九年级数学 培优竞赛新方法-第16讲 转化灵活的圆中角 讲义学案
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第16讲 转化灵活的圆中角
知识纵横
角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化。
根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对焦互补和外角等于内对角，可将于圆有关的角互相联系起来。
熟悉以下基本图形、基本结论。
例题求解
【例1】 如图，圆是的外接圆，是直径，，则的度数是_____________ （2011年荆州市中考题）
思路点拨 略
【例2】 如图，为圆的直径，交圆于点，交圆于点，，，现给出以下四个结论：①；②；③弧=弧；④其中正确的结论的序号是（ ）
①② ②③ ②④ ③④
（苏州市中考题）
思路点拨 充分运用于圆有关的角，寻找特殊三角形、相似三角形，逐一验证。
【例3】 如图，已知四边形外接圆的半径为5，对角线与的交点为，且，求的面积。
思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得为弧中点，这是解本例的关键。
【例4】 如图①，圆中是直径，是圆上一点，，等腰直角三角形中是直角，点在线段上。
（1）证明：、、三点共线；
（2）若是线段的中点，是线段的中点，证明：；
（3）将绕点逆时针旋转后，记为（如图②），若是线段的中点，是线段的中点，是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由。
（2011年广州市中考题）
思路点拨 对于（2），充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系于位置关系。
【例5】 如图，是圆中的三条弦，点在上，且
求证：（1）；（2）
（浙江省竞赛题）
分析 对于（2），
需证，从构造相似三角形入手。
【例6】 如图，已知是圆的直径，平分，求证：
分析与解 如图，补短构造或联想角平分线性质等。
学力训练
基础夯实
- 如图，为圆的直径，为圆上一点，且，点在圆上（不与重合），则的度数是__________________.
（抚顺市中考题）
- 如图，已知均在圆上，且为圆的直径，则_________________.
（河南省中考题）
- 如图，已知两点的坐标分别为，是外接圆上一点，且，则点的坐标为________________.
（苏州市中考题）
- 如图，已知圆的内接四边形的对角线平分，，于，给出下列结论：①；②；③。其中，正确结论的序号是__________________.
- 如图，是圆的内接正三角形，四边形是圆的内接正方形，，则（ ）。
（安徽省中考题）
- 如图，是圆内接三角形的高，是圆的直径，，，则等于（ ）。
（南充市中考题）
- 如图，在圆中，为弧的中点，，交圆于，若，则的长为（ ）。
- 如图，正内接于圆，是劣弧上任意一点，于交于点，有如下结论：①；②；③.其中，正确结论的个数为（ ）。
.3个 .2个 .1个 .0个 （天津市中考题）
- 如图，已知等边内接于圆，是弧上任一点（点不与重合），连接，过作交的延长线于点。
（1）求证：为等边三角形；
（2）若，，求梯形的面积。
（2011年孝感市中考题）
- 正方形的四个顶点都在圆上，是圆上的以点。
（1）如图①，若点在弧上，求证：；
（2）如图②，若点在弧上，求证：为定值。
（三明市中考题）
能力拓展
- 已知在半径为2的圆中，圆内接的边，则的度数为________________.
（广东省竞赛题）
- 如图，已知圆的直径长为10，弦长为6，的平分线交圆于，则长为_______________. （武汉市中考提）
- 如图，圆内接四边形中，，，，，则_____________.
（江苏省竞赛题）
- 如图，是半圆直径，半径于点，平分分别交于点，交弧于点，连接，给出以下四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是__________________.
（2011年嘉兴市中考题）
- 如图，是半圆的直径，是弧的中点，，则等于（ ）。
（重庆市竞赛题）
- 如图，的高相交于点，分别延长于的外接圆交于两点，则下列结论：①；②；③若为的外接圆的直径，则.其中正确的是（ ）。
① ①② ②③ ①②③
- 如图，已知在中，，高，则的外接圆半径是（ ）。
（四川省竞赛题）
18.如图，内接于圆，于点，于点，相交于点。若，，则圆的半径为（ ）。
（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）
19.如图，已知四边形外接圆圆的半径为2，对角线与的交点为，，，且，求四边形的面积。
（全国初中数学联赛题）
20如图①，已知圆于轴交于两点，与轴正半轴交于点，是圆上一点，且，，。
（1）求圆心的坐标；
（2）求四边形的面积；
（3）如图②，过点作弦交于点，当是，求的长。
综合创新
- 如图，内接于圆，，点为弧的中点，求证： .
（天津市竞赛题）
- 如图，已知半圆的直径，将一个三角形的直角顶点固定在圆心上，当三角板绕着点转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于两点，连接交于点。
（1）求证：~；
（2）求证：；
（3）设，求的面积与的函数关系，并写出自变量的取值范围。
（广东省中考题）
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