2020河南省平顶山市初三一模数学试卷及答案

这是一份2020河南省平顶山市初三一模数学试卷及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年河南省平顶山市中考数学一模试卷
一、选择题
1．2020的相反数是（　　）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
2．已知长度单位1纳米＝10﹣9米，目前发现一种新型冠状病毒的直径为154纳米，用科学记数法表示154纳米是（　　）
A．1.54×10﹣7米 B．1.54×10﹣9米
C．0.154×10﹣6米 D．154×10﹣9米
3．一个正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，在该正方体中，和“国”字相对的字是（　　）

A．武 B．汉 C．加 D．油
4．在一次数学竞赛活动中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10．则关于这组数据的结论不正确的是（　　）
A．众数是5 B．平均数是6 C．中位数是5 D．中位数是3
5．如图，已知平行四边形ABCD，点E在DC上，DE：EC＝2：1，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（　　）

A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
6．不等式组的解集在数轴表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，将一副直角三角板按照图中所示位置摆放，点C在边AO上，两条斜边互相平行，∠O＝∠BCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝45°，则∠ACB等于（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
8．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点A（4，3）按逆时针方向旋转90°，得到点A′，则点A′的坐标为（　　）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，1） C．（﹣3，4） D．（3，﹣4）
9．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（　　）

A． B． C． D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①b2＞4ac；②b+2a＜0；③当x＜﹣，y随x的增大而增大；④a﹣b+c＜0中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算：（π﹣3）0+（﹣）2＝　 　．
12．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　
13．一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取2个小球，则恰为一个红球，一个白球的概率为　 　．
14．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是　 　．

15．如图，已知等边△ABC，边长为3，点M为AB上一点，且BM＝1，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连接MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为P．当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为　 　

三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x为整数，且满足0＜x＜．
17．某校为了调查学生预防“新型冠状病毒”知识的情况，在全校随机抽取了一部分学生进行民意调查，调查结果分为A，B，C三个等级，其中“A：非常了解”、“B：了解”“C：不了解”，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图，请根据统计图，解答下列问题：

（1）这次抽查的学生为　 　人；
（2）求等级A在扇形统计图中所占圆心角的度数；
（3）若该校有学生2200人，请根据抽样调查的结果、估计该校约有多少学生对预防“新型冠状病毒”知识已经了解．
18．已知，如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB于点A，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC＝DA，交圆O于点C（A，C不重合），连接BC，CE．
（1）求证：CD是圆O的切线；
（2）若四边形OECB是菱形，圆O的直径AB＝2，求AD的长．

19．今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上，测得B，E间距离为8.7米，楼AB高12米．求小华家阳台距地面高度CD的长．（结果精确到1米，≈1.41，≈1.73）

20．今年疫情防控期间，某小区卫生所决定购买A，B两种口罩，以满足小区居民的需要．若购买A种口罩9包，B种口罩4包，则需要700元；若购买A种口罩3包，B种口罩5包，则需要380元．
（1）购买人A，B两种口罩每包各需多少元？
（2）卫生所准备购进这两种口罩共90包，并且A种口罩包数不少于B种口罩包数的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
21．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．

22．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．
（1）发现问题：
如图①，若E是线段AC的中点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系；
（2）探究问题．
如图②，若E是线段AC上任意一点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系是什么？请证明你的猜想；
（3）解决问题：
如图③，若E是线段AC延长线上任意一点，其他条件不变，且∠EBC＝30°，AB＝3，请直接写出AF的长度

23．如图，某二次函数的图象是一条顶点为P（4，﹣4）的抛物线，它经过原点和点A，它的对称轴交线段OA于点M，点N在对称轴上，且点M、N关于点P对称，连接AN，ON．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A的坐标是（6，﹣3），请直接写出MN的长；
（3）若点A在抛物线的对称轴右侧运动时，则∠ANM与∠ONM有什么数量关系？并证明．



参考答案
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母用2B沿笔涂在对应的答题卡上.
1．2020的相反数是（　　）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：B．
2．已知长度单位1纳米＝10﹣9米，目前发现一种新型冠状病毒的直径为154纳米，用科学记数法表示154纳米是（　　）
A．1.54×10﹣7米 B．1.54×10﹣9米
C．0.154×10﹣6米 D．154×10﹣9米
【分析】首先把154纳米转化为米，再利用绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：154纳米＝154×10﹣9米＝1.54×10﹣7米．
故选：A．
3．一个正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，在该正方体中，和“国”字相对的字是（　　）

