高考数学(理数)一轮精品复习：第8章《解析几何》讲与练(63页教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：第8章《解析几何》讲与练(63页教师版)，共180页。试卷主要包含了直线的方程；，直线的交点、距离与对称问题等内容，欢迎下载使用。
第八章解析几何
第一节　 直线与方程

本节主要包括3个知识点：
　1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；
　2.直线的方程；
3.直线的交点、距离与对称问题.

突破点(一)　直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系　



1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．
2．直线的斜率公式
(1)定义式：若直线l的倾斜角α≠，则斜率k＝tan_α.
(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．两条直线平行与垂直的判定
两条直
线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2
两条直
线垂直
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2


1．判断题
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)
(4)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2．填空题
(1)若过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m＝________.
答案：－2
(2)如图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为________．
解析：设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图易知0k1.
答案：k2>k3>k1
(3)已知直线l1：x＝－2，l2：y＝，则直线l1与l2的位置关系是________．
答案：垂直
(4)已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．
解析：由题意，得＝－2，解得a＝2.
答案：2





直线的倾斜角与斜率

1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率k
k＝tan α>0
k＝0
k＝tan α0，∴a＝－1.
答案：－1
(4)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
解析：∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.
答案：2





交点问题

[例1]　(1)当00)．

1．判断题
(1)平面内到两点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
答案：(1)×　(2)×
2．填空题
(1)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是________．
解析：将双曲线2x2－y2＝8化成标准方程－＝1，则a2＝4，所以实轴长2a＝4.
答案：4
(2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
解析：由题意知a＝4，c＝6，|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
答案：17
(3)已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是________．
解析：依题意得m＜0，双曲线方程是x2－＝1，于是有 ＝2×1，m＝－.
答案：－
(4)设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为____________．
解析：由题知C＝，a＝1.∴b2＝c2－a2＝1，又双曲线的焦点在x轴上，故双曲线的方程为x2－y2＝1.
答案：x2－y2＝1






双曲线定义的应用

(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；
(2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．
[例1]　(1)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　　)
A．48 B．24
C．12 D．6
(2)若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．12
[解析]　(1)由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，
因此S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24.
(2)由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
[答案]　(1)B　(2)B

[方法技巧]
双曲线定义的主要应用方面
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．　　


双曲线的标准方程

待定系数法求双曲线方程的五种类型
类型一
与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)
类型二
若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)
类型三
与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b20)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b20)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是____________．
[解析]　(1)由e＝知，双曲线为等轴双曲线，
则其渐近线方程为y＝±x，
故由P(0,4)，知左焦点F的坐标为(－4,0)，
所以c＝4，则a2＝b2＝＝8.
故双曲线的方程为－＝1.
(2)法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，根据双曲线的定义知2a＝＝4，故a＝2.
又b2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，①
又点(，4)在双曲线上，所以－＝1，②
联立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法三：设双曲线的方程为＋＝1(270，b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长


1．判断题
(1)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)
(2)等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直．(　　)
(3)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√
2．填空题
(1)双曲线－＝1的焦距为________．
解析：由双曲线－＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝，所以双曲线－＝1的焦距为2.
答案：2
(2)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为________．
解析：由条件e＝，即＝，得＝＝1＋＝3，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
(3)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为________．
解析：由题意知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝tan ＝，所以a＝b，c＝＝2b，故双曲线C的离心率e＝＝＝.
答案：




双曲线的渐近线

[例1]　(1)(2018·广州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为(　　)
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0
C．4x±3y＝0 D．3x±4y＝0
(2)(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
[解析]　(1)双曲线的右焦点到左顶点的距离等于a＋c，右焦点到渐近线y＝±x的距离为＝b，即a＋c＝2b，c＝2b－a，a2＋b2＝c2＝(2b－a)2，所以3b＝4a，＝，所以所求渐近线方程为4x±3y＝0.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以y1＋y2＝，所以＝p，即＝，故＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
[答案]　(1)C　(2)y＝±x
[方法技巧]
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0)．　　


双曲线的离心率

[例2]　(1)设点P是以F1，F2为左、右焦点的双曲线－＝1(a>0，b>0)左支上一点，且满足·＝0，tan∠PF2F1＝，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
(2)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
[解析]　(1)∵·＝0，tan∠PF2F1＝，∴PF1⊥PF2，且|PF1|∶|PF2|＝2∶3.
∵|PF2|－|PF1|＝2a，
∴|PF2|＝6a，|PF1|＝4a.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴4c2＝16a2＋36a2，解得e＝.
(2)连接OM(图略)．由题意知OM⊥PF，且|FM|＝|PM|，∴|OP|＝|OF|，∴∠OFP＝45°，∴|OM|＝|OF|·sin 45°，即a＝c·，∴e＝＝.故选A.
[答案]　(1)D　(2)A
[方法技巧]
1．求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
2．双曲线的形状与e的关系
k＝＝＝＝，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
[提醒]　求双曲线的离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围．　　


