专题03 动点引起的相似三角形存在性问题（解析版）

专题04 动点引起的相似三角形存在性问题

【相似三角形存在性】

以A、B、C为顶点的三角形与已知△DEF相似，其中，∠ABC=∠DEF

分类讨论：①△ABC∽△DEF；②△CBA∽△DEF

可得到：；，

特殊地，当∠ABC=∠DEF=90°时，可借助tan∠BAC=tan∠DFE或tan∠BCA=tan∠DFE解答问题.

【一题多解 · 典例剖析】

例题1. （2021·山东省济宁市中考）如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F．

（1）求抛物线解析式；

（2）求证：；

（3）P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=－x2+2x+3；（2）见解析；（3）存在，点P 的横坐标为或±．

【解析】解：（1）∵直线分别交x轴、y轴于点A，B

∴A（3,0），B（0，），

又抛物线经过A（3，0），D（0，3），

∴，

解得：

即抛物线的解析式为y=－x2+2x+3；

（2）由y=－x2+2x+3得，抛物线对称轴为x=1

设直线AD的解析式为：y=kx+a，

将A（3，0），D（0，3）代入得：

，

解得

即直线AD的解析式为：y=－x+3，

∴E（1，2），G（1，0），

在Rt△OEG中，知tan∠OEG= ，

在Rt△OAB中，tan∠BAO=，

∴∠OEG=∠BAO，

∵∠OEG+∠EOG=90°

∴∠BAO+∠EOG=90°

即OE⊥AB.

（3）存在.

∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1，

∴C（－1，0），

∴AC=3－（－1）=4，

∵OA=OD=3，∠AOD=90°，

∴，

设直线CD解析式为y=mx+n，则：

，解得

∴直线CD解析式为y=3x+3，

易知，∠MAO=∠COD，

分类讨论：

①当△AOM∽△ACD时，

方法一：解析式法

欲求P点坐标，需求直线OP的解析式，再与抛物线解析式联立即可.

可知，OM∥CD

即直线OP的解析式为：y=3x，

联立y=3x，y=－x2+2x+3得：

x=

即P点横坐标为.

方法二：比例法

易知,,

∴

即

∴AN=，ON=

即M（，）

∴直线OM解析式为：y=3x

联立y=3x，y=－x2+2x+3得：

x=.

方法三：设参数法

设M（m，－m+3），0<m<3，A（3,0）

易知，，即

即AM=

∴（3－m）2+（－m+3）2=（）2

解析：m=或m=（舍）

即M（，）

∴直线OM解析式为：y=3x

联立y=3x，y=－x2+2x+3得：

x=.

②当△AMO∽△ACD时，

方法一：比例法

易知,

即，

∴AM=2

由△AMN为等腰直角三角形，知MN=AN=2，

∴ON=1，即M（1,2）

∴直线OM的解析式为y=2x，

联立y=2x，y=－x2+2x+3得：

x=±

方法二：设参数法

设M（m，－m+3），0<m<3

由AM=2得：（m－3）2+（－m+3）2=（2）2

解得：m=1或m=5（舍）

∴直线OM的解析式为y=2x，

联立y=2x，y=－x2+2x+3得：

x=±

综上所述，点P的横坐标为或±．

【一题多解 · 对标练习】

练习1．（2021·湖南省邵阳市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．

（1）求抛物线的对称轴．

（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．

①求抛物线的解析式．

②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）x=2.5；（2）①y=－x2+x+2；②1或.

【解析】解：（1）∵抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，

∴抛物线对称轴为：x=（1+4）÷2=2.5；

（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（－1,0），（2,0），

将点（－1,0），（2,0），a=－1，

代入抛物线解析式得：

y=－x2+x+2.

②根据①中的函数关系式，可得:

A（2,0），B（－1,0），C（0,2），D（m，－m2+m+2），其中0<m<2

可知∠BOC=∠DEO=90°，

以点O，D，E为顶点的三角形与△OBC相似有两种情况，

（i）当△ODE∽△BCO时，

方法一、比例法

则，即，

解得m=1或－2（舍），

方法二、三角函数

tan∠BOC=tan∠ODE

即，

解得：m=1或－2（舍），

（ii）当△ODE∽△CBO时，

方法一、比例法

则，即，

解得：

方法二、三角函数

tan∠BOC=tan∠DOE

即，

解得：

综上所述，满足条件的m的值为1或．

【多题一解 · 典例剖析】

例题2．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，（1,2）或．

【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，

∴A（－2,0）、B（4,0）、C（0,8），

设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，

∴

解得：

∴二次函数的解析式为y=－x2+2x+8；

（2）存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，

理由如下：

由（1）知抛物线对称轴为直线：x=1，

设直线BC的解析式为y=kx+t，将点B、C坐标代入可得：

，

解得：，

∴直线BC的解析式为y=－2x+8，

∴点M（1,6），N（1,0），

∴BN=3，MN=6，BM=3，CM=，

由∠BMN=∠CMP知，分两种情况讨论：

①当∠CPM=∠MNB=90°时，如图所示：

易知CP∥x轴，

∴点P坐标为（1,8）.

②当∠PCM=∠MNB=90°时，如图所示：

∴cos∠CMP=cos∠MNB

即，

∴

∴PM=，

即点P坐标为.

综上所述，符合要求的P点坐标为（1,8）或.

【多题一解 · 对标练习】

练习2．（2021·四川省遂宁市中考）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．

（1）求抛物线的解析式和m的值；

（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

【答案】（1）y=（x+1）2－4；m=2；（2）存在，（0,12）或（0,14.5）.

【解析】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，对称轴为直线x=－1，

∴A（1，0），

设二次函数解析式为：y=a(x－1)(x+3)，

把C（0，－3）代入得：

－3=a(0－1)(0+3)，

解得：a=1，

即二次函数解析式为：y= (x－1)(x+3)，即：y=（x+1）2－4，

∵直线y＝－2x＋m经过点A，

∴0=－2×1+m，解得：m=2；

（2）由（1）得：直线AF的解析式为：y=－2x+2，

又直线y=－2x+2与y轴交于点D，与抛物线交于点E，

∴当x=0时，y=2，即D（0，2），

联立，解得：，，

∵点E在第二象限，

∴E（－5，12），

以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，由∠EDP=∠ADO知，分两种情况讨论.

①当∠EPD=∠AOD=90°时，

过点E作EP⊥y轴于点P，

此时P（0，12）；

②当∠PED=∠AOD=90°时，

过点E作EP’⊥AE，

则tan∠ADO=tan∠PEP’，

∴，即：，

解得：PP’=2.5，

此时P’（0，14.5），

综上所述：点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）.

练习3. （2021·四川省泸州市中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点

（1）求证：∠ACB=90°

（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．

①求DE+BF的最大值；

②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标．

【答案】（1）（2）①9；②（4,6）或（3，）．

【解析】解：（1）在中，当x=0，y=4

即C（0,4）

当y=0时，即

解得：x=－2或x=8

即A(－2,0)，B（8,0）

∴AB=10，AC=2，BC=4

则102=（2）2+（4）2

即AB2=AC2+BC2

∴∠ACB=90°

（2）①设直线BC的解析式为：y=kx+b，将（0,4），（8,0）代入得：

，解得：k=－0.5，b=4

即直线BC解析式为y=－0.5x+4

设D（m，），

则BF=8－m，DE=

∴DE+BF=+8－m

=

∵<0

∴当m=2时DE+BF取最大值，最大值为9.

②∵点G是AC的中点，

在Rt△AOC中，OG=AG=

即△AOG为等腰三角形，

∵∠CAO+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90°

∴∠CAO=∠OCB

又OC∥DF

∴∠OCB=∠CED

∴∠CAO=∠CED

设D（m，），则E（m，－0.5m+4），DE=

当以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，

分两种情况讨论：

①△ECD∽△AOG

则，

即，

∴CE=

又OC∥DF

∴，即

∴CE=

∴=

解得：m=0（舍）或m=3

即D（3，）

②△EDC∽△AOG，

则，

即，

∴CE=

又OC∥DF，

知，CE=

∴=

解得：m=0（舍）或m=4

即D（4,6）

综上所述，D点坐标为（3，）或（4,6）．