九年级数学 培优竞赛新方法-第10讲 二次函数与二次方程 讲义学案

这是一份九年级数学 培优竞赛新方法-第10讲 二次函数与二次方程 讲义学案，共7页。
第十讲     二次函数与二次方程知识纵横方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题。在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答。二次函数，令，则得，这是一个关于的一元二次方程，它们的联系表现在：方程实根的个数、抛物线与轴交点的个数的探讨都可以转化为由根的判别式来讨论，特别地，设，为抛物线与轴的两个不同交点，则（1），；（2）例题求解：【例1】（1）在直角坐标系中，抛物线与轴交于两点。若点A、B到原点的距离分别为OA、OB，且满足，则的值为              。                                                 （全国初中数学竞赛题）（2）已知直线（为实数）与函数的图象至少有三个公共点，则实数的取值范围是             。                                                  （海南省竞赛题）思路点拨：对于（1），设，，把OA、OB用、的式子表示，建立的方程，解题关键是判断、正负性；对于（2），作出函数图象，借助图象解题。  【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么的取值范围是（       ）A、    B、     C、     D、思路点拨：；在根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与轴的交点满足的的值，注意判别式的隐含制约。    【例3】已知关于的二次函数的图象经过点，且与轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）。（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记的面积为，的面积为，当时，求证：常数，并求出该常数。                                                    （2011年广州市中考题）思路点拨：对于（2），由判别式建立的不等式；对于（3），将转化为易求出或易表示的三角形的面积差。   【例4】在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点。连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，且点是抛物线的顶点。（1）若，抛物线经过点，当时，求的取值范围；（2）已知点，抛物线与轴交于点B，直线与抛物线有且只有一个交点，请判断形状，并说明理由。                                                     （厦门市中考题）    【例5】已知抛物线。（1），，求该抛物线与轴公共点的坐标；（2），且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；（3）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由。                                                       （天津市中考题）     三个两次【例6】设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值。                                                     （全国初中数学联赛题）思路点拨：由，得，由条件得，因此不等式对任意实数都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解。                学力训练基础夯实：1、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为            。                                                 （江西省中考题）    2、抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是       。                                      （新疆建设兵团中考题）   3、如图，已知二次函数的图象经过点，该图象与轴的另一个交点为，则长为           。                              （2011年舟山市中考题）    4、下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（、、为常数）的一个解的范围是（      ）。6.176.186.196.20－0.03－0.010.020.04 A、    B、   C、   D、                                                          （兰州市中考题）5、如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标为1，则关于的不等式的解集是（        ）。A、     B、    C、    D、                                                         　　（2011年无锡市中考题）6、已知函数，且使成立的值恰好有三个，则的值为（    ）A、0       B、1       C、2      D、3                                                 （2011年黄冈市中考题）7、已知函数（是常数）。（1）求证：不论为何值，该函数的图象都经过轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与轴只有一个交点，求的值。                                                  （2011年南京市中考题）   8、使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数，令，可得，我们说1是函数的零点。已知函数（为常数）。（1）当时，求该函数的零点；（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为和，且，此函数图象与轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。                                                       （2011年长沙市中考题）   9、已知关于的一元二次方程有两个实数根，且满足。（1）证明：；（2）证明：；（3）对于二次函数，若自变量取值为，其对应的函数值为，则当时，试比较与的大小。    能力拓展：10、设是整数，且方程的两根都大于而小于，则          。                                                        （全国初中数学联赛题）11、已知二次函数（其中是正整数）的图象经过点，点，并且与轴有两个不同的交点，则的最大值为             。                                                       （全国初中数学竞赛题）12、设二次函数的图象顶点为A，与轴交点为、，当为等边三角形时，的值为                。                                                     （太原市竞赛题）13、若方程的一个根大于1，另一个根小于1，则的值为（      ）。A、不大于1    B、大于1    C、小于1      D、不小于1                                  （2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）14、方程的解的个数为（         ）。A、1个    B、2个     C、3个     D、4个                                       （2011年全国初中数学联赛题）15、若对所有的实数，恒为正，则（        ）。A、       B、      C、或      D、                                            （第21届江苏省竞赛题）    16、已知抛物线上有一点位于轴的下方。（1）求证：此抛物线与轴交于两点；（2）设此抛物线与轴的交点为，且，求证：。                                            （天津赛区选拔赛试题）      17、已知抛物线与动直线有公共点,且，求实数的取值范围。                                            （全国初中数学竞赛题）         综合创新：18、如图①，抛物线经过,两点。（1）抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，直线与轴交于点，与直线交于点。现将抛物线平移，保持顶点在直线上。若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图②将抛物线平移，当顶点至原点时，过作不平行于轴的直线交抛物线于E、F两点。问在轴的负半轴上是否存在点P，使的内心在轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。                                                       　　　　　　（2011年武汉市中考题）           19、已知二次函数的图象经过两点。（1）如果、、都是整数，且，求、、的值；（2）设二次函数的图象与轴的交点为、，与轴的交点为，如果关于的方程的两个根都是整数，求的面积。                                                    （全国初中数学联赛题）