求参数或变量的取值范围

[例3]　已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·0，b>0)的右焦点，若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为(　　)
A．2 B.
C．2 D．3
解析：选B　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，线段OF的垂直平分线为直线x＝，将x＝代入y＝x，则y＝，则交点坐标为，
到直线y＝－x(即bx＋ay＝0)的距离d＝＝|OF|＝，
得c＝2b＝2，即4a2＝3c2，
则双曲线的离心率e＝＝，故选B.
6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率大于，则m的取值范围为____________．
解析：由双曲线方程可得m>0，所以e＝>，解得m>4或m0，故可得m的取值范围为(0,1)∪(4，＋∞)．
答案：(0,1)∪(4，＋∞)




[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B　根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝.①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a2＋b2＝9.②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以C的方程为－＝1.
3．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
解析：选A　由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m20)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，
则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.

又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，
所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝.
答案：
7．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，
故F(3，0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝＝15为定值，
所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，
由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12.
答案：12
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]

对点练(一)　双曲线的定义和标准方程
1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选D　由00)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D　不妨设B(0，b)，由＝2，F(c,0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，即·＝，∴＝，①
又||＝＝4，c2＝a2＋b2，∴a2＋2b2＝16，②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，∴双曲线C的方程为－＝1，故选D.
5．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为(　　)
A. B．11
C．12 D．16
解析：选B　由题意，得所以|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8＋|AB|，显然，当AB垂直于x轴时其长度最短，|AB|min＝2·＝3，故(|BF2|＋|AF2|)min＝11.
6．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程为____________________．
解析：2a＝2,2b＝4.当焦点在x轴时，双曲线的标准方程为x2－＝1；当焦点在y轴时，双曲线的标准方程为y2－＝1.
答案：x2－＝1或y2－＝1
7．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于________．
解析：由题意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|＝|BF1|＝2，所以其面积为×2×2＝4.
答案：44
对点练(二)　双曲线的几何性质
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　依题意知＝2，∴双曲线C的离心率e＝＝＝ ＝.故选B.
2．若圆(x－3)2＋y2＝1上只有一点到双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　不妨取渐近线为bx＋ay＝0，由题意得圆心到渐近线bx＋ay＝0的距离d＝＝2，化简得b＝c，∴b2＝c2，∴c2＝a2，∴e＝＝，故选A.
3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F1及虚轴的一个端点，且点F2到直线l的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设虚轴的一个端点为B，则S△F1BF2＝b×2c＝a×，即b×2c＝a×，∴4c2(c2－a2)＝a2(－a2＋2c2)，∴4e4－6e2＋1＝0，解得e2＝，∴e＝(舍负)．故选D.


4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)
A．± B．±
C．±1 D．±
解析：选C　由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.∵A1B⊥A2C，
∴·＝－1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为(1,0)，若双曲线上存在点P，使得P到y轴与到x轴的距离的比值为2，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　法一：由双曲线的焦点为(1,0)，可知c＝1.由双曲线上存在点P，使得P到y轴与到x轴的距离的比值为2，可知>，所以8b2>a2，即8(1－a2)>a2，所以0a2，即8(1－a2)>a2，所以00)的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)
A．(1，] B．(1,2]
C．[，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选D　设O为坐标原点，由2|＋|≤||，得4||≤2c(2c为双曲线的焦距)，∴||≤c，又由双曲线的性质可得||≥a，于是a≤c，∴e≥2.故选D.
7．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若＝，则双曲线的渐近线方程为________________．
解析：由得x＝－，由
解得x＝，不妨设xA＝－，xB＝，
由＝可得－＋c＝＋，整理得b＝3a.
所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.
答案：3x±y＝0
8．已知椭圆＋＝1的右焦点F到双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离小于，则双曲线E的离心率的取值范围是________．
解析：椭圆＋＝1的右焦点F为(2,0)，
不妨取双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx＋ay＝0，
则焦点F到渐近线bx＋ay＝0的距离d＝0，∴p＝1.
[答案]　1

[方法技巧]
焦点弦问题的求解策略
解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．　


1.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，＝2，则|BC|＝(　　)　　　　
A．8 B.
C．6 D.
解析：选D　因为|AF|＝6，＝2，所以|BF|＝3，设|CF|＝x，则由抛物线的定义可得＝，解得x＝，所以|BC|＝|CF|＋|BF|＝.
2.过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：选D　抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.
3.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点D到y轴的距离为(　　)
A. B．1
C. D.
解析：选C　因为抛物线y2＝x的准线方程为x＝－.
如图所示，过点A，B，D分别作直线x＝－的垂线，垂足分别为G，E，M，因为|AF|＋|BF|＝3，根据抛物线的定义，|AG|＝|AF|，|BE|＝|BF|，所以|AG|＋|BE|＝3，所以|MD|＝＝，所以线段AB的中点到y轴的距离为－＝.
4.已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)
A. B.
C．1 D．2
解析：选D　由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1(图略)，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，选D.
5.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
证明：设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.
由根与系数的关系，得yAyB＝－p2，即yB＝－.
∵BC∥x轴，且C在准线x＝－上，∴C.
则kOC＝＝＝＝kOA.∴直线AC经过原点O.











