九年级数学 培优竞赛新方法-第13讲 旋转变换 讲义学案

第13讲   旋转变换

知识纵横

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，旋转的角度叫旋转角。

旋转变换不改变图形的形状和大小，通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度，旋转变换前后的图形有下列性质：

（1）          对应点到旋转中心的距离相等

（2）          对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角

（3）          对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心。

例题求解

【例1】如图，在中，已知,点D在边BC上，BD=2CD,把绕着点D逆时针旋转m（0<m<180）度后，如果点B恰好落在初始的边上，那么m=                。

               (2011上海市中考题)

思路点拨     因B点所落得边未确定，故需分类讨论。

【例2】如图，P是等边内部一点，的大小之比是5:6:7，则PB.PA.PC为边的三角形的三个角的大小（从小到大）之比是（            ）

A   2：3：4                     B    3：4：

C   4：5：6                     D     不确定

                                          (全国初中数学竞赛题)

思路点拨    由于PA.PB,PC没有构成三角形，所以需要作辅助线构造以它们为边的三角形，不妨实施旋转变换。

【例3】点B,C,E在同一直线上，点A,D在直线CE的同侧，AB=AC,EC=ED,,直线AE,BD交于点F ，

（1）如图，若_____________;

如图，若__________________

（2）如图，若___________(用含的式子表示)

（3）将图中的绕点C旋转（点F不与点A,B重合），得图④或⑤，在图④中，的数量关系是_________;在图⑤中，的数量关系是__________

请你任选其中一个结论证明。

（武汉市中考题）

思路点拨  从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：

~~,这是解本题的关键。

【例4】如图，在中，AB=AC=2，,将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板并使三角板的两直角边PE,PF分别与AC,AB相交于点N,M,链接MN,AP,交于点D.

(1)求证：PN=PM

(2)设线段AM的长为，的面积为，求的函数关系式。

(3)当三角板旋转到时，求的长。

思路点拨   对于（1），从探寻与的关系入手；对于（2），对于（3），可证明

【例5】已知中，AB=AC,在中，AD=DE，链接EC,取EC中点M，连接DM和BM.

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图。求证：BM=DM且BMDM

（2）如图中的绕点A逆时针转小于的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立请给予证明。    

（广州市中考题）

分析    对于（2），由（1）可猜想BM,DM之间关系，由中点可从以下方面联想与探索；（1）构造中位线，取AC,AE中点F,G，连DG.GM.BF.FM;(2)构造中心对称全等三角形，延长DM至F点，使MF=DM,连接BD,BF.

正方形中的费马点

【例6】如图，已知正方形ABCD内一动点E到A,B,C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长。

（广东省竞赛题）

分析   本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA,EB,EC连接起来。

                             学力训练

基础夯实

1. 如图，已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为             。

（上海市中考题）

2. 如图，P是正内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将绕点A逆时针旋转后，得到,则点P与P’之间的距离为          ，            。

（青岛市中考题）

3. 如图，直角梯形ABCD中，,将CD以点D为中心逆时针旋转至ED，连接AE,则的面积是___________

                                                 (泰州市中考题)

4. 如图，将绕点A顺时针方向旋转角度到的位置，设BC与DE交于M点，连接AM，下列结论：①BC=DE;②,③，④MA平分.其中正确的结论只有(       )

A.①②             B.①③          C. ②③④           D.①③④

5. 如图，将绕点旋转得到,设点的坐标为，则点A的坐标为（      ）                            

（河南省中考题）

 6.如图，直线与轴、轴分别交于A,B两点，把绕点A顺时针旋转后得到,则点的坐标是（      ）       

(丽水市中考题)

A        B          C        D

7. 已知：如图①，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F,OD到点E，使OF=2OA,OE=2OD,连接EF，将绕点O逆时针旋转角得到(如图②)

（1）探究的数量关系，并给予证明；

（2）当为直角三角形

              （2011年南通市中考题）

8. 在正方形的边AB上任取一点,作交于点,取得中点,连接EG,CG,如图①，易证.

(1)将绕点逆时针旋转，如图②，则线段

(2)有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想。

(3)将绕点逆时针旋转，如图③，则线段有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想。并加以证明。

（2011年黑龙江省中考题）

9.在和中，AB=AC,DE=DF,,点分别是的中点。

（1）若点A与点D重合，点（如图①），则的数量关系式            ,的数量关系是             。

(2)将图①中的旋转（如图②），问（1）的两个结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

能力拓展

10. 如图，设正的边长为，将绕它的中心旋转得到对应的,则两点间的距离等于             。

        (浙江省竞赛题)

11. 如图，四边形ABCD中，绕顶点旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则              度。      

（第18届江苏省竞赛题）

12. 如图，在中，,以斜边上距离点6的点为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转至,则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是                               

 (黄冈市竞赛题)

13. 如图，在线段同侧作两个等边,分别是线段的中点，则是（          ）

  钝角三角形        直角三角形         等边三角形       非等腰三角形

（海南省竞赛题）

14. 如图，边长为2的正方形的对角线交于点,把边分别绕点同时逆时针旋转，得四边形,下列结论：①四边形为菱形；②;③线段的长为。其中正确的结论有（      ）

15. 如图，在等腰的斜边上取两点,使,记则以线段为边长的三角形的形状是（            ）

  锐角三角形                                      直角三角形

  钝角三角形                                      随的变化而变化

（安徽省竞赛题）

16. 如图，在等边中，点是边的中点，点事线段上的动点（点与点不重合），连接.将绕点顺时针方向旋转角（），得到,连接分别交射线,射线于点

（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在________关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．

（2011年义乌市中考题）
 

17. 如图，已知凸五边形中，,,求证：.

(北京市竞赛题)

综合创新

18. 在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点,.以点为旋转中心，把顺时针旋转，得.记旋转角为，为。

（1）如图①，当旋转后点恰好落在边上时，求点的坐标。

（2）如图②，当旋转后满足轴时，求与之间的数量关系；

（3）当旋转后满足时，求直线的解析式。

（2011年天津市中考题）

19. 如图，在中，,,点在内，且,,,求的面积。   

（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛）