2023届上海市交通大学附属中学高三下学期5月卓越考3数学试题含解析

2023届上海市交通大学附属中学高三下学期5月卓越考3数学试题

一、填空题

1．设集合，则集合_________．

【答案】

【分析】解分式不等式得到，进而求出交集.

【详解】，即，解得，

故，则.

故答案为：

2．已知复数（其中为虚数单位），则_________．

【答案】/

【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念计算即可.

【详解】因为，所以.

故答案为：.

3．已知球的表面积为,则该球的体积为______.

【答案】

【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积．

【详解】设球半径为，

∵球的表面积为，

∴，

∴，

∴该球的体积为．

故答案为．

【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．

4．设，，则在方向上的投影向量的坐标为_________．

【答案】

【分析】根据投影向量的定义求解即可.

【详解】因为，，

所以向量在方向的投影向量为.

故答案为：.

5．如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则_________．

【答案】/0.5

【分析】构造平行使异面直线夹角化为共面直线夹角，在平面中解边长即可.

【详解】如图所示，作，连接AF，则，且AD=EF，

即四边形ADEF为平行四边形，所以AF⊥，

故在矩形中，

解得

故答案为：

6．若实数满足，则的最小值为_________．

【答案】

【分析】直接由基本不等式求解即可.

【详解】,当且仅当，

即时取到等号.

故答案：.

7．若的二项展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为_________．

【答案】15

【分析】根据二项式系数和为求出n的值，然后利用二项式定理展开式令x的指数为零，得出参数的值，再代回二项展开式可得出所求的常数项.

【详解】令，可得各项系数之和为，解得，

则的二项展开式为，

令，解得，

所以展开式中的常数项为.

故答案为：15.

8．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为________．

【答案】

【解析】由题意可得，然后求出不等式的解，结合已知条件可得出关于的方程，进而可求得的值.

【详解】由题意知，

因为函数的值域为，所以，，可得，

由可知，且有，解得，

所以，，，

所以，，解得.

故答案为：.

【点睛】利用一元二次不等式的解集求参数，一般转化为解集的端点值为对应的一元二次方程的根，可以利用韦达定理或者利用代入法求解.

9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点．过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为_________．

【答案】

【分析】先由已知双曲线方程得出一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出，进而求出，，再利用余弦定理得出与的关系，进而求出离心率.

【详解】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，焦点，.

由作该渐近线的垂线，则由点到直线的距离公式可得，所以，所以，

由于与互补，所以，

即，可得，则离心率，

故答案为：.

10．袋中装有编号为1到5的5个球．先从袋中任取一个球，若该球不是1号球，则放回袋中；若是1号球，则不放回；然后再摸一次．则第二次摸到2号球的概率是_________．

【答案】/0.21

【分析】利用条件概率与全概率公式计算即可.

【详解】设事件A为第一次取到1号球，为第一次未取到1号球，事件B表示第二次取到2号球，

则

所以.

故答案为：

11．已知实数满足，则的最大值为_________．

【答案】

【分析】设，根据题设可得或，再利用三角变换公式结合正弦函数的性质可求的最大值.

【详解】设，

故，所以，

所以或，

故或，

当时，，

，

其中，，

因为，当且仅当时等号成立，

故的最大值为.

当时，，

，

其中，，

因为，当且仅当时等号成立，

故的最大值为.

综上，的最大值为.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：多变量的最值问题，注意根据方程的特征选择三角换元来处理，后者可再结合三角变换公式和正弦型函数的性质来求最值.

12．若存在直线，使之既是曲线的切线，又是曲线的切线，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【分析】设直线与曲线的切点为，结合公切线可得，令，利用导数可求得此函数的值域，从而可求参数的取值范围.

【详解】设该直线与曲线的切点为，

因为，故直线的斜率为，故直线的方程为，

整理得到，

由可得，

因为直线与曲线相切，故，

故，

设，，，

当时，，当时，，

故在上为增函数，在上为减函数，

故，

当时，，故的值域为，

故即，而，故实数的取值范围是

故答案为：.