突破点(二)　抛物线的标准方程及性质


图形




标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
坐标




准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
离心率
e＝1
焦半径
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋


1．判断题
(1)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)
(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．填空题
(1)以(－1,0)为焦点的抛物线的标准方程为____________________________．
答案：y2＝－4x
(2)抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．
答案：
(3)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合，则p的值为________．
解析：双曲线－＝1的右焦点F(3,0)是抛物线y2＝2px的焦点，所以＝3，p＝6.
答案：6
(4)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为________．
解析：由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，所以直线AF的斜率为k＝＝－.
答案：－




求抛物线的标准方程

[例1]　(1)若抛物线的顶点为坐标原点，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________________________．
(2)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________________．
[解析]　(1)对于直线方程3x－4y－12＝0.令x＝0，得y＝－3，令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点坐标为(0，－3)或(4,0)．
当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x2＝－2py(p>0)，则＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点坐标为(4,0)时，设方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，
所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
(2)设满足题意的圆的圆心为M.
根据题意可知圆心M在抛物线上，
又∵圆的面积为36π，
∴圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－，
又由题意可知xM＝，∴＝6－，解得p＝8.
∴抛物线方程为y2＝16x.
[答案]　(1)x2＝－12y或y2＝16x　(2)y2＝16x
[方法技巧]　　求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．
②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：
法一
分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解
法二
设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m2，则点A到原点的距离为(　　)
A. B．2
C．4 D．8
[解析]　(1)抛物线y＝ax2化为x2＝y，它的准线方程为y＝－，点M(1,1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，可得＝2，解得a＝或－.故选C.
(2)令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，则点A的坐标为，代入y2＝2x中，解得a＝或a＝(舍)，此时A(2,2)，故点A到原点的距离为2.
[答案]　(1)C　(2)B


[方法技巧]
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．　　


抛物线方程的实际应用

[例3]　一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由．
[解]　建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A(－3，－3)，B(3，－3)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
将B点坐标代入得9＝－2p·(－3)，
所以p＝.
所以抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．
因为车与箱共高4.5 m，
所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.
设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，
则x＝，所以|x0|＝ ＝，
所以2|x0|＝0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为(　　)
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝2y D．x2＝y
解析：选C　由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则＝4，得p＝1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2＝2y.
4.过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　∵x2＝2y，∴y＝，∴y′＝x，
∵抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B，
∵抛物线x2＝2y的焦点F的坐标为，
∴直线l的方程为y＝，∴|AF|＝|BF|＝1.故选A.
5.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．
解析：∵c2＝9－5＝4，∴c＝2.∴椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，∴＝2，即抛物线的准线方程为x＝－2.
答案：x＝－2

6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
解析：建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
∵点(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，即抛物线方程为x2＝－2y.
当y＝－3时，x＝±.∴水位下降1米后，水面宽为2米．
答案：2
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选D　∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)，得k＝2.故选D.
2．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D.∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.
3．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选B　∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，从而椭圆的方程为＋＝1.∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，由图象的对称性可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B.
C．3 D．2
解析：选C　如图所示，过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，设l与x轴交点为M，因为＝4，所以|QQ′|∶|MF|＝|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离|MF|＝4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.
5．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，
因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，
设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，
所以N(0,4)，|FN|＝＝6.
法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，
∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，
故|FN|＝2|MF|＝6.
答案：6

[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]

对点练(一)　抛物线的定义及其应用
1．已知AB是抛物线y2＝8x的一条焦点弦，|AB|＝16，则AB中点C的横坐标是(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：选C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝16，又p＝4，所以x1＋x2＝12，所以点C的横坐标是＝6.
2．设抛物线y2＝－12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．3 B．4
C．7 D．13
解析：选B　依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x＝3的距离，即等于3＋1＝4.
3．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|＝|PF|，过点P作PM⊥OF于点M(图略)，则M为OF的中点，所以xP＝，代入y2＝2x，得yP＝±，所以P.
4．已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：选D　由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)．过点A作直线AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′，根据抛物线定义知，|AA′|＝|AF|，在△AA′K中，|AK|＝|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直线AK的倾斜角为45°，直线AK的方程为y＝x＋4，代入抛物线方程y2＝16x得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8，x＝4.所以△AFK为直角三角形，故△AFK的面积为×8×8＝32.
5．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)
A．2－1 B．2－2
C.－1 D.－2
解析：选C　由抛物线定义可知，点P到准线的距离可转化为其到焦点F的距离，即求|PQ|＋|PF|的最小值．设圆的圆心为点C，因为|PQ|≥|PC|－1，所以|PQ|＋|PF|≥|PC|－1＋|PF|≥|FC|－1＝－1，故选C.
6．抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.
解析：抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，最小距离为，则＝1，解得p＝2.
答案：2
7．过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，||FB|－|FA||＝________.
解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得x2－6x＋1＝0，解得x1＝3＋2，x2＝3－2，
由抛物线的定义可得|FA|＝x1＋1＝4＋2，|FB|＝x2＋1＝4－2，则||FB|－|FA||＝4.
答案：4
对点练(二)　抛物线的标准方程及性质
1．抛物线y2＝2px(p>0)的准线截圆x2＋y2－2y－1＝0所得弦长为2，则p＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：选B　抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，而圆化成标准方程为x2＋(y－1)2＝2，圆心M(0,1)，半径r＝，圆心到准线的距离为，所以2＋2＝()2，解得p＝2.
2．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA―→与x轴正方向的夹角为60°，则△OAF的面积为(　　)
A. B．2
C. D．1
解析：选C　过点A作AD⊥x轴于点D，令|FD|＝m，则|FA|＝2m,2＋m＝2m，m＝2，所以|AD|＝2，所以S△OAF＝×1×2＝.
3．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为(3,2)，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝2x或y2＝4x B．y2＝4x或y2＝8x
C．y2＝6x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝8x
解析：选B　由题可得直线l的方程为y＝k，与抛物线方程C：y2＝2px(p>0)联立，得k2x2－k2px－2px＋＝0.∵AB的中点为M(3,2)，∴解得k＝1或k＝2，∴p＝2或p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝8x.
4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选B　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则点M(2，±2)，焦点为.∵点M到该抛物线焦点的距离为3，∴2＋＝3，解得p＝2.∴|OM|＝＝2.
5．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为________米．
解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
∴100＝－2p×(－4)，2p＝25，即抛物线方程为x2＝－25y.
∵每4米需用一根支柱支撑，
∴支柱横坐标分别为－6、－2、2、6.
由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－，
∴|AB|＝4－＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．
答案：3.84
6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，
所以B.又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.
答案：6
7．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．
解析：将双曲线方程化为标准方程得－＝1，则F1(－2a,0)，F2(2a,0)．
抛物线的准线为x＝－2a，联立得x＝3a(x＝－舍去)，即点P的横坐标为3a.
而由得|PF2|＝6－a，
∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，
∴抛物线的准线方程为x＝－2.
答案：x＝－2
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又∵F(1,0)，∴kFA＝.∵MN⊥FA，∴kMN＝－.
∴FA的方程为y＝(x－1)，MN的方程为y＝－x＋2，
联立解方程组得x＝，y＝，
∴点N的坐标为.
2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，则点P的轨迹是________．
解析：由|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)得|PF1|＋|PF2|≥6，又|F1F2|＝6.
∴P点的轨迹为椭圆或线段．
答案：椭圆或线段
(3)已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是________．
解析：由|PM|－|PN|＝4＝|MN|知P点的轨迹为一条射线．
答案：一条射线








直接法求轨迹方程

[例1]　(1)|y|－1＝表示的曲线是(　　)
A．抛物线 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点且直线AP与BP的斜率之积等于－，则动点P的轨迹方程为________________．
[解析]　(1)原方程|y|－1＝等价于即或所以原方程表示的曲线是两个半圆．
(2)因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)，故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
[答案]　(1)D　(2)x2＋3y2＝4(x≠±1)

[方法技巧]
直接法求轨迹方程的思路
直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．　　


定义法求轨迹方程






[例2]　已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
[解]　如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0)．
设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；
由动圆M与圆O2外切，
有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3.
∴点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．
∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.
∴点M的轨迹方程为－＝1.

[方法技巧]
定义法求轨迹方程的思路
应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．　　


代入法求轨迹方程

[例3]　设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．
[解]　设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，
∴x0＋y＝0.
由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴即
∴－x＋＝0，即y2＝4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.


