八年级数学 培优竞赛 专题02 乘法公式 讲义学案

专题02 乘法公式

例1  73  提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．

例2 （1）B  x－y＝（＋4a＋a）＋（－8b＋16）＝＋≥0，x≥y．

（2）B   3个等式相加得：＋＋＝0，a＝3，b＝－1，c＝1．a＋b＋c＝3－1＋1＝3．

例3  （1）  （2）4  （3）－5050

例4    提示：由a＋b＝1，＋＝2得ab＝－，利用＋＝（＋）（a＋b)－ab(＋)可分别求得＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝．

例5 （1）设n为自然数，则n（n＋1)(n＋2)(n＋3）＋1＝

（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝．

例6（1）设

－②，得ab＋bc＋ac＝，

∵－3abc＝（a＋b＋c）（－ab－bc－ac），

∴abc＝（）－（a＋b＋c）（－ab－bc－ac）＝×3－×1×（2＋）＝．

（2）将②式两边平方，得

∴

＝4－2

＝4－2＝．

A级

1．0或6  2．26，28   3．2  4．40   5．34  6．0  7．D   8．A  9．C

10. 原有136或904名学生．设

m，n均为正整数，且m＞n，

①－②得（m＋n）（m－n）＝240＝．

，都是8的倍数，则m，n能被4整除，m＋n，m－n均能被4整除．得或，

∴或

8x＝－120＝904或8x＝－120＝136．

11. 因为a＝＋－2＝（－1）＋（－1）＝999 999 999＋37×（＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）．

所以37|999 999 999，且37|37×（＋38＋1），因此a是37的倍数．

12. 第2003行式子为：＝．

第n行式子为：＝．证明略

B级

1．1．094

2．76  提示：由13＋a＝9＋b＝3＋c得a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝10

3．13  4．156   5．D

6. C   提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：

故（x，y）共有12组不同的表示．

7．B  8．C

9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为1954不能被4整除．

10．设所求两位数为，由已知得＝（k 为整数），得而得或

 解得或，即所求两位数为65，56

11. 设,  则由得    ③

 ②③, 得,  即   或

 分别与联立解得或

12.   (1)  ,  故28和2012都是神秘数

 （2）为4的倍数

 （3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. ,故两个连续奇数的平方差不  是神秘数