中考数学综合练习题65

这是一份中考数学综合练习题65，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的倒数是（ ）
A．﹣B．C．2016D．﹣2016
2．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°
3．平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于（ ）
A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y=x对称
4．中国的领水面积约为370000km2，其中南海的领水面积约占我国领水面积的，用科学记数法表示中国南海的领水面积是（ ）
A．37×105km2B．37×104km2C．0.85×105km2D．1.85×105km2
5．从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则（ ）
A．AB∥BCB．BC∥CDC．AB∥DCD．AB与CD相交
7．一个长方体的三视图如图所示，则这个长方体的体积为（ ）
A．30B．15C．45D．20
8．如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
9．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．8月份是新学期开学准备季，东风和百惠两书店对学习用品和工具实施优惠销售．优惠方案分别是：在东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后，超出部分按50%收费；在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费50元后，超出部分按60%收费，郝爱同学准备买价值300元的学习用品和工具书，她在哪家书店消费更优惠（ ）
A．东风B．百惠C．两家一样D．不能确定

二、填空题：每小题3分，共18分
11．分解因式：4x2﹣4xy+y2= ．
12．数据499，500，501，500的中位数是 ．
13．如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是 ．
14．下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是 （填序号）
15．如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于 cm．
16．甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇．

三、解答题：共102分
17．计算：（﹣）﹣1+3tan30°﹣+（﹣1）2016．
18．化简：÷并任选一个你认为合理的正整数代入求值．
19．在平面直角坐标系内按下列要求完成作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．
（1）以（0，0）为圆心，3为半径画圆；
（2）以（0，﹣1）为圆心，1为半径向下画半圆；
（3）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，0.5为半径画圆；
（4）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，1为半径向上画半圆．
（向上、向下指在经过圆心的水平线的上方和下方）
20．下表是博文学校初三•一班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩（单位：分）．
回答下列问题：
（1）分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数；
（2）分别计算慧慧和聪聪两组数据的方差；
（3）根据（1）（2）你认为选谁参加全国数学竞赛更合适？并说明理由；
（4）由于初三•二班、初三•三班和初三•四班数学成绩相对薄弱，学校打算派慧慧和聪聪分别参加三个班的数学业余辅导活动，求两名学生分别在初三•二班和初三•三班的概率．
21．为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°，C岛在北偏东15°，航行100海里到达B岛，在B岛测得C岛在北偏东45°，求B，C两岛及A，C两岛的距离（≈2.45，结果保留到整数）
22．如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
23．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求圆的半径及圆心P的坐标；
（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；
（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=k（x﹣2）的图象交点为A（3，2），B（x，y）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；
（2）若C是y轴上的点，且满足△ABC的面积为10，求C点坐标．
25．如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．
（1）求证：△ABP∽△QEA；
（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；
（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）
26．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．
（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；
（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．

参考答案

一、选择题：每小题3分，共30分
1．的倒数是（ ）
A．﹣B．C．2016D．﹣2016
【考点】倒数．
【分析】根据倒数的定义，即可解答．
【解答】解：的倒数是2016．
故选：C．

2．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由于等腰三角形的两底角相等，所以90°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．
【解答】解：∵等腰三角形的两底角相等，
∴两底角的和为180°﹣90°=90°，
∴两个底角分别为45°，45°，
故选B．

3．平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于（ ）
A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y=x对称
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案．
【解答】解：平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称．
故选：B．

4．中国的领水面积约为370000km2，其中南海的领水面积约占我国领水面积的，用科学记数法表示中国南海的领水面积是（ ）
A．37×105km2B．37×104km2C．0.85×105km2D．1.85×105km2
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：370000×=185000=1.85×105，
故选D．

5．从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出组成的数是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中组成的数是偶数的结果数为4，
所以组成的数是偶数的概率==．
故选A．

6．如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则（ ）
A．AB∥BCB．BC∥CDC．AB∥DCD．AB与CD相交
【考点】平行线的判定．
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可求解．
【解答】解：∵∠ABC=150°，∠BCD=30°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC．
故选：C．

7．一个长方体的三视图如图所示，则这个长方体的体积为（ ）
A．30B．15C．45D．20
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】易得该长方体长为3，宽为2，高为5，根据长方体的体积=长×宽×高列式计算即可求解．
【解答】解：观察图形可知，该几何体为长3，宽2，高5的长方体，
长方体的体积为3×2×5=30．
故选：A．

