九年级数学 培优竞赛新方法-第18讲 从三角形的内切圆谈起 讲义学案
展开第18讲 从三角形的内切圆谈起
数学是一个非常美的领域，这是因为它的主要部分是由人类的心灵构成的，你可以自由探索自己心中的数学世界，这不是很美吗？那里有真正自由，正是这种自由才是数学美的力量所在。
-----瑟斯顿
知识纵横
和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：
- 三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；
- 圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有内切圆的主要方法。
当圆外切三角形、四边形是特殊三角形、四边形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：
例题求解
【例1】如图，⊙O是内切圆，切点为，若的长度是方程的两个根，则的面积是
（第18届江苏省竞赛题）
思路点拨 连，易证四边形为正方形，解题的关键是求出的长.
【例2】如图，以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交于点，则与直角梯形的周长的比值为（ ）
A. B. C. D.
（杭州市中考题）
思路点拨 本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为了求出周长，需引入字母或赋值。
【例3】如图，已知过原点和的动圆⊙交坐标轴于两点，设的内切圆⊙的直径为，求的值.
思路点拨 ，只需求出的值，注意点的坐标特点。
【例4】如图，在中，其中，其中⊙、⊙，...、⊙为个相等的圆，⊙与⊙相外切，⊙与⊙相外切，……，⊙与⊙相外切，⊙、⊙，...、⊙都与AB相切，且⊙与相切，⊙与相切，求这些等圆的半径（用表示）.
（河北省竞赛题）
思路点拨 在同一直线上，连接，把分别用的代数式表示，建立的方程。
圆与梯形的珠联璧合
【例5】如图，的直径，和是它的两条切线，切于E，交于，于，设，，求与的函数关系式．
对于例5，在条件不变的情况下，我们还可得出以下结论：
（1）；
（2）以为直径的圆与相切；
（3）以为直径的圆与相切；
（4）为一定值。
【例6】如图，已知直径与等边三角形的高相等的圆和边相切于点和，与边相交于点和，求的度数．
（浙江省竞赛题）
分析 若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本题的关键。
学历训练
基础夯实
- 如图，在梯形中，，⊙为内切圆，为切点．若，，求的长为 。
（天津市中考题）
- 如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数经过正方形AOBC对角线的交点，半径为的圆内切于△ABC，则k的值 。
（2011年芜湖市中考题）
- 如图，在中，，，圆心在AC上，⊙与相切于点，求⊙的半径为 。
（2011年乌鲁木齐市中考题）
- 如图，一圆内切四边形，且，，则四边形的周长为 。
（杭州市中考题）
- 已知：如图，以定线段为直径作半圆，为半圆上任意一点（异于，），过点P作半圆的切线分别交过，两点的切线于，，、相交于点，连接、．下列结论：①四边形是梯形；②；③为定值；④为的平分线．其中一定成立的是（ ）
A．①② | B．②④ | C．①③④ | D．②③④ |
（武汉市中考题）
- 如图，中，内切圆和边、、分别相切于点、、，则以下四个结论中，错误的结论是（ ）
- 点是的外心 B.
C. D.
- 如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线与以BC为直径的⊙相切于点C．点F是⊙上异于B、C的动点，直线BF与相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．
（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；
（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使，请说明你的理由．
（2011年包头市中考题）
- 如图，在直角梯中，，，厘米，厘米，厘米，为⊙的直径，动点沿方向从点开始向点以厘米/秒的速度运动，动点沿方向从点开始向点以2厘米/秒的速度运动，点、分别从、两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．
（1）求⊙的直径；
（2）求四边形的面积关于、运动时间的函数关系式，并求当四边为等腰梯形时，四边形的面积；
（3）是否存在某一时刻，使直线与⊙相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（烟台市中考题）
能力拓展
- 已知等腰中，，，内切圆的半径为，则腰长为 ．
（江苏省竞赛题）
- 如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积（ ）
（日本数学奥林匹克竞赛题）
- 如图，在中，，、的平分线相交于点，又于点,若，则=
- 在平面直角坐标系中，以正方形的边为弦的⊙与轴相切，若点的坐标为，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2011年滨州市中考题）
- 已知于，，下列选项中的半径为的是
（ ）
（2011年日照市中考题）
- 如图，在矩形中，连接，如果为的内心，过作于，作于，则矩形的面积与矩形的面积的比值为（ ）
- B. C. D.不能确定
（《学习报》公开赛试题）
- 如图1，两直角边的边长为．
（1）如图2，⊙O与的边相切于点，与边相切于点．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）是这个上和其内部的动点，以为圆心的⊙与的两条边相切．设⊙的面积为，你认为能否确定的最大值？若能，请你求出的最大值；若不能，请你说明不能确定的最大值的理由．
（2011年宜昌市中考题）
- 如图所示，已知是⊙O的直径，是⊙O的切线，平行于弦，过点作于点，连接，与交于点．问与是否相等？证明你的结论．
（全国初中数学竞赛题）
综合创新
- 如图，点在第一象限，且，过两点作圆分别与轴正半轴，轴正半轴交于两点，在弧上，交于，且．
（1）求点的坐标；
（2）若，连，求的值；
（3）过作于,求的值．
- 如图，圆是等边三角形的内切圆，与，两边分别切于，两点，连接，点是劣弧上的一个动点（不与，重合），过点作于，于，于，交于点.
（1）求证
（2）
（2011年黄石二中理科实验班自主招生试题）
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