专题02 动点引起的二次函数中的面积问题-2022年中考数学动点问题中的一题多解

专题02 动点引起的二次函数中的面积问题

【三角形面积求法】

（1）公式法：底×高÷2

S△ABC=

（2）割补法，“铅垂高、水平宽”

S△ABC=S△ACD+S△BCD                                              S△ABC=S△ACD－S△BCD

=CD·AE+CD·BF                                =CD·AE－CD·BF

=CD（AE+BF）                                     =CD·BG

=CD·BG                         其中，称CD为△ABC的铅垂高，BG为△ABC的水平宽.

（3）相似（三角函数）法

如图，易知∠GBA=∠DCH=α，则cos∠GBA=cos∠DCH，

∴，即BG·CD=AB·CH

∴BG·CD=AB·CH=S△ABC.

【一题多解 · 典例剖析】

例题1．（2021·辽宁省阜新中考）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，，过点B的直线交抛物线于点C．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求面积的最大值．

【答案】（1）y=x2－2x－3；（2）.

【解析】解：（1）将点A（－1,0），B（3,0）代入y=ax2+bx－3中，得：

解得：a=1，b=－2

即抛物线表达式为：y=x2－2x－3．

（2）方法一：割补法

如图，过C、P分别作x轴的垂线，垂足为H，Q，连接PH

则S△PBC=S△PCH+S△PBH－S△BCH

      =·CH·QH+·BH·PQ－×CH·BH

设P（m，m2－2m－3），其中<m<3，

联立y=x－2，y=x2－2x－3，得：

x=3，y=0；x=，y=

即C（，）

∴CH=，QH=m+，BH=，PQ=－ m2+2m+3，

则S△PBC=×（m+）+×（－ m2+2m+3）－××

=－m2+m+

=－（m－）2+

∵－<0，

∴当m=时，△PBC面积取最大值，最大值为.

方法二：铅垂高·水平宽法

过点P作PD⊥x轴于D，交BC于E，过C作CF⊥PD于F

则S△PBC=S△PCE+S△PBE

=PE（CF+BD）

=PE·（3+）

设P（m，m2－2m－3），其中<m<3，则E（m，m－2），

PE=m－2－（m2－2m－3）=－ m2+m+1

∴S△PBC=（－ m2+m+1）×

       =－（m－）2+

∵－<0，

∴当m=时，△PBC面积取最大值，最大值为.

方法三：底乘高 + 相似三角形法

如图，过点P作PH⊥BC于H，过P作PM⊥x轴于M，交BC于D，过点C作CQ⊥x轴于Q，

则∠HPD=∠ABC，

∴Rt△PDH∽Rt△BCQ

∴，即PH·BC=BQ·PD

∴S△PBC=·BC·PH

=BQ·PD

设P（m，m2－2m－3），其中<m<3，则D（m，m－2），

S△PBC=××（－ m2+m+1）

=－（m－）2+

∵－<0，

∴当m=时，△PBC面积取最大值，最大值为.

【一题多解 · 对标练习】

练习1．（2021·黑龙江齐齐哈尔中考）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为x=2，点D为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；

（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的对称轴为x==2，

∴a=，即y=x2+2x+c，

∵OA=1，A在抛物线上，

则将A（－1,0）代入y=x2+2x+c得：c=，

即抛物线的解析式为：y=x2+2x+.

（2）由y=x2+2x+知，D点坐标为（2，），C（0，）

∴CD=，

故答案为：.

（3）

方法一：割补法

设E（m，m2+2m+），

如图，连接OE，过E作坐标轴垂线，垂足分别为F、H，

则S△BCE=S△OCE+S△OBE－S△OBC

=OC·EF+OB·EH－OB·OC

=××m+×5×（m2+2m+）－×5×

=（m－）2+

当m=时，△BCE面积取最大值，最大值为.

方法二：铅垂高·水平宽法

如图，过点E作x轴的垂线，交BC于点F，

由A（－1,0），抛物线对称轴为x=2，得B（5,0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

将点B、C坐标代入得：，

解得：，

则直线BC的解析式为：y=x+，

设点E的坐标为（m，m2+2m+），则F（m，m+），则0<t<5，

则EF=m2+2m+－（m+）

= m2+m

S△BCE=·OB·EF

=（ m2+m）×5

=（m－）2+

当m=时，△BCE面积取最大值，最大值为.