[方法技巧]
代入法求轨迹方程的四个步骤
(1)设出所求动点坐标P(x，y)．
(2)寻找所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系．
(3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′.
(4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．　　


1.已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为(　　)
A．y＝－2x　　　　　　　 B．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
解析：选B　设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，
∴即
∵点R是直线l上的点，∴－y＝2(2－x)－4.即y＝2x，故选B.
2.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：选D　如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝＝，则|PM|2＝2，
∴点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.
3.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为________________．
解析：设圆M，圆N与动圆P的半径分别为r1，r2，R，
因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4，
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
答案：＋＝1(x≠－2)
4.如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于点M.若＝λ.
(1)求N点的轨迹方程；
(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值．
解：(1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，
则M的坐标为(x1,0)，且x＝x1，
∴＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，
由＝λ得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．
∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.
∵P(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上，
则＋y＝1，∴＋(1＋λ)2y2＝1，
故＋(1＋λ)2y2＝1即为所求的N点的轨迹方程．
(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝，解得λ＝－或λ＝－.
∴当λ＝－或λ＝－时，N点的轨迹是圆．

[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝ ，得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，
则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，
＝(－3－m，t－n)．
由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
2．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
解：由题意知F，设直线l1的方程为y＝a，直线l2的方程为y＝b，
则ab≠0，且A，B，P，Q，R.
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝|a－b|·|FD|＝|a－b|，S△PQF＝.
由题意可得|a－b|＝，所以x1＝1或x1＝0(舍去)．
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．
而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，
满足方程y2＝x－1.
所以所求的轨迹方程为y2＝x－1.

[课时达标检测]
[小题常考题点——准解快解]
1．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一条射线
解析：选D　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．
2．已知A(－1,0)，B(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若2＝λ·，当λ＜0时，动点M的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选C　设M(x，y)，则N(x,0)，所以2＝y2，λ·＝λ(x＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x2)，所以y2＝λ(1－x2)，即λx2＋y2＝λ，变形为x2＋＝1.又因为λ＜0，所以动点M的轨迹为双曲线．
3．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2 (O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
解析：选A　设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)．∵＝λ1＋λ2，∴
又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
4．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　)
A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
解析：选A　设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．
5．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________________．
解析：设A(x，y)，由题意可知D.又∵|CD|＝3，∴2＋2＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
6．设F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________________．
解析：由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又O为F1F2的中点，连接OD，则OD∥F2B，从而可知|DO|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4

[大题常考题点——稳解全解]
1．已知长为1＋的线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且＝，求点P的轨迹C的方程．
解：设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，则＝(x－x0，y)， ＝(－x，y0－y)，
因为＝，所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，
得x0＝x，y0＝(1＋)y.
因为|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，
所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，化简得＋y2＝1.
所以点P的轨迹方程为＋y2＝1.


2．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值；
(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率．
解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4.
(2)由圆A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)，
因此|AB|＝2，则|EA|＋|EB|＝4>|AB|.
由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点)，
所以a＝2，c＝1，则b2＝a2－c3＝3.
所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
故曲线方程的离心率e＝＝.
3.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，P点在x轴上的射影是点D，点M满足＝.
(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．
解：(1)设M(x，y)，则D(x,0)，由＝知P(x,2y)，
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1，轨迹C为椭圆．
(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在且不为零，设l：y＝k(x－3)，代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，
由Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)>0，得03等价于＝b>0)，
由题意得b＝，＝，解得a＝2，c＝1.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0)．由
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①
因为直线l与椭圆C相切，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0，
整理，得96(2k＋1)＝0，解得k＝－.
所以直线l的方程为y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.
将k＝－代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.
3．已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，直线l2：x＝－2交x轴于点Q.
(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值；
(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，·＝2，求抛物线C的方程．
解：(1)设直线l1的方程为x＝my＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程得y2－2pmy－4p＝0，
则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－4p.
k1＋k2＝＋＝＋
＝＝＝0.
(2)设点P(x0，y0)，直线PA：y－y1＝(x－x1)，
当x＝－2时，yM＝，同理yN＝.
因为·＝2，所以4＋yNyM＝2，
即·＝
＝＝＝－2，
故p＝，所以抛物线C的方程为y2＝x.
4.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
解：(1)由题设知解得
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝.
由d1，直线l：x－my－＝0，椭圆C：＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点．
(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．
[解]　(1)因为直线l：x－my－＝0经过F2(，0)，
所以＝，得m2＝2.
又因为m>1，所以m＝，故直线l的方程为x－y－1＝0.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x，得2y2＋my＋－1＝0，
则由Δ＝m2－8＝－m2＋8>0，
知m20，当t∈(2，＋∞)时，f′(t)1时，f(t)＝>0，所以0b>0)，定义椭圆C的“相关圆”方程为x2＋y2＝，若抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．
(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；
(2)过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，证明：原点O到直线AB的距离是定值，并求实数m的取值范围．
解：(1)因为抛物线y2＝4x的焦点(1,0)与椭圆C的一个焦点重合，所以c＝1.又因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b＝c＝1.
故椭圆C的方程为＋y2＝1，“相关圆”E的方程为x2＋y2＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)>0，即2k2－m2＋1>0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝.
由条件OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即3m2－2k2－2＝0，
所以原点O到直线AB的距离是d＝＝.
由3m2－2k2－2＝0得1＋k2＝m2，所以d＝为定值．
将3m2－2k2－2＝0代入Δ中，解得m，
又k2＝≥0，所以m2≥，解得m≤－或m≥.
综上，实数m的取值范围是∪.






