2022届河北省石家庄二中南校区高三上学期第一次月考数学试题（含解析）

2021-2022学年第一学期学情调研

数学试卷

一､单选题（共8题，每题5分）

1. 已知全集U＝R，集合M＝{x|x2+x﹣2≤0}，集合N＝{y|y＝}，则（CUM）∪N等于（　　）

A. {x|x＜﹣2或x≥0} B. {x|x＞1}

C. {x|x＜﹣1或1＜x≤3} D. R

【答案】A

【解析】

【分析】

解出不等式x2+x﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解.

【详解】解不等式x2+x﹣2≤0得：-2≤x≤1，CUM=，

N＝{y|y＝}，

（CUM）∪N={x|x＜﹣2或x≥0}.

故选：A

【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.

2. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.

【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“”的否定是“”.

故选：B.

3. 已知，，若集合，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.

【详解】因为，

所以，解得或，

当时，不满足集合元素的互异性，

故，，，

故选：B.

【点睛】易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.

4. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ）

A.  B. 或

C. 或 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得和2是方程的两个根，且，利用韦达定理可得，代入所求不等式化简即可求出.

【详解】不等式的解集为，

和2是方程的两个根，且，

，可得，

则不等式化为，

由，则可整理得，解得，

故不等式的解集为.

故选：D.

5. 已知，，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围.

【详解】设，

所以，解得：，，

因为，，所以，

故选：A.

6. 若正数x，y满足，当取得最小值时，的值为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】由，得，所以，化简后利用基本不等式求出其最小值，从而可求出的值，进而可求出的值

【详解】解：因为正数x，y满足，所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

因为，所以解得，

所以当时，取得最小值，

所以，

故选：B

7. 若不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

将（x+y）（）展开凑定值，求得最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.

【详解】由均值不等式，当且仅当，等号成立，

只需，即，得，

故（舍去）或，得，

则正实数a的最小值是4.

故选：C.

【点睛】本题考查了不等式恒成立参数问题，通常转化成求函数最值进行求解.

8. 已知，若是的必要而不充分条件，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由是的必要而不充分条件，可得是不等式解集的真子集，然后由两集合端点值间的关系列式求得的取值范围.

【详解】，对应的集合为，

由是的必要而不充分条件，得，而，

设不等式的解集为，则，

，即，的取值范围是.

故选：C.

二､多选题（共4题，每题5分）

9. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若a>b>0，则ac2>bc2 B. 若a>b，则a2>b2

C. 若a<b<0，则a2<ab<b2 D. 若a<b<0，则

【答案】D

【解析】

【分析】举反例说明ABC不正确，依据不等式的性质可知D正确，从而得出选项.

【详解】对于A，当c=0时，ac2=bc2，所以A不是真命题；

对于B，当a=0，b=-2时，a>b，但a2<b2，所以B不是真命题；

对于C，当a=-4，b=-1时，a<b<0，a2>ab>b2，所以C不是真命题；

对于D，若a<b<0，则，所以D是真命题．

故选:D．

10. 已知，使得成立的充分不必要条件可为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据题意，结合充分必要条件的定义依次分析选项即可得出选项.

【详解】根据题意，依次分析选项：

A，若，不一定有，如，

不是的充分条件，A错误；

B，当，时， ，但不成立，

则不是充分条件，B错误；

C，若，必有，反之若，则，

则不是成立的充分不必要条件，C正确；

D，若，而，必有，

反之若，不一定有，则是成立的充分不必要条件，D正确.

故选：CD

11. 若集合具有以下性质：（1），；（2）若、，则，且时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（    ）

A. 集合是“完美集”

B. 有理数集是“完美集”

C. 设集合是“完美集”，、，则

D. 设集合“完美集”，若、且，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用第（2）条性质结合，可判断A选项正误；利用题中性质（1）（2）可判断B选项的正误；当时，推到出，结合性质（2）可判断C选项的正误；推导出，结合性质（2）可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，取，，则，集合不是“完美集”，A选项错误；

对于B选项，有理数集满足性质（1）、（2），则有理数集为“完美集”，B选项正确；

对于C选项，若，则，，C选项正确；

对于D选项，任取、，若、中有或时，显然；

当、均不为、且当，时，，

则，所以，，，，

所以，若、且，则，从而，D选项正确.

