九年级数学 培优竞赛新方法-圆的翻滚 讲义学案

圆的翻滚

把平面图形按一定方向作无滑动的翻折或滚动，称为图形的翻滚，图形翻滚的常见形式有：

（1）正多边形的翻折；

（2）圆的滚边。

    图形翻滚问题着力考查动手操作、分析细节、归纳类比等综合能力。

【例1】如图，将边长为的正六边形在直线上由图①的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当第一次滚动到图②位置时，求点所经过的路径的长。

（2011年桂林市中考题）

分析与解   每一次滚边都是正六边形绕点、以一定的长为半径旋转定角，所经过的路径的长是弧长，解题的关键是深入分析每次滚动。

【例2】已知正方形的边长（是正整数），正的顶点在正方形内，顶点在边上，且．将在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边连续地翻转次，使顶点第一次回到原来的起始位置．

（1）如果我们把正方形的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是在直线上作连续的翻转运动．图2是时，沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若，则沿正方形的边连续翻转的次数         时，顶点第一次回到原来的起始位置；
（2）若，则         时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若，则         时，顶点第一次回到原来的起始位置；
（3）请你猜测：使顶点第一次回到原来的起始位置的值与之间的关系（请用含的代数式表示）．

（宁波市中考题）

【例3】如图①至图⑤，⊙均作无滑动滚动，⊙、⊙、⊙、⊙均表示⊙O与线段或相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为．

阅读理解：

（1）如图1，⊙从⊙的位置出发，沿AB滚动到⊙的位置，当时，⊙恰好自转1周；

（2）如图2，相邻的补角是，⊙在外部沿滚动，在点处，必须由⊙的位置旋转到⊙的位置，⊙绕点旋转的角，⊙在点处自转周．

实践应用：

（1）在阅读理解的（1）中，若，则⊙自转       周；若，则⊙自转       周．在阅读理解的（2）中，若，则⊙在点处自转       周；若，则⊙O在点B处自转       周；

（2）如图3，，．⊙从⊙的位置出发，在外部沿滚动到⊙的位置，⊙自转       周．

拓展联想：

（1）如图4，的周长为，⊙从与相切于点的位置出发，在外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与相切于点的位置，⊙自转了多少周？请说明理由；

（2）如图5，多边形的周长为，⊙从与某边相切于点的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点的位置，直接写出⊙自转的周数．

（河北省中考题）

练习

1. 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移米，半圆的直径为米，则圆心所经过的路线长是         ．

（2011年兰州市中考题）
 

2. 如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段绕点顺时针转过的角度为        度．

（河北省中考题）
 

3. 如图，讲两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了（）

1. 圈       B.圈        C.圈           D.圈

（佛山市中考题）

4. 如图，一张半径为的圆形纸片在边长为的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　）

（2011年衡州市中考题）

5. 如图所示，⊙沿着凸边形的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来的位置．
   （1）当⊙和凸边形的周长相等时，证明：⊙自身转动了两圈；
   （2）当⊙的周长是，凸边形的周长是时，请写明此时⊙O自身转动的圈数．

（浙江省竞赛题）

6. 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即）放在直线上．边与直线重合，然后将三角形纸片绕着顶点按顺吋针方向旋转，此时点运动到了点处，点运动到了点处；小慧又将三角形纸片，绕点按顺吋针方向旋转，此时点运动到了点处，点运动到了点处（即顶点经过上述两次旋转到达处）．

小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点运动所形成的图形是两段圆弧，即弧和弧，顶点所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线围成的图形面积等于扇形的面积、的面积和扇形的面积之和．

小慧进行类比研究：如图②，她把边长为的正方形纸片放在直线上，边与直线重合，然后将正方形纸片绕着顶点按顺时针方向旋转，此时点运动到了点处（即点处），点运动到了点处，点运动到了点处，小慧又将正方形纸片　绕顶点按顺时针方向旋转，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片按上述方法经过次旋转，求顶点经过的路程，并求顶点在此运动过程中所形成的图形与直线围成图形的面积；若正方形纸片按上述方法经过次旋转．求顶点经过的路程；

问题②：正方形纸片按上述方法经过多少次旋转，顶点经过的路程是     ？

7. 如图，等腰梯形的上底长为，腰长为，一个底角为．正方形的边长为，它的一边在上，且顶点与重合．现将正方形在梯形的外面沿边进行翻滚，翻滚到有一个顶点与重合即停止滚动．

（1）请在所给的途中用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图。

（2）求正方形在整个翻滚过程中点所经过的路线与梯形的三边所围成图形的面积。

（2011年无锡市中考题）