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    九年级数学 培优竞赛新方法-第21讲 圆与圆 讲义学案
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    九年级数学 培优竞赛新方法-第21讲 圆与圆 讲义学案

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    这是一份九年级数学 培优竞赛新方法-第21讲 圆与圆 讲义学案,共11页。

    第20讲  圆与圆

     

    知识纵横

    圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形,判定两圆的位置关系有如下二种方法:

    1. 通过两圆交点的个数确定;
    2. 通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定。

    为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些线段,如公共弦、公切线、连心线,以及两圆公共部分相关的角和线段,这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。

     

    例题求解

    【例1】如图,相距的两点在直线上,它们分别以的速度在上同时向右平移,当点分别平移到点的位置时,半径为与半径为相切,则点平移到点所用的时间为__________.

    (2011年嵊州市中考题)

    思路点拨   两个动圆,移动圆心,的半径大小改变,两动圆内切或外切,故应全面讨论。

     

     

     

     

     

    【例2】如图,圆心为的三圆彼此相切,且均与直线相切。若的半径分别为,则一定满足的关系式为(     )。

    (天津市竞赛题)

                        

    思路点拨     从两圆相切位置关系入手,分别探讨两圆半径和分切线的关系,解题的关键是作圆的基本辅助线。

    【例3】如图在矩形中,,点开始沿折线一以的速度移动,点开始沿边以的速度移动。如果点分别从同时出发,当其中一点到达时,另一点也随之停止运动,设运动时间为

    (1)为何值时,四边形为矩形?

    (2)如图的半径都是,那么为何值时,相外切?

    (南京市中考题)

    思路点拨   对于(1),把相关线段用的式子表示,利用图形性质建立方程;对于(2),解题的关键是分情况讨论。

     

    【例4】已知相交于,且的半径为的半径为

    (1)过点分别交两点,连接,如图,试求的值;

    (2)过点任画一条直线分别交,连接,如图,试求的值。

    (巴中市中考题)

    思路点拨   对于(2),应与两圆半径相关,需构造相似三角形,利用或构造直径或联想相交两圆的性质。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    【例5】如图,是半径为1的单位圆的四分之一,半圆上并与弧内切于点,半圆的圆心在上,并与弧内切于,半圆与半圆相切,设两半圆的半径之和为,面积之和为

    (1)试建立以为自变量的函数的解析式;

    (2)求函数的最小值。

    (太原市竞赛题)

    分析   设两圆半径分别为,对于(1),通过变性把的代数式表示,作出辅助线;对于(2),因,故是在约束条件下求的最小值,解题的关键是求出的取值范围。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    化繁为简

    【例6】如图,圆的半径都为1,且相互外切。圆的半径都为,且圆与圆都分别外切,圆与圆都分别外切,圆与圆都分别外切,求的值。

    (2011年青少年数学国际城市邀请赛试题)

    分析与解   连接圆心、连接切点与圆心,关注由此生成的三角形。如图,连接,设相切于,则,即,解得(负值已舍去)。

     

     

     

     

     

     

     

     

    学力训练

    基础夯实

    1、的半径为,点外一点,则以为圆心且与相切的圆的半径是        

    (长春市中考题)

    2、如图,两圆轮叠靠在墙边,已知两轮半径分别为,则它们与墙的切点间的距离为        

    (绍兴市中考题)

    3、如图,大圆的半径是小圆的直径,且有垂直于圆的直径的切线的延长线于点,切点为,已知的半径为,则       

              

    (杭州市中考题)

     

     

    4、如图为四个等圆的圆心,为切点,请你在图中画出一条线,将这四个圆分成面积相等的两部分,并说明这条直线经过的两个点是        ;如图等圆的圆心,A,B,C,D,E为切点请你在图中画出一条直线将这五个圆分成面积相等的两部分并说明这条直线经过的两个点是       

    (天津市中考题)

     

     

     

     

    5、如图,施工工地的水平面上,有三根外径都是的水泥管两两摞在一起,则其最高点到地面的距离是       

                               

     

    6、如图,外切于点,半径分别为延长线上一点,作直线分别于相切于两点,则的度数为(     )。

                          

                                  (武汉市高考题)

     

    7、如图,正方形中,边上一点,以为圆心,为半径的半圆与以为圆心、为半径的圆弧外切,则的值为(     

                                  

     (湖州市中考题)

    8、两圆的半径分式,圆心距为,若关于的方程有两个相等的实数根,则两圆的位置关系是(   

    1. 一定内切        B.一定外切       C.相交       D.内切或外切

    9、如图,相交于两点,经过圆心,点的优弧上任意一点,(不与点重合),连接

    (1)指出图中相等的一个角;

     (2)当什么位置时,直线相切?请说明理由;

    (南宁市中考题)
     

     

     

     

     

     

     

     

     

    10、已知A为上一点,B为与OA的交点,的半径分别为r、R,且

    (1)如图,过点的切线与交于M、N两点。求证:

    (2)如图,若的交点为,C是弧上任意一点,过点的切线与交于两点,试问是否成立,并说明你的结论。

    (天津市中考题)

     

     

    11、如图,点在直线上,的半径均为以每秒的速度自左向右运动,的半径也不断增大,且半径与时间t之间的关系为

    (1)试写出A、B之间的距离与时间t(秒)之间的函数关系式;

    (2)问点A出发后多少秒两圆相切?

    (威海市中考题)

     

     

     

     

    能力拓展

    12、已知半径分别为1和2的两圆外切于点,则点到两圆外公切线的距离为       

    (全国初中数学联赛试题)

    13、如图,扇形OAB,与OA、OB分别相切于点E、F,并且与弧AB切于点,则扇形的面积与的面积之比是        

    (兰州市中考题)

    14、如图,五个圆顺次相外切,且又都与直线相切,如果其中最小圆与最大圆的直径分别为18和32,那么的直径为        

    (天津市中考题)

     

     

     

    15、如图,的半径为1,正方形的边长为6,点为正方形的中心,垂直AB于P点,,若将绕点P按顺时针方向旋转,在旋转过程中,与正方形的边只有一个公共点的情况一共出现(    )。

    A.3次          B.5次         C.6次         D.7次

    (2011年宁波市中考题)

    16、如图,已知三个半圆依次相外切,它们的圆心都在轴的正半轴上并与直线相切,设半圆、半圆、半圆的半径分别是,则当     )。

    A.6          B.7         C.8       D.9

    (2011年南通市中考题)

    17、已知相交于,公共弦与连心线交于点。若AB=48,的半径分别为30、40,那么的面积是(     )。

    A.600      B.300或168      C.168       D.600或168

    (广东省竞赛题)

     

     

    18、如图,分别以为圆心的半圆的直径,圆内切于半圆及外切于半圆。若,求圆的面积。

    (第19届香港中学竞赛题)

     

     

     

    19、中,分别以AB、BC为直径作,交于另一点D。

    (1)证明:交点必在上;

    (2)如图,当半径之比为4:3时,且相切时,判断的形状,并求的值;

    (3)如图,当经过点,的延长线交于,且,求的度数。

    (黄石市中考题)

     

     

     

     

    20、如图,点H为的垂心,以为直径的的外接圆相交于点P。求证:的中点。

    (2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛题)

    综合创新

    21、如图,已知都过点A,D的切线,于点C,连接

    (1)求证:

    (2)证明:

    (3)如果的长。

    (十堰市中考题)

     

     

     

     

    22、如图,已知的半径不等,且外切于点A,不过A的一条公切线切于D,切于E,直线,且与BC的垂直平分线交于。求证:.

    (英国数学奥林匹克试题)

     

     

     

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