故选：BCD.

【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.

12. 下列说法错误的是（    ）

A. 已知为正实数，且，则的最小值为4

B. 当时，的最小值是

C. 设集合，且有4个子集，则实数m的取值范围是

D. 已知集合，则使成立的m的范围是

【答案】BD

【解析】

【分析】对于选项A、B，利用基本不等式，即可判断选项A、B是否正确；对于选项C、D，先判断集合的包含关系，进而可列出不等关系，即可求出m的取值范围，即可判断选项C、D是否正确.

【详解】对于选项A，由，可得，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，联立，解得，所以的最小值为4.故选项A正确；

对于选项B，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，因为，所以等号取不到.故选项B错误；

对于选项C，集合，由有4个子集，可得有2个元素，因为集合有2个元素，所以，所以，故，故选项C正确；

对于选项D，因为，所以，即，①若集合，则，即；②若集合，则，解得.综上可得.故选项D错误.

故选：BD.

三､填空题（共4题，每题5分）

13. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合和集合，若集合构成“偏食”，则实数t的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】先求出集合，再根据“偏食”的概念，可列出不等式组或，求解即可.

【详解】由题意，可知集合，集合，

因为集合构成“偏食”，所以或，

解不等式组，得；

解不等式组，得，此时无解.

所以实数t的取值范围为.

故答案为：.

14. 已知命题.若p为假命题，则a的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意可知为真命题，从而可得，解不等式即可求解.

【详解】为假命题，

则为真命题，

所以，即.

所以a的取值范围为

故答案为：

15. 已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是__________.

【答案】

【解析】

【分析】条件，条件，根据p是q的必要条件，可得．因此，或，．分类讨论即可得出．

【详解】解：条件，

条件，

是的必要条件，．

，或，．

时，满足题意．

时，若，则，解得．

若，则，解得．

综上可得：的取值集合是：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了方程的解法、集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16. 设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是___________，全部不等式的整数解的和为___________.

【答案】    ①. -2或-1##-1或-2    ②. -10

【解析】

【分析】先确定，再利用0为其中的一个解，，可求出的值，从而可求出原不等式的解，由此确定不等式的整数解，从而可得出答案.

【详解】若，则原不等式为，即，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故.

设，其图象为抛物线，

对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，

因为0为其中一个解，所以，即，所以，

又，所以或，

若，则不等式为，解得，

因为为整数，所以；

若，则不等式为，解得，

因为为整数，所以.

所以全部不等式整数解的和为.

故答案为：-2或-1；-10.

四､解答题

17. 设全集为，，.

（1）当时，求；

（2）若，求实数a的取值范围.

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】（1）求出集合及，进而求出即可；

（2），由（1）知，根据，可知，进而根据集合的包含关系，可列出不等式，进而可求出答案.

【详解】（1）由题意，或，则，

∵，∴，

∴或，

.

（2）由题意，，

由（1）知，

∵，∴，即.

①若，即，则，满足；

②若，即，则，

∵，∴，解得；

③若，即，则，

∵，∴，解得.

综上所述，实数a的取值范围是.

18. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米，设的长为米（）.

（1）要使矩形的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内？

（2）求当、的长度是多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小面积.

【答案】（1）；（2），，48平方米.

【解析】

【分析】（1）求出矩形的长与宽，计算其面积，利用面积大于平方米，建立不等式，即可求得的长的范围；

（2）利用换元法，再利用基本不等式，即可求得面积的最小值.

【详解】（1）设的长为米，

因为是矩形，可得，所以，

所以（其中）

由，可得，

因为，所以，解得或，

所以长的取值范围是.

（2）令，令（），则，

所以

当且仅当（），即时取等号，

此时，，最小面积为48平方米.