方法三：公式+相似法

如图，过点E作EH⊥BC于H，过E作EF⊥x轴于F交BC于M，

易知∠CBO=∠HEM，

则Rt△OBC∽Rt△HEM

∴，即BC·EH=OB·EM

S△BCE=·BC·EH

= OB·EM

=×5（ m2+m）

=（m－）2+

当m=时，△BCE面积取最大值，最大值为.

【多题一解 · 典例剖析】

例题2．（2021·江苏省连云港市中考）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．

（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；

（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标.

【答案】（1）m=－1，y=x－3；（2）（1,0）（2,1），，.

【解析】解：（1）将（3，0）代入抛物线解析式得：

m=0（舍）或m=－1

∴m=－1

即抛物线解析式为：y=－x2+4x－3，即C（0，－3）

设直线BC的解析式为y=kx+b，

将（0，－3），（3,0）代入y=kx+b得：

，

解得k=1，b=－3，

即直线BC的函数表达式为y=x－3．

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=－x2+4x－3

令y=0，得：x=1或x=3，即A（1,0），AB=2

①如图，当点P在直线BC上方的抛物线上时，

过P作PE∥y轴交直线BC于E，

则S△PBC=OB·PE，S△ABC=AB·OC=3

∴OB·PE=3

即PE=2，

设P（m，－m2+4m－3），则E（m，m－3）

∴－m2+4m－3－（m－3）=2

解得：m=1或m=2

即P（1,0）或（2,1）

②如图，当P在直线BC下方的抛物线上时，过P作y轴平行线交直线BC于E

由①知，PE=2

∴m－3－（－m2+4m－3）=2

解得：m=或m=

即P（，）或（，）

综上所述，答案为：（1,0）（2,1），，.

【多题一解 · 对标练习】

练习2．（2021·江苏省扬州市中考改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点．、，与y轴交于点C．

（1）________，________；

（2）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标．

【答案】（1）－2，－3；（2）（4，5）.

【解析】解：（1）∵点A和点B在二次函数y=x2+bx+c图像上，

∴，

解得：，

故答案为：－2，－3；

（2）

如图，过P作y轴平行线，交直线BC于D，交直线AC于E，

由A（－1,0），B（3,0），C（0,－3）得：

直线AC的解析式为：y=－3x－3

直线BC的解析式为：y=x－3

设P（m，m2－2m－3），则E（m，－3m－3），D（m，m－3）

由S△APC=S△CPB，得：

·OA·PE=·OB·PD

即OA·PE= OB·PD

PE=3PD

∴m2－2m－3－（－3m－3）=3[ m2－2m－3－（m－3）]

解得：m=0（舍）或m=5

即P（5，12）.

【多题一解 · 典例剖析】

例题3．（2021·广西柳州市中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面程为，求的最大值．

【答案】（1）y=x2－x；（2）.

【解析】解：（1）将（－1,0），（3,0），（0，）代入y=ax2+bx+c得：

解得：

故抛物线的解析式为：y=x2－x

（2）

如图，过M作MH⊥BC于H，过A作AD⊥BC于D，过M作ME⊥x轴于E交BC于F

则,

由∠BFE=∠HFM知，∠FMH=∠OBC，

∴Rt△OBC∽Rt△HMF，

∴

由（1）知，OB=3，OC=，BC=，可得：AD==

∴，即MH=FM

∴===FM

由（3,0），（0，）知直线BC的解析式为y=x

设M（m，m2－m），则F（m，m）

∴FM=m－(m2－m）

=－m2+m，

∴=FM

=（－m2+m）

=－（m－）2+

∴当m=时，取最大值，最大值为.

【多题一解 · 对标练习】

练习3．（2021·四川省巴中市中考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值.

【答案】（1）y=x2－x－3；（2）P（3，），.

【解析】解：（1）将点A（－2,0），B（6,0），C（0，－3）代入y＝ax2+bx+c得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=x2－x－3；

（2）

如图，过P点作直线l∥y轴，交x轴于E，交BC于F；

过P作PD⊥BC于D，过A作AH⊥BC于H，

则PD∥AH，

∴,

∵∠DFP=∠EFB，

∴∠EBF=∠DPF

∴Rt△OBC∽Rt△DPF

∴，

∵A（－2,0），B（6,0），C（0，－3）

∴OB=6，OC=3，BC=，AB=8，

∴AH=AB·OC÷BC=，

∴PD==

=

=

由B（6,0），C（0，－3）知直线BC解析式为：y=x－3，

设P（m，m2－m－3），则F（m，m－3），则PF=m－3－（m2－m－3）=－ m2+m

∴=PF

=（－ m2+m）

=－（m－3）2+

∴当m=3时，取最大值，最大值为.