九年级数学 培优竞赛新方法-第11讲 代数最值 讲义学案

第11讲   代数最值

知识纵横

在生活实践中，人们经常面对带有“最’字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点;

1. 运用配方法求最值
2. 构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值
3. 建立函数模型求最值
4. 利用基本不等式或不等式分析法求最值

例题求解

【例1】实数x、y满足，则的最大值是               

 （江苏省竞赛题）

思路点拨   解题的关键是由可得x取值的隐含制约。

【例2】分式的最小值为（     ）

A、-5          B、-3            C、5           D、3

（太原市竞赛题）

思路点拨   原式=。

【例3】（1）设a、b为实数，求代数式的最小值。

（全国初中数学联赛题）

（2）实数x、y、z满足，，求z的最大值。

（全国初中数学联赛题）

思路点拨   对于（1），引入参数设，将等式整理成关于a的二次方程，利用判别式求最小值，对于（2），，，运用韦达定理构造方程。

【例4】（1）已知的最大值为a，最小值为b，则的值。

（2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）

（2）求使取得最小值的实数x的值。

（全国初中数学竞赛题）

思路点拨  解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等。

【例5】已知，对于满足条件，的一切实数对（x，y），不等式恒成立，当乘积ab取最小值时，求a、b的值。

（全国初中数学联赛题）

分析  将y=1-x代入不等式得：，此不等式对于满足条件的实数对（x，y）恒成立，于是将问题转化为探讨二次函数图象位置需满足的条件。

解   由，知。

     令x=0，y=1，得；令x=1，y=0，得，从而，。

     故二次函数的图象的开口向上，且顶点的横坐标在0 

     和1之间。

     又原不等式对于满足条件的一切实数x恒成立。

     所以，即

     由    得     或

离散最值

【例6】已知a、b、c为正整数，且，求c的最小值。

（全国初中数学竞赛题）

分析与解    若取，则，由小到大考察b，使为完全平方数，当b=8时，，则c=6，从而a=28，下表说明c没有比6更小的正整数解。显然，表中的值均不是完全平方数，故c的最小值为6.

思路点拨    从入手。

学力练习

基础夯实

1、（1）设x为正实数，则函数的最小值是       。

   （2）函数的最大值是        

2、若实数x、y满足方程，则xy的最大值为     

（第19届香港中学竞赛题）

3、已知实数a、b、c满足，则a的最大值为     

（第17届江苏省竞赛题）

4、已知x、y、z为三个非负实数，且满足，若，则s的最大值与最小值的和为（  ）

A、5                B、                C、                   D、

（天津市选拔赛试题）

5、若，则可取得的最小值为（    ）

A、3                B、                C、                   D、

6、正实数x、y满足，那么的最小值为（    ）

A、             B、             C、             D、         E、  

（黄冈市竞赛题）

7、（1）求函数在时的最值。

   （2）求的最大值。

8、求的最小值。

9、在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别   交于点A、B，且使得.

（1）用b表示；（2）求面积的最小值。                      

（浙江竞赛题）

能力拓展

10、设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最大值为       

11、若抛物线与x轴的交点为A、B，顶点为C，则的面积最小值为       

12、已知实数a、b满足，且，则t的最大值为       最小值为                                            （“TI杯”全国初中数学竞赛题） 

13、设x、y、z为正数，且 ，则的最小值是       

（“宇振杯”上海市竞赛题）

14、已知，，且，，则k的最小整数值是      

（海南省竞赛题）

15、已知，那么y的最大值和最小值的差为      

（武汉市竞赛题）

16、已知，，都是正整数，且，若的最大值为A，最小值为B，则A+B的值为       

（全国初中数学竞赛题）

17、设实数a、b满足，求的最小值。

（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）

18、已知a、b、c是正整数，且二次函数的图象与x轴有两个不同的交点A、B，若点A、B到原点的距离都小于1，求的最小值。

（天津市竞赛题）

综合创新

19、设，，是整数，并且满足：

（1），；     （2）

（3）

求的最大值和最小值。                

 （国家理科实验班招生试题）

20、已知实数a、b、c、d使得方程对一切实数x均成立，那么当代数式取得最小值时，的值为多少？                                       

（河南省竞赛题）