A．武 B．汉 C．加 D．油
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“中”与面“加”相对，面“国”与面“汉”相对，“武”与面“油”相对．
故选：B．
4．在一次数学竞赛活动中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10．则关于这组数据的结论不正确的是（　　）
A．众数是5 B．平均数是6 C．中位数是5 D．中位数是3
【分析】根据众数和中位数、平均数的定义分别计算可得．
解：这组数据的众数是5，平均数为＝6，
将数据重新排列为3、5、5、7、10，
所以中位数为5，
故选：D．
5．如图，已知平行四边形ABCD，点E在DC上，DE：EC＝2：1，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（　　）

A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝2：1，
∴DE：DC＝2：3，
∴DE：AB＝2：3，
∴C△DFE：C△BFA＝2：3．
故选：D．
6．不等式组的解集在数轴表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示即可得解．
解：，
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x＞﹣1，
在数轴上表示如下：．
故选：D．
7．如图，将一副直角三角板按照图中所示位置摆放，点C在边AO上，两条斜边互相平行，∠O＝∠BCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝45°，则∠ACB等于（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠FGC＝45°，再根据三角形外角的性质即可得出结果．
解：如图所示：
∵AF∥BE，
∴∠B＝∠FGC＝45°，
又∵∠A＝30°，
∴∠ACB＝∠FGC﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，
故选：A．

8．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点A（4，3）按逆时针方向旋转90°，得到点A′，则点A′的坐标为（　　）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，1） C．（﹣3，4） D．（3，﹣4）
【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B的坐标即可．
解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，4）．

故选：C．
9．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝60°；又BD＝2R，根据锐角三角函数的定义得BC＝R．
解：延长BO交⊙O于D，连接CD，
则∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵BD＝2R，
∴DC＝R，
∴BC＝R，
故选：D．

10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①b2＞4ac；②b+2a＜0；③当x＜﹣，y随x的增大而增大；④a﹣b+c＜0中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义可对①进行判断；根据对称轴方程得到b＝3a，则b+2a＝5a，再利用抛物线的开口向下得到a＜0，则可对②进行判断；根据二次函数的性质对③进行判断；利用x＝﹣1时，y＞0可对④进行判断．
解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴b＝3a，
∴b+2a＝5a，
而抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴b+2a＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＜﹣，y随x的增大而增大，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，所以④错误．
故选：C．
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算：（π﹣3）0+（﹣）2＝　4　．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
解：原式＝1+4
＝4．
故答案为：4．
12．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　k≤0且k≠﹣1　
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0且k≠﹣1．
故答案为k≤0且k≠﹣1．
13．一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取2个小球，则恰为一个红球，一个白球的概率为　　．
【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出一个红球，一个白球的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中一个红球，一个白球的结果数为12，
所以恰为一个红球，一个白球的概率＝．
故答案为．
14．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是　8﹣8　．

【分析】根据题意可以求得∠BAE和∠DAE的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与△ADE的面积之差的和，本题得以解决．
解：连接AE，
∵∠ADE＝90°，AE＝AB＝4，AD＝2，
∴sin∠AED＝，
∴∠AED＝45°，
∴∠EAD＝45°，∠EAB＝45°，
∴AD＝DE＝2，
∴阴影部分的面积是：（4×﹣）+（）＝8﹣8，
故答案为：8﹣8．

15．如图，已知等边△ABC，边长为3，点M为AB上一点，且BM＝1，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连接MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为P．当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为　1或5　

【分析】分两种情形：如图1中，当点P落在AC上时，解直角三角形求出AN即可．如图2中，当点P落在BC上时，利用相似三角形的性质构建方程组解决问题即可．
解：如图1中，当点P落在AC上时，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵AB＝3，BM＝1，
∴AM＝2，
∵∠ANM＝90°，
∴∠AMN＝30°，
∴AN＝AM＝1．
如图2中，当点P落在BC上时，

∵∠BPN＝∠C+∠PNC＝∠BPM+∠MPN，
又∵∠B＝∠C＝60°，∠A＝∠MPN＝60°，
∴∠BPM＝∠PNC，
∴△PBM∽△NCP，
∴＝＝，
∵AN＝PN，AM＝PM＝2，
∴＝＝，
解得AN＝5﹣或5+（舍弃），
综上所述，AN的值为1或5﹣．
故答案为1或5﹣．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x为整数，且满足0＜x＜．
【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，求出x后代入，即可求出答案．
解：原＝÷
＝•
＝﹣，
∵x为整数，且满足0＜x＜，
∴x为1或2，
但是当x＝1时，分式无意义，
所以只有x＝2，
当x＝2时，原式＝﹣．
17．某校为了调查学生预防“新型冠状病毒”知识的情况，在全校随机抽取了一部分学生进行民意调查，调查结果分为A，B，C三个等级，其中“A：非常了解”、“B：了解”“C：不了解”，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图，请根据统计图，解答下列问题：

（1）这次抽查的学生为　500　人；
（2）求等级A在扇形统计图中所占圆心角的度数；
（3）若该校有学生2200人，请根据抽样调查的结果、估计该校约有多少学生对预防“新型冠状病毒”知识已经了解．
【分析】（1）利用B类人数除以所占百分比可得抽取总人数，计算即可得解；
（2）根据用360°乘以A类所占的百分比可得答案；
（3）利用样本估计总体的方法计算即可．
解：（1）280÷56%＝500（人），
答：抽查的学生为500人，
故答案为：500；

（2）360°×＝118.8°，
答：等级A在扇形统计图中所占圆心角的度数为118.8°；

（3）2200×＝1958（人），
答：该校约有1958名学生对预防“新型冠状病毒”知识已经了解．
18．已知，如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB于点A，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC＝DA，交圆O于点C（A，C不重合），连接BC，CE．
（1）求证：CD是圆O的切线；
（2）若四边形OECB是菱形，圆O的直径AB＝2，求AD的长．

【分析】（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD＝∠OAD＝90°；
（2）依据菱形的性质得到OE＝CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO＝60°，依据平行线的性质可知∠DOA＝60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AM⊥AB，
∴∠OAD＝90°．
∵OA＝OC，OD＝OD，AD＝DC，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OCD＝∠OAD＝90°．
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．

（2）∵四边形OECB是菱形，
∴OE＝CE．
又∵OC＝OE，
∴OC＝OE＝CE．
∴∠CEO＝60°．
∵CE∥AB，
∴∠AOD＝60°．
在Rt△OAD中，∠AOD＝60°，AO＝AB＝＝1，
∴AD＝．

19．今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上，测得B，E间距离为8.7米，楼AB高12米．求小华家阳台距地面高度CD的长．（结果精确到1米，≈1.41，≈1.73）

【分析】作CH⊥AB于H，得到BD＝CH，设CD＝x米，根据正切的定义分别用x表示出CH、ED，由题意列出方程，解方程即可．
解：作CH⊥AB于H，如图所示：
则四边形HBDC为矩形，
∴BD＝CH，BH＝CD，
由题意得，∠ACH＝30°，∠DCE＝45°，
设BH＝CD＝x米，则AH＝（12﹣x）米，
在Rt△AHC中，∵tan∠ACH＝＝，
∴HC＝AH＝（36﹣x）米，
∵∠CDE＝90°，
∴∠CED＝90°﹣45°＝45°＝∠DCE，
∴ED＝CD＝x米，
∵CH＝BD＝BE+ED
∴8.7+x＝36﹣x．
∵≈1.73，
解得x≈10．
答：小华家阳台距地面高度CD的长约为10米．

20．今年疫情防控期间，某小区卫生所决定购买A，B两种口罩，以满足小区居民的需要．若购买A种口罩9包，B种口罩4包，则需要700元；若购买A种口罩3包，B种口罩5包，则需要380元．
（1）购买人A，B两种口罩每包各需多少元？
（2）卫生所准备购进这两种口罩共90包，并且A种口罩包数不少于B种口罩包数的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）直接根据题意得出购买A种口罩9包+B种口罩4包的费用＝700，购买A种口罩3包+B种口罩5包费用＝380元，分别得出等式求出答案；
（2）根据A种口罩包数不少于B种口罩包数的2倍，得出购买A种口罩的数量取值范围，进而结合一次函数的性质得出答案．
解：（1）设购买A种口罩每包x元，B种口罩每包y元，根据题意可得：
，
解得：，
答：购买A种口罩每包60元，B种口罩每包40元；

（2）设购买A种口罩m包，则B种口罩（90﹣m）包，
根据题意可得：m≥2（90﹣m），
解得：m≥60，
∵购买口罩的费用w＝60m+40（90﹣m）
＝20m+3600，
∵20＞0，
∴m越小费用越低，
∵m≥60，所以m＝60，90﹣60＝30，
∴最省钱方案，A种口罩60包，B种口罩30包．
21．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．

【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
解：（1）由已知，OA＝6，OB＝12，OD＝4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD＝20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n＝xy＝﹣80
∴反比例函数解析式为：y＝﹣
把点A（6，0），B（0，12）代入y＝kx+b得：

