专题02 动点引起的二次函数中的面积问题（解析版）

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（1）公式法：底×高÷2
S△ABC=
（2）割补法，“铅垂高、水平宽”

S△ABC=S△ACD+S△BCD S△ABC=S△ACD－S△BCD
=CD·AE+CD·BF =CD·AE－CD·BF
=CD（AE+BF） =CD·BG
=CD·BG 其中，称CD为△ABC的铅垂高，BG为△ABC的水平宽.
（3）相似（三角函数）法
如图，易知∠GBA=∠DCH=α，则cs∠GBA=cs∠DCH，
∴，即BG·CD=AB·CH
∴BG·CD=AB·CH=S△ABC.
【一题多解 · 典例剖析】
例题1．（2021·辽宁省阜新中考）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，，过点B的直线交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求面积的最大值．
【答案】（1）y=x2－2x－3；（2）.
【解析】解：（1）将点A（－1,0），B（3,0）代入y=ax2+bx－3中，得：
解得：a=1，b=－2
即抛物线表达式为：y=x2－2x－3．
（2）方法一：割补法
如图，过C、P分别作x轴的垂线，垂足为H，Q，连接PH
则S△PBC=S△PCH+S△PBH－S△BCH
=·CH·QH+·BH·PQ－×CH·BH
设P（m，m2－2m－3），其中联立y=x－2，y=x2－2x－3，得：
x=3，y=0；x=，y=
即C（，）
∴CH=，QH=m+，BH=，PQ=－ m2+2m+3，
则S△PBC=×（m+）+×（－ m2+2m+3）－××
=－m2+m+
=－（m－）2+
∵－<0，
∴当m=时，△PBC面积取最大值，最大值为.
方法二：铅垂高·水平宽法
过点P作PD⊥x轴于D，交BC于E，过C作CF⊥PD于F
则S△PBC=S△PCE+S△PBE
=PE（CF+BD）
=PE·（3+）
设P（m，m2－2m－3），其中PE=m－2－（m2－2m－3）=－ m2+m+1
∴S△PBC=（－ m2+m+1）×
=－（m－）2+
∵－<0，
∴当m=时，△PBC面积取最大值，最大值为.
方法三：底乘高 + 相似三角形法
如图，过点P作PH⊥BC于H，过P作PM⊥x轴于M，交BC于D，过点C作CQ⊥x轴于Q，
则∠HPD=∠ABC，
∴Rt△PDH∽Rt△BCQ
∴，即PH·BC=BQ·PD
∴S△PBC=·BC·PH
=BQ·PD
设P（m，m2－2m－3），其中S△PBC=××（－ m2+m+1）
=－（m－）2+
∵－<0，
∴当m=时，△PBC面积取最大值，最大值为.
【一题多解 · 对标练习】
练习1．（2021·黑龙江齐齐哈尔中考）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为x=2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的对称轴为x==2，
∴a=，即y=x2+2x+c，
∵OA=1，A在抛物线上，
则将A（－1,0）代入y=x2+2x+c得：c=，
即抛物线的解析式为：y=x2+2x+.
（2）由y=x2+2x+知，D点坐标为（2，），C（0，）
∴CD=，
故答案为：.
（3）
方法一：割补法
设E（m，m2+2m+），
如图，连接OE，过E作坐标轴垂线，垂足分别为F、H，
则S△BCE=S△OCE+S△OBE－S△OBC
=OC·EF+OB·EH－OB·OC
=××m+×5×（m2+2m+）－×5×
=（m－）2+
当m=时，△BCE面积取最大值，最大值为.
方法二：铅垂高·水平宽法
如图，过点E作x轴的垂线，交BC于点F，
由A（－1,0），抛物线对称轴为x=2，得B（5,0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B、C坐标代入得：，
解得：，
则直线BC的解析式为：y=x+，
设点E的坐标为（m，m2+2m+），则F（m，m+），则0则EF=m2+2m+－（m+）
= m2+m
S△BCE=·OB·EF
=（ m2+m）×5
=（m－）2+
当m=时，△BCE面积取最大值，最大值为.
方法三：公式+相似法
如图，过点E作EH⊥BC于H，过E作EF⊥x轴于F交BC于M，
易知∠CBO=∠HEM，
则Rt△OBC∽Rt△HEM
∴，即BC·EH=OB·EM
S△BCE=·BC·EH
= OB·EM
=×5（ m2+m）
=（m－）2+
当m=时，△BCE面积取最大值，最大值为.
