条边是另一个角的两条边的反向延长线，对顶角的度数相等即可得出答案．
解：解：∠AOC的邻补角是∠BOC，∠AOD；
∵∠BOD的对顶角是∠AOC，∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∵∠COB是∠AOC邻补角，
∴∠COB=180°-∠AOC=130°．
故答案为：∠AOD、∠BOC，50°，130°
【点拨】本题主要考查了邻补角与对顶角的概念和特点，熟练掌握邻补角与对顶角的定义是解题的关键．
33．②④⑤．
【分析】可根据对顶角和邻补角的定义来逐一判断即可.
解：
∠1和∠2是邻补角，不是对顶角，故①错误；
∠1和∠2互为邻补角，故②正确；
∠1和∠2不一定相等，故③错误；
∠1和∠3是对顶角，所以，故④正确；
∠1和∠4是邻补角，所以 ，故⑤正确；
故答案为：②④⑤．
【点拨】本题主要考查邻补角与对顶角的基本定义，对顶角是两个角有公共顶点，且两边互为反向延长线；邻补角是两个角有一条公共边，而它们另一边互为反向延长线.
34．邻补角互补@对顶角相等
解：解：因为直线a，b相交于点O，
所以∠1＋∠3＝180°（邻补角互补），
∠1＝∠2（对顶角相等）
故答案为邻补角互补，对顶角相等．
35．145°
【分析】根据邻补角的性质可知∠AOC+∠AOB=180°，然后求解即可．
解：解：∵∠AOC+∠AOB=180°，且∠AOC=35°．
∴∠1＝∠AOB=145°，
故答案为：145°．
【点拨】本题主要考查了邻补角的性质，根据题意得到∠AOC+∠AOB=180°是解题的关键．
36．108°
【分析】根据对顶角、邻补角的性质及∠1＝36°可求出∠2和∠3的度数，进而能得出∠2﹣∠3的值．
解：解：∵直线a、b相交，∠1＝36°，
∴∠3＝∠1＝36°，∠2＝180°﹣∠1＝144°，
∴∠2﹣∠3＝144°﹣36°＝108°．
故答案为：108°．
【点拨】本题主要考查了对顶角的性质，邻补角，解题的关键在于能够熟练掌握两个知识进行求解．
37．30°
【分析】先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．
解：解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．
∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=30°（角平分线定义），
∴∠BOD=30°（对顶角相等）．
故答案为：30．
【点拨】本题考查由角平分线的定义，结合补角的性质，易求该角的度数．
38．76°
【分析】根据邻补角与角平分线的性质即可求解.
解：∵∠AOC＝28°
∴∠AOD=180°-∠AOC=152°，
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE=
【点拨】此题主要考查邻补角与角平分线的性质，解题的关键是熟知角度的计算.
39．（1）135°；（2）54°
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
解：解（1）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=∠AOM=×90°=45°，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=∠CON=°，
∵∠BOM=x+x=90°，
∴x=36°，
∴∠MON=x°=×36°=54°，
即∠MON的度数为54°．
【点拨】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）难点在于根据∠BOM列出方程．
40．(1)见解析；（2）见解析；（3）PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”
【分析】前两问尺规作图见详解,第（3）问中利用垂线段最短即可解题.
解：（1）（2）如图所示．
（3）在直角△FPO中,PO＜FO,
在直角△PEO中,PE＜PO,
∴PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”．
【点拨】本题考查了尺规作图和垂线段的性质,属于简单题,熟悉尺规作图的方法和步骤,垂线段的性质是解题关键.