8．如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
【考点】圆的认识．
【分析】将下面阴影部分进行对称平移，根据半圆的面积公式列式计算即可求解．
【解答】解：π×12×
=π×1×
=π．
答：图中阴影部分的面积为π．
故选：B．

9．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
【分析】将一次函数解析式展开，可得出该函数图象与y轴交于负半轴，分析四个选项可知，只有C选项符合，由此即可得出结论．
【解答】解：一次函数y=k（x﹣k）=kx﹣k2，
∵k≠0，
∴﹣k2＜0，
∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．
A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；
B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确；
C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以；
D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确．
故选C．

10．8月份是新学期开学准备季，东风和百惠两书店对学习用品和工具实施优惠销售．优惠方案分别是：在东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后，超出部分按50%收费；在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费50元后，超出部分按60%收费，郝爱同学准备买价值300元的学习用品和工具书，她在哪家书店消费更优惠（ ）
A．东风B．百惠C．两家一样D．不能确定
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】分析：本题可以直接求出郝爱在两家书店购买学习用品或工具书的钱数，比较一下便可得到答案．
【解答】解：依题意，
若在东风书店购买，需花费：60+×50%=180（元），
若在百惠书店购买，需花费：50+×60%=200（元）．
∵180＜200
∴郝爱同学在东风书店购买学习用品或工具书便宜．
故选：A

二、填空题：每小题3分，共18分
11．分解因式：4x2﹣4xy+y2= （2x﹣y）2 ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】符合完全平方公式的特点：两项平方项，另一项为两底数积的2倍，直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：4x2﹣4xy+y2，
=（2x）2﹣2×2x•y+y2，
=（2x﹣y）2．

12．数据499，500，501，500的中位数是 500 ．
【考点】中位数．
【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，再根据中位数的概念解答即可．
【解答】解：将该组数据按照从小到大的顺序排列为：499，500，500，501，
可得改组数据的中位数为： =500，
故答案为：500．

13．如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是 8cm ．
【考点】切线的性质．
【分析】根据切线的性质以及垂径定理，在Rt△BOC中利用勾股定理求出BC，即可得出AB的长．
【解答】解：∵AB是⊙O切线，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC，
在Rt△BOC中，∵∠BCO=90°，OB=5，OC=3，
∴BC==4（cm），
∴AB=2BC=8cm．
故答案为：8cm．

14．下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是 ①②③④ （填序号）
【考点】轴对称图形．
【分析】结合图象根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：根据轴对称图形的概念，可得出①②③④均为轴对称图形．
故答案为：①②③④．

15．如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于 或 cm．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】如图，作DH∥MN，先证明△ADH≌△BAE推出MN⊥AE，在RT△AFM中求出AM即可，再根据对称性求出AM′，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作DH∥MN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠B=90°，AB∥CD，
∴四边形DHMN是平行四边形，
∴DH=MN=AE，
在RT△ADH和RT△BAE中，
，
∴△ADH≌△BAE，
∴∠ADH=∠BAE，
∴∠ADH+∠AHD=∠ADH+∠AMN=90°，
∴∠BAE+∠AMN=90°，
∴∠AFM=90°，
在RT△ABE中，∵∠B=90°，AB=，∠BAE=30°，
∴AE•cs30°=AB，
∴AE=2，
在RT△AFM中，∵∠AFM=90°，AF=1，∠FAM=30°，
∴AM•cs30°=AF，
∴AM=，
根据对称性当M′N′=AE时，BM′=，AM′
故答案为或．

16．甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】直接利用时针和分针第一次相遇，则时针比分针少转了一周，再利用分针转动一周60分钟，时针转动一周720分钟，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设分针旋转x周后，时针和分针第一次相遇，则时针旋转了（x﹣1）周，
根据题意可得：60x=720（x﹣1），
解得：x=．
故答案为：．

三、解答题：共102分
17．计算：（﹣）﹣1+3tan30°﹣+（﹣1）2016．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（﹣）﹣1+3tan30°﹣+（﹣1）2016的值是多少即可．
【解答】解：（﹣）﹣1+3tan30°﹣+（﹣1）2016
=﹣3+3×﹣3+1
=﹣3+﹣3+1
=﹣2﹣2

18．化简：÷并任选一个你认为合理的正整数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】根据分式的除法法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=÷
=×
=﹣，
当a=1时，原式=﹣