2.已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1,0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求·的取值范围．
解：(1)由x2＋y2＋2x－15＝0，得(x＋1)2＋y2＝16，
所以圆心为H(－1,0)，半径为4.
连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|＝|MB|，
所以|MA|＋|MH|＝|MB|＋|MH|＝|BH|＝4，
又|AH|＝21，于是上式化简整理可得，
·＝－9t＝－＝－.
由t>1，得00)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

解：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，
x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝.
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
3．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1 (a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为＋＝1.
(2)由解得或
因此|AB|＝.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x3,4＝.
因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝|x4－x3|＝.
由已知，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝.当n＝0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.

[课时达标检测]
[一般难度题——全员必做]
1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．
解：(1)由题易知c＝1，＋＝1，
又a2＝b2＋c2，
解得b2＝1，a2＝2，
故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设直线l：x＝ky＋1，由
得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则可得y1＋y2＝，y1y2＝.
＝＋＝(x1＋x2－4，y1＋y2)＝，
∴||2＝|＋|2＝16－＋，由此可知，||2的大小与k2的取值有关．
由＝λ可得y1＝λy2，λ＝，＝(y1y2≠0)．
从而λ＋＝＋＝＝，
由λ∈[－2，－1]得∈，从而－≤≤－2，解得0≤k2≤.
令t＝，则t∈，∴||2＝8t2－28t＋16＝82－，∴当t＝时，|QC|min＝2.
2．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．
(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；
(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．
解：(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2＝1.
∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)证明：显然直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋，A，B.
由消去y整理得，x2－2kpx－p2＝0.
∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.
∴M(kp，k2p＋)，N.
∴k AN＝＝＝＝＝.
又x2＝2py，∴y′＝.
∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.
∴直线AN与抛物线相切．
3．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由条件知，解得a＝2，c＝，b＝1，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－，
设△OAB的面积为S，
由x1x2＝－0，
∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，∴t＋≥，
∴00)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设|FA|＝λ|FB|，T(2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．
解：(1)∵e＝ ，c＝1，∴a＝，b＝1，
即椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)①当直线的斜率为0时，显然不成立．
②设直线l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
由|FA|＝λ|FB|，得y1＝－λy2，
∵－λ＋＝＋，
∴－λ＋＋2＝＝，∴m2≤，
又∵AB边上的中线长为 |＋|
＝
＝
＝ ∈.









2．已知椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
(1)若＝6，求k的值；
(2)求四边形AEBF面积的最大值．
解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB的方程为x＋2y－2＝0.设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10)，即k＝时，等号成立．
故四边形AEBF面积的最大值为2.




[较高难度题——学霸做]
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．
解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)，
设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝，k2＝.
由k1k2＝－，得·＝－，整理得＋＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立，
得消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.
所以－200，p为常数)交于不同的两点M，N，且当k＝时，抛物线C的焦点F到直线l的距离为.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ过点B(1，－1)，求证：直线NQ过定点．
[解]　(1)当k＝时，直线l：y＝，即2x－4y＋p＝0，
抛物线C的焦点F到直线l的距离d＝＝＝，
解得p＝±2，又p>0，所以p＝2，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.
(2)证明：设点M(4t2,4t)，N(4t，4t1)，Q(4t，4t2)，易知直线MN，MQ，NQ的斜率均存在，
则直线MN的斜率是kMN＝＝，
从而直线MN的方程是y＝(x－4t2)＋4t，即x－(t＋t1)y＋4tt1＝0.
同理可知MQ的方程是x－(t＋t2)y＋4tt2＝0，
NQ的方程是x－(t1＋t2)y＋4t1t2＝0.
又易知点(－1,0)在直线MN上，从而有4tt1＝1，即t＝，
点B(1，－1)在直线MQ上，从而有1－(t＋t2)(－1)＋4tt2＝0，
即1－(－1)＋4××t2＝0，
化简得4t1t2＝－4(t1＋t2)－1.
代入NQ的方程得x－(t1＋t2)y－4(t1＋t2)－1＝0.
即(x－1)－(t1＋t2)(y＋4)＝0.
所以直线NQ过定点(1，－4)．
[方法技巧]　　 圆锥曲线中定点问题的两种解法



圆锥曲线中的定值问题

圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
代数式
为定值
依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值
点到直线
的距离为
定值
利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形求得
某线段长
度为定值
利用长度公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得


方法(一)　从特殊到一般求定值
[例2]　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．
[解]　(1)由题意知，e＝＝，＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，此时，原点O到直线AB的距离为.
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，
由OA⊥OB得kOA·kOB＝－1，即·＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝＝0，即m2＝(1＋k2)，
所以原点O到直线AB的距离为＝.
综上，原点O到直线AB的距离为定值.

