专题05 动点引起的数轴（直线）上存在性问题（解析版）

专题05 动点引起的数轴（直线）上存在性问题

【一题多解 · 典例剖析】

例题1. 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上A点左侧的一点，且A、B两点之间的距离AB=14个单位长度．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）点B表示的数为　   　，点P表示的数为　          　（用含t的代数式表示）；

（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q；

（3）点P在运动的过程中，如果点P、点O和点B三个点中，在不重合的情况下，其中一个点到其他两个点的距离相等，那么请求出所有满足要求的时间t．

【答案】（1）-6，8-5t；（2）7秒；（3）t=秒或t= 秒或t=4秒．

【解析】解：（1）数轴上点B表示的数为8-14=-6；点P表示的数为8-5t；
故答案为：-6，8-5t；
（2）由题意得：点P表示的数为8-5t；点Q表示的数为-6-3t；

点P追上点Q，即P与点Q重合，

即8-5t=-6-3t，

解得，t=7；

（3）点P在运动的过程中，

方法一、先求点表示的数，再求时间

①当点O是PB中点时，点P表示的数为6，
即t=；

②当点P是OB中点时，点P表示的数为-3，
即t= ；

③当点B是OP中点时， 点P表示的数为-12，

即t=4

方法二、直接求时间

①当点O是PB中点时，

∴，解得：t=

②当点P是OB中点时，

∴，解得：t=

③当点B是OP中点时，

∴，解得：t=4

综上所述，当t=秒或t= 秒或t=4秒时，其中一个点到其他两个点的距离相等．

【一题多解 · 对标练习】

练习1. 已知数轴上A，B两点对应数分别为﹣2和4，P为数轴上一动点，对应数为x．

（1）若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．

（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离之和为10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

（3）若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分和1个单位长度/分，则经过多长时间点P为AB的中点？

【答案】点P对应的数为0或2；（2）存在；（3）经过2分钟点P为AB的中点．

【解析】解：（1）∵P为线段AB的三等分点，且点A、B的对应的数分别为﹣2，4，

∴点P对应的数为0或2．

（2）存在．

设点P对应的数为x，

∵P点到A点、B点距离之和为10，AB=6，

∴﹣2﹣x+4﹣x＝10或x+2+x﹣4＝10，

解得：x＝﹣4或x＝6．

（3）设经过t 分点P为AB的中点，

方法一、

由题意知，A、P的速度相等，运动方向一致，则AP的长度保持不变，为2

∴当P为AB中点时，PB=2，即AB=4

∴t=（6-4）÷（2-1）=2分

方法二、

由题意得：A点表示的数为（﹣t﹣2），B点表示的数为（﹣2t+4），P表示的数为 –t，

∴（﹣t﹣2）+（﹣2t+4）＝2（﹣t），

解得：t＝2，

即经过2分钟点P为AB的中点．

【多题一解 · 典例剖析】

例题2. 数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．

例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．

（1）若点A表示数﹣2，点B表示数1，下列各数﹣1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是　　；

（2）点A表示数﹣10，点B表示数20，P为数轴上一个动点：

①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，则此时点P表示的数是　　；

②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．

【答案】（1）C1，C3；（2）①-40或0或10；②50或80或35.

【解析】解：（1）∵点A表示数﹣2，点B表示数1，C1表示的数为﹣1，

∴AC1＝1，BC1＝2，

∴C1是点A、B的“关联点”；

∵点A表示数﹣2，点B表示数1，C2表示的数为2，

∴AC2＝4，BC1＝1，

∴C2不是点A、B的“关联点”；

∵点A表示数﹣2，点B表示数1，C3表示的数为4，

∴AC3＝6，BC3＝3，

∴C3是点A、B的“关联点”；

∵点A表示数﹣2，点B表示数1，C4表示的数为6，

∴AC4＝8，BC4＝5，

∴C4不是点A、B的“关联点”；

故答案为：C1，C3；

（2）①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点 P 表示的数为x，

当点P在A的左侧时，则有：2PA＝PB，即2（﹣10﹣x）＝20﹣x，

解得：x＝﹣40；

当点P在A、B之间时，则有2PA＝PB或PA＝2PB，即：

2（x+10）＝20﹣x或x+10＝2（20﹣x），

解得x＝0或x＝10；

综上所述，点P表示的数为﹣40或0或10．

故答案为：﹣40或0或10；

②若点P在点B的右侧，

若点P是点A、B的“关联点”，则有2PB＝PA，即2（x﹣20）＝x+10，

解得x＝50；

若点B是点A、P的“关联点”，则有2AB＝PB或AB＝2PB，即2×（20+10）＝x﹣20或20+10＝2（x﹣20），

解得x＝80或x＝35；

若点A是点B、P的“关联点”，则有2AB＝PA，即2×（20+10）＝x+10，

解得x＝50．

综上所述点P表示的数为50或80或35．

【多题一解 · 对标练习】

练习2．如图，数轴上有点A、B两个点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．

（1）求点C所表示的数；

（2）动点P、Q分别自A、B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长度.

【答案】（1）﹣8；（2）2．

【解析】解：（1）∵OA=16，点B所表示的数为20，

∴AB=4，

又AC=6AB

∴AC=24

∴C表示的数为-8；

（2）设运动时间为t，

点P表示的数为16-2t，Q表示的数为20-2t

∵E为CP中点，F为CQ中点

∴E表示的数为=4-t

F表示的数为=6-t

∴EF=|4-t-（6-t）|=2.