【多题一解 · 典例剖析】
例题2．（2021·江苏省连云港市中考）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标.
【答案】（1）m=－1，y=x－3；（2）（1,0）（2,1），，.
【解析】解：（1）将（3，0）代入抛物线解析式得：
m=0（舍）或m=－1
∴m=－1
即抛物线解析式为：y=－x2+4x－3，即C（0，－3）
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将（0，－3），（3,0）代入y=kx+b得：
，
解得k=1，b=－3，
即直线BC的函数表达式为y=x－3．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=－x2+4x－3
令y=0，得：x=1或x=3，即A（1,0），AB=2
①如图，当点P在直线BC上方的抛物线上时，
过P作PE∥y轴交直线BC于E，
则S△PBC=OB·PE，S△ABC=AB·OC=3
∴OB·PE=3
即PE=2，
设P（m，－m2+4m－3），则E（m，m－3）
∴－m2+4m－3－（m－3）=2
解得：m=1或m=2
即P（1,0）或（2,1）
②如图，当P在直线BC下方的抛物线上时，过P作y轴平行线交直线BC于E
由①知，PE=2
∴m－3－（－m2+4m－3）=2
解得：m=或m=
即P（，）或（，）
综上所述，答案为：（1,0）（2,1），，.
【多题一解 · 对标练习】
练习2．（2021·江苏省扬州市中考改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点．、，与y轴交于点C．
（1）________，________；
（2）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）－2，－3；（2）（4，5）.
【解析】解：（1）∵点A和点B在二次函数y=x2+bx+c图像上，
∴，
解得：，
故答案为：－2，－3；
（2）
如图，过P作y轴平行线，交直线BC于D，交直线AC于E，
由A（－1,0），B（3,0），C（0,－3）得：
直线AC的解析式为：y=－3x－3
直线BC的解析式为：y=x－3
设P（m，m2－2m－3），则E（m，－3m－3），D（m，m－3）
由S△APC=S△CPB，得：
·OA·PE=·OB·PD
即OA·PE= OB·PD
PE=3PD
∴m2－2m－3－（－3m－3）=3[ m2－2m－3－（m－3）]
解得：m=0（舍）或m=5
即P（5，12）.
【多题一解 · 典例剖析】
例题3．（2021·广西柳州市中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面程为，求的最大值．
【答案】（1）y=x2－x；（2）.
【解析】解：（1）将（－1,0），（3,0），（0，）代入y=ax2+bx+c得：
解得：
故抛物线的解析式为：y=x2－x
（2）
如图，过M作MH⊥BC于H，过A作AD⊥BC于D，过M作ME⊥x轴于E交BC于F
则,
由∠BFE=∠HFM知，∠FMH=∠OBC，
∴Rt△OBC∽Rt△HMF，
∴
由（1）知，OB=3，OC=，BC=，可得：AD==
∴，即MH=FM
∴===FM
由（3,0），（0，）知直线BC的解析式为y=x
设M（m，m2－m），则F（m，m）
∴FM=m－(m2－m）
=－m2+m，
∴=FM
=（－m2+m）
=－（m－）2+
∴当m=时，取最大值，最大值为.
【多题一解 · 对标练习】
练习3．（2021·四川省巴中市中考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值.
【答案】（1）y=x2－x－3；（2）P（3，），.
【解析】解：（1）将点A（－2,0），B（6,0），C（0，－3）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2－x－3；
（2）
如图，过P点作直线l∥y轴，交x轴于E，交BC于F；
过P作PD⊥BC于D，过A作AH⊥BC于H，
则PD∥AH，
∴,
∵∠DFP=∠EFB，
∴∠EBF=∠DPF
∴Rt△OBC∽Rt△DPF
∴，
∵A（－2,0），B（6,0），C（0，－3）
∴OB=6，OC=3，BC=，AB=8，
∴AH=AB·OC÷BC=，
∴PD==
=
=
由B（6,0），C（0，－3）知直线BC解析式为：y=x－3，
设P（m，m2－m－3），则F（m，m－3），则PF=m－3－（m2－m－3）=－ m2+m
∴=PF
=（－ m2+m）
=－（m－3）2+
∴当m=3时，取最大值，最大值为.