[方法技巧]
定值问题必然是在变化中所表示出来的不变的量，常表现为求一些直线方程、数量积、比例关系等的定值．解决此类问题常从特征入手，求出定值，如有必要，再证明这个值与变量无关．　　


方法(二)　直接消参求定值
[例3]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：|PA|2＋|PB|2为定值．
[解]　(1)由可得
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明：设直线l的方程为x＝y＋m，代入＋＝1，消去x，
并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－m，y1y2＝，
又|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，同理可得|PB|2＝y.
则|PA|2＋|PB|2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝＝41.
所以|PA|2＋|PB|2是定值．

1.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．
解：(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，
设A，B.
因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，化简得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得化简得ky2－4y＋4b＝0.
根据根与系数的关系得yAyB＝，因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0，
即·＋2yAyB＝0，解得yAyB＝－32或yAyB＝0(舍去)，
所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，
即y＝k(x－8)．
综上所述，直线AB过x轴上一定点(8,0)．
2.如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的任一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.
(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；
(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
解：(1)证明：因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，
所以＝，化简得(x－2)k－2x0y0k1＋y－2＝0，
同理(x－2)k－2x0y0k2＋y－2＝0，
所以k1，k2是关于k的方程(x－2)k2－2x0y0k＋y－2＝0的两个不相等的实数根，
所以k1·k2＝.
因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，即y＝3－x，
所以k1k2＝＝－为定值．
(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值为9.理由如下：
①当M点坐标为(，)时，直线OP，OQ落在坐标轴上，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9.
②当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为k1k2＝－，所以yy＝xx，
因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，
所以即
所以＝xx，整理得x＋x＝6，
所以y＋y＝＋＝6－(x＋x)＝3，所以|OP|2＋|OQ|2＝9.
3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
解：(1)由题意得解得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设P(x0，y0)，则x＋4y＝4.
当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，
从而|BM|＝|1－yM|＝.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝|2－xN|＝.
所以|AN|·|BM|＝·
＝＝＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
综上，|AN|·|BM|为定值．

突破点(二)　圆锥曲线中的存在性问题　
1.圆锥曲线中的存在性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，要求考生结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、比较、抽象、概括等，是高考中的常考题型，作为解答题的压轴题出现，难度一般较大，常和不等式、函数、直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，对数学能力和数学思想有较高的要求.
2.圆锥曲线的存在性问题主要体现在以下几个方面：
(1)点的存在性.
(2)曲线的存在性.
(3)探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系.



探究是否存在常数的问题

[例1]　 如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．
又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1，
于是解得a＝2，b＝.所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而·＋λ·
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＝－－λ－2.
所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.
此时，·＋λ·＝－3为定值．
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.
此时，·＋λ·＝·＋λ·＝－2－λ.
当λ＝1时，·＋·＝－3，为定值．
综上，存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.
[方法技巧]
解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在．　　


探究是否存在点的问题

[例2]已知点P是圆F1：(x－1)2＋y2＝8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点G的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由题意得|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|F1P|＝2>|F1F2|＝2，
∴点M的轨迹C是以F1(1,0)，F2(－1,0)为焦点的椭圆．
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
则2a＝2，2c＝2，又a2＝b2＋c2，∴a＝，b＝1，
∴点M的轨迹C的方程为＋y2＝1.

(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y，得9(1＋2k2)x2＋12kx－16＝0.
Δ＝(12k)2＋576(1＋2k2)>0恒成立，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
假设在y轴上存在定点Q(0，m)，使以AB为直径的圆恒过这个点，连接AQ，BQ，
则⊥，即·＝0.
∵＝(－x1，m－y1)，＝(－x2，m－y2)，
·＝x1x2＋(m－y1)(m－y2)
＝x1x2＋
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋m2－＋
＝－－＋m2－＋
＝＝0，
∴解得m＝－1.
当直线l的斜率不存在时，AB为椭圆＋y2＝1的短轴，不妨设A(0,1)，B(0，－1)，
∴以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，圆过点(0，－1)．
综上，在y轴上存在定点Q(0，－1)，使以AB为直径的圆恒过这个点.