【点睛】思路点睛：不同曲线的公切线问题，应该以切点的横坐标为枢纽，结合公切线的性质得到切点满足的方程，再通过构建新函数得到方程有解时参数的取值范围，从而使得问题得以解决.

二、单选题

13．下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法进行判断即可.

【详解】取，

则，但是，A错误，，但是，C错误，

取，则，但是，D错误，

由，可得，所以，

故，B正确，

故选：B.

14．某家庭有三个孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互独立的．记事件A：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩；则下列说法中正确的是（    ）

A．事件与事件互斥但不对立 B．事件A与事件互斥且对立

C．事件与事件相互独立 D．事件A与事件相互独立

【答案】D

【分析】先列出生3个小孩包含的基本事件数及事件A，事件B，事件C，包含的基本事件数，再利用互斥，对立和独立事件所满足的关系，对四个选项一一作出判断.

【详解】生3个小孩的总事件包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共8个基本事件，

事件A包含（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），共6个基本事件，

事件B包含（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共4个基本事件，

事件C包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），共4个基本事件，

A选项，因为，，所以事件与事件互斥且对立，A错误；

B选项，因为，所以事件A与事件B不互斥，不对立，B错误；

C选项，因为，所以，又，故，故事件与事件不独立，C错误；

D选项，因为有3个基本事件，所以，又，

所以，D正确.

故选：D

15．已知抛物线的焦点为，点是上互不相同的点，且存在实数，使得对任意，均有．有下列两个结论：（1）数列是等差数列；（2）存在正整数，使得是的等比中项；则（    ）

A．（1）（2）均正确 B．（1）（2）均错误 C．（1）对（2）错 D．（1）错（2）对

【答案】C

【分析】根据可求，再根据焦半径公式可求的通项公式，依据等差数列的定义可判断（1）的正误，取，，则根据等比中项可求，故可判断（2）的正误.

【详解】因为，所以

，

当时，满足，

故.

由焦半径公式可得，

故，

故，故是等差数列，故（1）正确.

取，，则，

若存在正整数，使得是的等比中项，

则，故，

所以，故，

所以，

故，

整理得到，故，这与为正整数矛盾，

故（2）错误，

故选：C

【点睛】思路点睛：对于数列与圆锥曲线的综合问题，注意利用题设的和式结合数列的通项与前项的关系得到横坐标的表达式，而对于等比中项的问题，一般先假设成立，得到矛盾后否定假设.

16．如图所示，圆心为原点的单位圆的上半圆周上，有一动点．设，点是关于原点的对称点．分别连结，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点的个数是（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【分析】设射线对应的角为且，由题设可得，故可得满足条件的的个数.

【详解】设射线对应的角为且，

故区域Ⅰ的面积为，

区域Ⅲ的面积为，

区域Ⅱ的面积为，

由题设有，

整理得到，因为，故此时仅有两解，

故选：C.

三、解答题

17．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2．

(1)若圆雉的侧面积为，求圆锥的体积；

(2)设是底面半径，且是线段的中点，如图．求直线与平面所成的角的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由圆锥的体积公式计算即可；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由坐标法计算即可.

【详解】（1）由题意可知圆锥的底面半径为2，所以底面圆的周长为：，

所以侧面展开图扇形的弧长为，设半径为，由于圆雉的侧面积为，

所以，所以扇形的半径为，所以圆锥的母线长为，

所以在直角三角形中，，

所以圆锥的体积为：.

（2）由于为圆锥的高，所以,

且，所以分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

，，，，所以，

设平面的法向量为，

所以，

所以直线与平面所成的角的正弦值为，

所以直线与平面所成的角的大小为：.

18．已知 （实数为常数）．

(1)当时，求函数的定义域，判断奇偶性，并说明理由；

(2)若不等式当时均成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，不具有奇偶性；

(2)

【分析】（1）利用对数型函数的定义域、函数的奇偶性求法计算即可；

（2）分离参数结合换元法求函数值域即可.

