九年级数学 培优竞赛新方法-第24讲 三角形的四心 讲义学案

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第24讲  三角形的四心                   几何是数学中的这样一部分，其中视觉思维占主导地位，              几何直觉是增强数学理解力的有效途径，而且他可以使人增加              勇气，提高修养。                                                         ------阿蒂亚知识纵横     重心、外心、内心、垂心统称为三角形的“四心”，由于三角形的四心处在特殊的位置上，因而它们是具有丰富而独特的性质，这些性质是解与四心相关问题的基础。（1）重心   三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。   如图，设是的重心，则  （2）外心     三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心。     如图，设是的外心，则        （2）内心     三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心。     如图，设是的内心，则     到三角形各边距离相等；            （3）垂心    三角形三边的高所在直线的交点叫三角形的垂心。    如图，设是的垂心，则             共六组四点共圆。 例题求解【例1】如图，中，．若上的中线       垂直相交于点，则可用的代数式表示为       。                                             （第19届江苏省竞赛题）思路点拨  设，则由重心性质有；建立的方程组。  【例2】已知点是锐角三角形的内心，分别是点关于边的对称点， 若点在的外接圆上，则等于．(     )A.            B.              C.              D.（“CASIO杯”全国初中数学竞赛题）思路点拨   由（为的内切圆半径），得同时是外接圆              的圆心。  【例3】已知，点在上，，经三点的圆交于（如图）．求证：为的内心．思路点拨  连，即需证为角平分线的交点，充分利用与圆有关的角， 将问题转化为角相等问题的证明      【例4】如图所示,分别与圆相切于点，连结         与交于，连结.求证：                                                   （江苏省竞赛题）思路点拨  设圆心为，证明是的垂心，则，由切线性质得；一定通            过切点              【例5】如图，已知中，是斜边上的高，分别是         的内心。       求证：（1）            （2）.                                           （武汉市竞赛题）分析  在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，故通过证交角等于的方法证两线垂直，再用全等三角形证两线段相等。      欧拉线【例6】求证：（1）三角形的一个顶点到垂心得距离，是外心到对边距离的2倍            （2）三角形的垂心、重心、外心在一条直线上，且垂心到重心的距离是外心到重                 心的距离的2倍。   学习训练基础夯实如图，□中，是的中点，,则□的面积  为       。如图，是的内心，是的内心，是的内心．若的度数为    整数，则的最小度数为       。3.如图，从圆外一点作⊙的两条切线，连，设交⊙于点，则点  是的       心.         （第1题）                       （第2题）                          （第3题）如图，是的斜边上的高，分别是的内心，若  ,则=      。如图，锐角三的垂心为，三条高的垂足为则是的（   ）      A.垂心        B.重心       C.内心        D.外心如图，设锐角的三条高线相交于，若，   则的值为（    ）A.     B.    C.     D.           （第4题）                  （第5题）                  （第6题）已知锐角的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则的度数是（   ）.   A.          B.          C.           D.                                                          (全国初中数学竞联赛题)8.如图，内接于⊙，于点，于点，相交于点．若，则⊙的半径为（　　）  A.             B.         C.          D.                                     （2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题） 如图，设是的中线，的外心分别为,直线与   交于点，若，求证.                                               （“我爱数学”夏令营竞赛题）能力拓展10.如图，设为三角形的三条高，若，则=   .               （第10题）                            （第11题） 11.如图，中，，的内切圆圆心作，      分别与相较于，则=      .                                                        （全国初中数学竞赛试题）12.若锐角的三边比是，它的外心到三边的距离分别为，则等于（   ）。 A.                            B.     C.                 D. 13.如果一个三角形的面积和周长都被同一条直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（    ）A.内心                   B.外心          C.重心                   D.垂心  14.如图，的三条中线的长分别是，求的面积。   15.如图，已知是的内心，的延长线分别交的外接圆于       交于求证：                                                （第22届加拿大奥林匹克试题）         综合创新16.锐角三的外心为，外接圆半径为，延长，分别与对边、交于.证明：.                                                               (江西竞赛题)   17.如图，在□中，的平分线分别与及的延长线交于点.点分   别为、的外心.（1）求证：三点共线.（2）求证：（全国初中数学联赛题）