19．在平面直角坐标系内按下列要求完成作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．
（1）以（0，0）为圆心，3为半径画圆；
（2）以（0，﹣1）为圆心，1为半径向下画半圆；
（3）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，0.5为半径画圆；
（4）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，1为半径向上画半圆．
（向上、向下指在经过圆心的水平线的上方和下方）
【考点】作图—复杂作图．
【分析】（1）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可；
（2）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可；
（3）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可；
（4）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可．
【解答】解：（1）如图所示：⊙O，即为所求；
（2）如图所示：半圆O1，即为所求；
（3）如图所示：⊙O2，⊙O3，即为所求；
（4）如图所示：半圆O2，半圆O3，即为所求．

20．下表是博文学校初三•一班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩（单位：分）．
回答下列问题：
（1）分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数；
（2）分别计算慧慧和聪聪两组数据的方差；
（3）根据（1）（2）你认为选谁参加全国数学竞赛更合适？并说明理由；
（4）由于初三•二班、初三•三班和初三•四班数学成绩相对薄弱，学校打算派慧慧和聪聪分别参加三个班的数学业余辅导活动，求两名学生分别在初三•二班和初三•三班的概率．
【考点】列表法与树状图法；算术平均数；方差．
【分析】（1）把慧慧和聪聪的成绩都减去125，然后计算她们的平均成绩；
（2）根据方差公式计算两组数据的方差；
（3）根据平均数的大小和方差的意义进行判断；
（4）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两名学生分别在初三•二班和初三•三班的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）慧慧的平均分数=125+（﹣9﹣1+5+1+6+2+1﹣3+0﹣2）=125（分），
聪聪的平均分数=125+（﹣3﹣1+0+3﹣6﹣5+6+3﹣11﹣6）=123（分）；
（2）慧慧成绩的方差 S2= [92+12+52+12+42+22+12+32+02+22]=14.2，
聪聪成绩的方差S2= [12+12+22+52+42+32+82+52+92+42]=24.2，
（3）根据（1）可知慧慧的平均成绩要好于聪聪，根据（2）可知慧慧的方差小于聪聪的方差，因为方差越小越稳定，所以慧慧的成绩比聪聪的稳定，因此选慧慧参加全国数学竞赛更合适一些．
（4）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中两名学生分别在初三•二班和初三•三班的结果数为2，
所以两名学生分别在初三•二班和初三•三班的概率==．

21．为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°，C岛在北偏东15°，航行100海里到达B岛，在B岛测得C岛在北偏东45°，求B，C两岛及A，C两岛的距离（≈2.45，结果保留到整数）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由等腰直角三角形的性质求出AD的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：由题意知：∠BAC=45°，∠FBA=30°，∠EBC=45°，AB=100海里；
过B点作BD⊥AC于点D，
∵∠BAC=45°，
∴△BAD为等腰直角三角形；
∴BD=AD=50，∠ABD=45°；
∴∠CBD=180°﹣30°﹣45°﹣45°=60°，
∴∠C=30°；
∴在Rt△BCD中BC=100≈141海里，CD=50，
∴AC=AD+CD=50+50≈193海里．

22．如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设条纹的宽度为x米，根据等量关系：配色条纹所占面积=整个地毯面积的，列出方程求解即可；
（2）根据总价=单价×数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解．
【解答】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得
2x×5+2x×4﹣4x2=×5×4，
解得：x1=（不符合，舍去），x2=．
答：配色条纹宽度为米．
（2）条纹造价：×5×4×200=850（元）
其余部分造价：（1﹣）×4×5×100=1575（元）
∴总造价为：850+1575=2425（元）
答：地毯的总造价是2425元．