练习3．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒：

(1)写出数轴上点B表示的数为________，点P表示的数为_______(用含的代数式表示)；

(2)动点Q从点B出发，以每杪3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？

(3)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变,请你画出图形，并求出线段MN的长．

【答案】（1）-6，8-5t；（2）7；（3）不变，长度是7

【解析】解：（1）8-14=-6，

点B表示的数是-6，

点P表示的数是8-5t，

故答案是：-6，8-5t；

（2）点Q表示的数是-6-3t，

-6-3t=8-5t，

解得t=7，

点P运动7秒时追上点Q；

（3）线段MN的长度不发生变化，长度一直是7，

如图，当点P在点A和点B之间时，

，

如图，当点P运动到点B左侧时，

，

∴线段MN的长度不变，一直是7．

练习4．如图，已知数轴上点A表示的数为，B是数轴上位于点A右侧一点，且．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）数轴上点B表示的数为________；点P表示的数为__________（用含t的代数式表示）．

（2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）：当点P到达A点时；P、Q停止运动．设运动时间为t秒．

①当点P与点Q重合时，求t的值，并求出此时点P表示的数．

②当点P是线段的三等分点时，求t的值．

【答案】（1）6，-3+2t；（2）①t=3，点P表示的数是3；②或或或

【解析】解：（1）-3+9=6，点B表示的数是6，

点P表示的数是-3+2t，

故答案是：6，-3+2t；

（2）①点P运动的长度是2t，点Q运动的长度是t，

2t+t=9，解得t=3，

点P表示的数是-3+2×3=3；

②P、Q重合前，

当AP=2PQ时，

2t+t+t=9，解得，

当2AP=PQ时，

2t+4t+t=9，解得；

P、Q重合后，

当AP=2PQ时，

2（6-t）=2（t-3），解得，

当2AP=PQ时，

4（6-t）=t-3，解得；

综上：t的值为或或或．

练习5．数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，AB=BC=20．

（1）点A对应的数是．点B对应的数是．

（2）若数轴上有一点D，且BD=4，则点D表示的数是什么?

（3）动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值．

【答案】（1）-30；-10；（2）-14或-6；（3）t的值为4或.

【解析】解：（1）∵AB=BC=20，点C对应的数是10，点A在点B左侧，点B在点C左侧，

则点B对应的数为10-20=-10，点A对应的数为-10-20=-30．

故答案为：-30；-10．

（2）点B对应的数为-10，BD=4

点D表示的数为-14或-6；

（3）当运动时间为t秒时，点P对应的数是4t-30，点Q对应的数是t-10．

依题意，得：|t-10-(4t-30)|=8，

解得：t=4或t=．

即t的值为4或．

练习6． 如图，数轴上有A，B两点，所表示的有理数分别为a、b，已知AB=12，原点O是线段AB上的一点，且OA=2OB．

（1）a=　   　，b=　   　．

（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．

①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；

②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中点M行驶的总路程，并直接写出点M最后位置在数轴上所对应的有理数．

【答案】（1）﹣8；4；（2）①t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ=4；②点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．

【解析】解：（1）∵AB=12，AO=2OB，

∴AO=8，OB=4，

∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4，

∴a=﹣8，b=4．

故答案是：﹣8；4；

（2）①当点P与点Q重合时，如图，

2t=12+t，t=12，

则，当0＜t＜4时，如图，

AP=2t，OP=8﹣2t，BQ=t，OQ=4+t，

∵2OP﹣OQ=4，

∴2（8﹣2t）﹣（4+t）=4，

t=1.6，

当4＜t＜12时，如图，

OP=2t﹣8，OQ=4+t，

则2（2t﹣8）﹣（4+t）=4，解得t=8，

综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ=4；

②当点P到达点O时，8÷2=4，此时，OQ=4+t=8，即点Q所表示的实数为8，如图，

设点M运动的时间为t秒，

由题意得：2t﹣t=8，解得t=8，

此时，点P表示的实数为8×2=16，所以点M表示的实数也是16，

∴点M行驶的总路程为：3×8=24，

点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．

练习7. 已知数轴上点，，对应的数分别为-2，0，6，点是数轴上的一个动点．

（1）设点对应的数为.

①若点到点和点的距离相等，则的值是      ；

②若点在点的左侧，则       ，      （用含的式子表示）；

（2）若点以每秒1个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度向左运动，点以每秒12个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，点和点分别是和的中点，设运动时间为．

①求的长（用含的式子表示）；

②当时，请直接写出的值．

【答案】（1）① 2，②-2-x，6-x；（2）①7t+4，②．

【解析】解：（1）设点P对应的数为x.

①若点P到点A和点B的距离相等，则P是AB的中点，

x==2

故答案为：2；

②若点P在点A的左侧，则PA=-2-x，PB=6-x

故答案为：-2-x，6-x；

（2）∵点P以每秒1个单位长度的速度从点O向右运动，

∴点P表示的数为t,

∵点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，

∴点A表示的数为-2-3t,

∵点B以每秒12个单位长度的速度向右运动，

∴点B表示的数为6+12t,

∵点M和点N分别是AP和OB的中点，

∴点M表示的数为=-t-1，点N表示的数为6t+3

则MN=6t+3-(-t-1)=7t+4，

AB=12t+6-(-2-3t)=15t+8,

当t=5时，MN=39,AB=83,OP=5

∴=.