探究是否存在直线的问题
[例3]　如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且·＝1，||＝1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1，
又∵·＝(a＋c)·(a－c)＝a2－c2＝1.
∴a2＝2，b2＝1，
故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵M(0,1)，F(1,0)，
∴直线l的斜率k＝1.
于是设直线l为y＝x＋m，由
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
x1＋x2＝－m，x1x2＝.
∵·＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝0.
又yi＝xi＋m(i＝1,2)，
∴x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，
即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0.
即2·－(m－1)＋m2－m＝0，
解得m＝－或m＝1，当m＝1时，M，P，Q三点不能构成三角形，不符合条件，
故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，直线l的方程为y＝x－.
[方法技巧]
解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解．　　


1.已知直线y＝k(x－2)与抛物线Γ：y2＝x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交Γ于点N.
(1)证明：抛物线Γ在点N处的切线与直线AB平行；
(2)是否存在实数k使·＝0？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由消去y并整理，得2k2x2－(8k2＋1)x＋8k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4，
∴xM＝＝，yM＝k(xM－2)＝k＝.
由题设条件可知，yN＝yM＝，xN＝2y＝，∴N.
设抛物线Γ在点N处的切线l的方程为y－＝m，
将x＝2y2代入上式，得2my2－y＋－＝0.
∵直线l与抛物线Γ相切，
∴Δ＝12－4×2m×＝＝0，
∴m＝k，即l∥AB.
(2)假设存在实数k，使·＝0，则NA⊥NB.
∵M是AB的中点，∴|MN|＝|AB|.
由(1)，得|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝·.
∵MN⊥y轴，
∴|MN|＝|xM－xN|＝－＝.
∴＝·，解得k＝±.
故存在k＝±，使·＝0.
2.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|＝|OF|＝(其中O为坐标原点)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得b＝c＝，∴a2＝b2＋c2＝4，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，C(－2,0)，D(2,0)．
由题意可设直线CM：y＝k(x＋2)，P(x1 ，y1)．
∵MD⊥CD，∴M(2,4k)．
由消去y，整理得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
∴Δ＝(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－4)＞0.
由根与系数的关系得－2x1＝，即x1＝.
∴y1＝k(x1＋2)＝，
∴P.
设Q(x0,0)，且x0≠－2.
若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，
则MQ⊥DP，∴·＝0恒成立．
＝(2－x0,4k)，＝.
∴·＝(2－x0)·＋4k·＝0，
即＝0恒成立，∴x0＝0.
∴存在点Q(0,0)，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点．




3.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，
所以b2＝12.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l，
设其方程为y＝x＋t.
由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)＝144－3t2≥0，
解得－4≤t≤4.
另一方面，由直线OA与l的距离等于4，可得＝4，从而t＝±2.
由于±2∉[－4，4 ]，
所以符合题意的直线l不存在.











[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
解：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，
故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上．
因此解得
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：x＝t，
由题设知t≠0，且|t|0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋＝＋＝.
由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.解得k＝－.
当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，
所以l过定点(2，－1)．
2．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
解：(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)．
又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，
所以C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，
即x－y－a＝0.y＝在x＝－2处的导数值为－，
所以C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，
即x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)存在符合题意的点．证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋
＝＝.
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，
所以点P(0，－a)符合题意．










3．已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.
由(1)得OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为xP.
由得x＝，即xP＝ .
将点的坐标代入直线l的方程得b＝，
因此xM＝.
四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.
于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.
因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，
所以当直线l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形.




[课时达标检测]
[一般难度题——全员必做]
1．已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．
(1)求圆心M的轨迹方程；
(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．
解：(1)由题意得，点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则＝1，p＝2.∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y.
(2)设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x2，y2)，
联立消去y整理得x2－4kx＋8＝0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝8.
kAC＝＝＝，直线AC的方程为y－y1＝(x－x1)．
即y＝y1＋(x－x1)＝x－＋＝x＋，
∵x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2，即直线AC恒过定点(0,2)．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E：＋y2＝1上的非坐标轴上的点，且4kOA·kOB＋1＝0(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)．
(1)证明：x＋x，y＋y均为定值；
(2)判断△OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：(1)证明：依题意，x1，x2，y1，y2均不为0，
则由4kOA·kOB＋1＝0，得＋1＝0，
化简得y2＝－，
因为点A，B在椭圆上，
所以x＋4y＝4，①
x＋4y＝4，②
把y2＝－代入②，
整理得(x＋4y)x＝16y.
结合①得x＝4y，同理可得x＝4y，
从而x＋x＝4y＋x＝4，为定值，
y＋y＝y＋＝1，为定值．
(2)S△OAB＝|OA|·|OB|sin∠AOB
＝··
＝··
＝
＝|x1y2－x2y1|.
由(1)知x＝4y，x＝4y，易知y2＝－，y1＝或y2＝，y1＝－，
S△OAB＝|x1y2－x2y1|＝＝＝1，
因此△OAB的面积为定值1.
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
因为A在椭圆C上，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2，
因此a＝，b2＝a2－c2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y＝2x＋t，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，
由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，
所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)>0，
故y0＝＝，且－3