23．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求圆的半径及圆心P的坐标；
（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；
（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB=10，再利用圆周角定理的推理可判断AB为⊙P的直径，则得到⊙P的半径是5，然后利用线段的中点坐标公式得到P点坐标；
（2）根据圆周角定理由=，∠OAM=∠MAB，于是可判断AM为∠OAB的平分线；
（3）连接PM交OB于点Q，如图，先利用垂径定理的推论得到PM⊥OB，BQ=OQ=OB=4，再利用勾股定理计算出PQ=3，则MQ=2，于是可写出M点坐标，接着证明MQ为△BON的中位线得到ON=2MQ=4，然后写出N点的坐标．
【解答】解：（1）∵O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，
∴AB==10，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙P的直径，
∴⊙P的半径是5
∵点P为AB的中点，
∴P（4，﹣3）；
（2）∵M点是劣弧OB的中点，
∴=，
∴∠OAM=∠MAB，
∴AM为∠OAB的平分线；
（3）连接PM交OB于点Q，如图，
∵=，
∴PM⊥OB，BQ=OQ=OB=4，
在Rt△PBQ中，PQ===3，
∴MQ=2，
∴M点的坐标为（4，2）；
∵MQ∥ON，
而OQ=BQ，
∴MQ为△BON的中位线，
∴ON=2MQ=4，
∴N点的坐标为（0，4）．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=k（x﹣2）的图象交点为A（3，2），B（x，y）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；
（2）若C是y轴上的点，且满足△ABC的面积为10，求C点坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据点A（3，2）在反比例函数y=，和一次函数y=k（x﹣2）上列出m和k的一元一次方程，求出k和m的值即可；联立两函数解析式，求出交点坐标；
（2）设C点的坐标为（0，yc），求出点M的坐标，再根据△ABC的面积为10，知×3×|yc﹣（﹣4）|+×1×|yc﹣（﹣4）|=10，求出yC的值即可．
【解答】解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数y=，和一次函数y=k（x﹣2）上；
∴2=，2=k（3﹣2），解得m=6，k=2；
∴反比例函数解析式为y=，和一次函数解析式为y=2x﹣4；
∵点B是一次函数与反比例函数的另一个交点，
∴=2x﹣4，解得x1=3，x2=﹣1；
∴B点的坐标为（﹣1，6）；
（2）∵点M是一次函数y=2x﹣4与y轴的交点，
∴点M的坐标为（0，﹣4），
设C点的坐标为（0，yc），由题意知×3×|yc﹣（﹣4）|+×1×|yc﹣（﹣4）|=10，
解得|yc+4|=5，
当yc+4≥0时，yc+4=5，解得Yc=1，
当yc+4≤0时，yc+4=﹣5，解得Yc=﹣9，
∴点C的坐标为（0，1）或（0，﹣9）．

25．如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．
（1）求证：△ABP∽△QEA；
（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；
（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可；
（3）根据相似三角形的性质得出函数解析式即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形；
∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，
∵QE⊥AP；
∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°
∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ；
∴△ABP∽△QEA（AA）
（2）∵△ABP≌△QEA；
∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）；
在RT△ABP与RT△QEA中根据勾股定理得AP2=32+t2，AQ2=（2t）2
即32+t2=（2t）2
解得t1=，t2=﹣（不符合题意，舍去）
答：当t取时△ABP与△QEA全等．
（3）由（1）知△ABP∽△QEA；
∴=（）2
∴=（）2
整理得：y=．

26．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．
（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；
（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用抛物线和x轴的两个交点坐标，设出抛物线的解析式y=a（x﹣x1）（x﹣x2），代入即可得出抛物线的解析式，再设出直线AC的解析式，利用待定系数法即可得出答案；
（2）先求得抛物线的顶点D的坐标，再设点P坐标（0，Py），根据A，B，D三点在⊙P上，得PB=PD，列出关于Py的方程，求解即可得出P点的坐标；
（3）假设抛物线上存在这样的点Q使直线AQ与⊙P相切，设Q点的坐标为（m，m2﹣4），根据平面内两点间的距离公式，即可得出关于m的方程，求出m的值，即可得出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）；
∴设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）（x+2）…①，
把C（3，5）代入①得a=1；
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4；
设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0）…②
把A（﹣2，0），C（3，5）代入②得，
解得，
∴一次函数的解析式为：y=x+2；
（2）设P点的坐标为（0，Py），
由（1）知D点的坐标为（0，﹣4）；
∵A，B，D三点在⊙P上；
∴PB=PD；
∴22+Py2=（﹣4﹣Py）2，
解得：Py=﹣；
∴P点的坐标为（0，﹣）；
（3）在抛物线上存在这样的点Q使直线AQ与⊙P相切．
理由如下：设Q点的坐标为（m，m2﹣4）；
根据平面内两点间的距离公式得：AQ2=（m+2）2+（m2﹣4）2，PQ2=m2+（m2﹣4+）2；
∵AP=，
∴AP2=；
∵直线AQ是⊙P的切线，
∴AP⊥AQ；
∴PQ2=AP2+AQ2，
即：m2+（m2﹣4+）2=+[（m+2）2+（m2﹣4）2]
解得：m1=，m2=﹣2（与A点重合，舍去）
∴Q点的坐标为（，）．
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