【详解】（1）当时，，

则或，解之得或，

即，显然定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性；

（2）当时，，为单调递增函数，

故，

令，则，

故，

由对勾函数的性质可知在上单调递减，

故，所以，

即的取值范围为.

19．某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示．

(1)求这四款车得分的平均数和第90百分位数；

(2)约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由

(3)为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量表示其中基础版1车主的人数，求的分布和期望．

附：；，

【答案】(1)3；4.5

(2)答案见解析

(3)分布列见解析；

【分析】（1）根据平均数和百分位数的定义求解即可；

（2）根据题意写出列联表，再结合公式求解即可；

（3）根据超几何分布计算概率，进而求解分布列和期望.

【详解】（1）由题意，这四款车得分的平均数为，

因为，

所以这四款车得分的第90百分位数为.

（2）由题意，列联表如下：

则，

所以能在犯错误概率不超过的前提下认为汽车的性能与款式有关.

（3）由题意可得服从超几何分布，且，，，

的所有可能取值为0，1，2，3，

则，，

，，

所以的分布列为：

则.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；

(3)设．过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)；

(3)存在定点，定点为.

【分析】（1）根据确定是线段的中点，再根据直线与垂直确定即可；

（2）将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径即可求出椭圆方程；

（3）先求出椭圆的方程，设出直线方程，联立后得出、两点纵坐标的关系式，根据、的坐标表示出直线的方程，令，化简得出点的横坐标为定值.

【详解】（1）由题意知，由得是线段的中点，故.

又因为直线与垂直，所以，即，

所以椭圆的离心率为.

（2）由（1）得过、、三点的圆的圆心为，半径为.

因为过、、三点的圆恰好与直线相切，所以，解得.

又，所以，从而.

故椭圆的方程为.

（3）由（1）及得，，椭圆的方程为.

设直线方程为，，则，

联立得，

，.

直线的方程为，

令得

.

故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线.

21．已知点是函数图像上不同的点，设首项（常数，记．

(1)若数列是一个5项的等比数列，其中，当时，试写出数列的前6项；

(2)若数列是一个无穷等差数列，满足，当时，求数列的前项和；

(3)若对于任意，都有，当数列各项均不为1时，记，若存在常数，使得对于任意，不等式都成立，求非负实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)，其中.

(3)且.

【分析】（1）根据题意，直接写出数列的前6项；

（2）根据题意，可得，然后分为奇数与为偶数讨论，即可得到其前项和；

（3）根据题意，先分与讨论，由，然后构造函数，通过对其性质研究，归纳总结，即可得到结果.

【详解】（1）设数列的公比为，由及可得，即，

因此数列为，

由以及知，类似的，

即数列的前6项为

（2）设列的公差为，由，可知，于是，

因此①，则②，两式相减得，

再结合可知，此时数列的奇数项构成以0为首项，3为公差的等差数列；偶数项构成以1为首项，3为公差的等差数列.

记其前项和为，则当为偶数时，

，

当为奇数时，为偶数，，且，

于是，

综上所述，，其中.

（3）若，则，，下证：，.

当时，设，；

设当时， ，，

则时，，，

而，故成立，

而，故，

由数学归纳法可得，成立.

此时，，故取，此时满足不等式都成立.

若，则，，下证：，.

当时，，；

设当时，：设，.

则当时，，，

而，故成立，

而，故，

由数学归纳法可得，成立.

此时，，故取，此时满足不等式都成立.

若，由与同时成立，因为，

故，因为数列各项均不为1，

故，故，故为等比数列，故，

当时，，故，

，故，

而，

故， 而当时，，故，

同理，

而存在常数，使得对于任意，不等式都成立，

故，故.

所以，故，

故，解得即矛盾.

综上，且.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了数列的相关性质，数列求和问题，以及数列与函数的关系，难度较难，解答本题的关键在于应用好分组求和，以及利用好数列与函数的关系求解.