解得：
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+12
（2）当﹣＝﹣2x+12时，解得
x1＝10，x2＝﹣4
当x＝10时，y＝﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE＝S△CDA+S△EDA＝
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示各个象限一次函数图象不高于反比例函数图象，
∴由图象得，不等式kx+b≤的解集﹣4≤x＜0或x≥10．
22．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．
（1）发现问题：
如图①，若E是线段AC的中点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系；
（2）探究问题．
如图②，若E是线段AC上任意一点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系是什么？请证明你的猜想；
（3）解决问题：
如图③，若E是线段AC延长线上任意一点，其他条件不变，且∠EBC＝30°，AB＝3，请直接写出AF的长度

【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA＝60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE＝CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE＝∠F，即可得出结论；
（2）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB＝AC，∠ACB＝60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，然后由SAS证得△BGE≌△ECF，即可得出结论；
（3）连接EF、过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，证明同（2），得出BE＝EF，证明∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝90°，∠BEA＝30°，则AE＝2AB＝6，BE＝＝3＝EF，得出∠EBC＝∠EFB＝30°，∠BEF＝120°，则∠AEF＝∠BEF﹣∠BEA＝90°，由勾股定理即可得出结果．
解：（1）猜想线段BE与EF的数量关系为：BE＝EF；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，
∵CF＝AE，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F＝30°，
∴BE＝EF；
（2）猜想线段BE与EF的数量关系为：BE＝EF；理由如下：
过点E作EG∥BC交AB于点G，如图②所示：
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，AB＝AC，
∴∠ECF＝120°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF；
（3）连接EF，过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，如图③所示：
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，
∴BG＝CE，∠AGE＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF，
∵∠ABC＝60°，∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝60°+30°＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BEA＝180°﹣∠ABE﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
在Rt△ABE中，∠BEA＝30°，
∴AE＝2AB＝2×3＝6，BE＝＝＝3，
∴EF＝3，
∵BE＝EF，
∴∠EBC＝∠EFB＝30°，
∴∠BEF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠AEF＝∠BEF﹣∠BEA＝120°﹣30°＝90°，
由勾股定理得：AF＝＝＝3．


23．如图，某二次函数的图象是一条顶点为P（4，﹣4）的抛物线，它经过原点和点A，它的对称轴交线段OA于点M，点N在对称轴上，且点M、N关于点P对称，连接AN，ON．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A的坐标是（6，﹣3），请直接写出MN的长；
（3）若点A在抛物线的对称轴右侧运动时，则∠ANM与∠ONM有什么数量关系？并证明．

【分析】（1）根据二次函数图象的顶点设出二次函数的关系式，再很据二次函数图象经过原点，求出a的值，即可得出二次函数的关系式；
（2）设直线OA的解析式为y＝kx，将A点代入，求出直线OA的解析式，再把x＝4代入y＝﹣x，求出M的坐标，根据点M、N关于点P对称，求出N的坐标，即可求解；
（3）过A作AH垂直于直线l，直线l与x轴交于点D，由A在二次函数图象上，设A横坐标为m，将x＝m代入二次函数解析式，表示出纵坐标，确定出A的坐标，再由O的坐标，表示出直线AO的解析式，进而表示出M，N及H的坐标，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ANM，化简后得到tan∠ONM＝tan∠ANM，可得出∠ONM＝∠ANM，得证．
解：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，﹣4），
∴设二次函数的关系式为y＝a（x﹣4）2﹣4，
又∵二次函数图象经过原点（0，0），
∴0＝a（0﹣4）2﹣4，
解得a＝，
∴二次函数的关系式为y＝（x﹣4）2﹣4；

（2）设直线OA的解析式为y＝kx，将A（6，﹣3）代入得﹣3＝6k，解得k＝﹣，
∴直线OA的解析式为y＝﹣x，
把x＝4代入y＝﹣x得y＝﹣2，
∴M的坐标是（4，﹣2），
又∵点M、N关于点P对称，
∴N的坐标是（4，﹣6），
∴MN＝4；

（3）相等，理由：
过A作AH⊥l于H，l与x轴交于点D，如图所示：

设A（m，m2﹣2m），又O（0，0），
∴直线AO的解析式为y＝x＝（m﹣2）x，
则M（4，m﹣8），N（4，﹣m），H（4，m2﹣2m），
∴OD＝4，ND＝m，HA＝m﹣4，NH＝ND﹣HD＝m2﹣m，
在Rt△OND中，tan∠ONM＝＝，
在Rt△ANH中，tan∠ANM＝＝＝，
∴tan∠ONM＝tan∠ANM，
则∠ANM＝∠ONM．