2023届河北省邢台市六校联考高三上学期第一次月考数学试题含解析

2023届河北省邢台市六校联考高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分别解二次不等式和对数不等式，求得集合，进而利用交集的定义求得.

【详解】A，则.

故选：B

2．命题：“，”为假命题的充要条件是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据命题的否定为真命题求解，分，两种情况，分别验证或由一元二次不等式恒成立求解.

【详解】命题为假命题，即命题为真命题.

首先，时，恒成立，符合题意；

其次时，则且，即，

综上可知，.

故选：A

3．下列求导运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导函数四则运算法则和简单复合函数求导法则计算出结果.

【详解】对于A，，故A不正确；

对于B，，B错误.

对于C，，C正确

对于D，，D错误.

故选：C

4．函数图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断函数的奇偶性，得到函数为奇函数，排除A，再根据函数的零点个数排除D选项，根据在y轴左侧附近时，排除C，选出正确答案.

【详解】由于，

∵，

∴是奇函数，图像关于原点对称，排除A，

令，得，

∴，，

∴，，

∴函数有无数个零点，排除D.

当，，排除C.

故选：B.

5．设，，则下列说法中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意，利用函数单调性，求解的大小关系，根据作差法和估计取值范围，逐项验证，可得答案.

【详解】令，

因为在上递增，且，所以函数在在上递减，

所以，即，

对于A，因为，故，即，故A错误；

对于B，因为，所以，故B错误；

对于C，因为，，故C正确；

对于D，因为，故，即，故D错误.

故选：C.

6．2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零．14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据距离的平均变化率及平均速率的定义计算可得；

【详解】解：探测器与月球表面距离逐渐减小，所以；

探测器的速度逐渐减小，所以

故选：D

7．已知直线l是曲线与曲线的一条公切线，直线l与曲线相切于点，则a满足的关系式为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设与的切点为，利用导数的几何意义可得斜率相等，再结合斜率公式得到等式，将代入即可得到满足的关系式.

【详解】记，得，记，得，

设直线与曲线相切于点，

由于是公切线，故可得，即，即，

又因为，即，

将代入，得，即，

整理得.

故选：C.

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，利用作差法，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案.

【详解】①

令，则，

故在上单调递减，

可得，即，所以；

②

令，则，

令，所以，

当时，，

所以在上单调递增，可得，即，

所以在上单调递增，可得，即，所以.

故.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若不等式的解集为，则

B．若命题p：，，则p的否定为，

C．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是

D．已知.若的值域为R，则实数m的取值范围

【答案】AB

【分析】对于A，不等式解集的端点即对应方程的根，可求出，判断正误；

对于B，使用含有一个量词的命题的否定的知识进行判断；

对于C，结合函数单调性的定义，结合分段函数单调性知识进行判断；

对于D，可使用复合函数的值域知识进行判断.

【详解】对于A，不等式的解集为，

则和是方程的两个根，故，

解得，所以，故A正确；

对于B，全称量词命题“，”的否定为存在量词命题“，”

因此命题，则其否定为，故B正确；

对于C，因为是增函数，需满足当时，为增函数，当时，为增函数，且当时，，所以，解得，故C不正确；

对于D，令，，的值域为R，则的值域为R，即为值域的子集，当时，，值域为R，满足题意，当时，需，即，解得，综上所述，实数的取值范围是，故D不正确.

故选：AB.

10．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称为取整函数.如，，，以下关于“高斯函数”的性质应用是真命题的有（　　）

A．，

B．，，则

C．，

D．若的定义域为，值域为M，的定义域为N，则

【答案】AB

【分析】A选项可举出实例；B选项可进行推导；C选项可举出反例；

D选项求出和，从而求出并集.

【详解】时，，故A为真命题；

设，则，，∴，故B为真命题；

，时，有，但，故C为假命题．

因为的定义域为，值域为，

的定义域为:，解得：，

所以，对于D，，所以D不正确.

故选：AB

11．已知函数，若直线与函数的图象有三个交点，，，且，则下列命题中错误的是（　　）

A．函数有两个零点和

B．

C．方程有六个不同的根

D．当时，方程有两个不相等的实数根

【答案】ACD

【分析】对A，由零点的定义可判断；

对B，由的单调性可得，即有，结合对数运算化简即可；

对C，由方程得或3，由单调性及值域可判断根的个数；

对D，，可转化成的交点个数，由刚好在相切即可判断

【详解】由题意，在、单调递增，在单调递减， ，

对A，函数有两个零点0或2，A错；

对B，，可得，即，B正确；

对C，可得或3，由单调性及值域，只有4个不同的根，不可能有六个不同的根，C错；

对D，如图，作出函数的大致图象，

当时，，故在点处的切线斜率为，

当时，方程过且与相切，故只有一个实数根，D错.

故选：ACD

12．已知函数及其导数的定义域均为R，记．若为偶函数，为奇函数，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】分析得到关于直线对称，函数关于点对称，结合已知分析即得解.

【详解】解：为偶函数，可得，所以

关于直线对称，

设，，所以选项A错误；

为奇函数，，所以函数关于点对称.

令得.故选项B正确；

关于直线对称，所以

所以，即

所以，所以，故选项C正确；

所以，所以，故选项D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．计算结果是__________．

【答案】

【分析】根据指数幂的运算以及对数的运算，进行化简求值，可得答案.

【详解】因为，，，

，

所以

,

故答案为：

14．二次函数与在它们的一个交点处切线互相垂直，则的最小值为________.

【答案】

【分析】根据交点处切线垂直得到，再利用基本不等式中的乘1法即可得到最值.

【详解】解：设该交点为，

因为，则，

因为，则，

因为两函数在交点处切线互相垂直，

所以，，

分别化简得，，

上述两式相加得，又，

其中，

当且仅当，且即时取等号.

故所求最小值为，

故答案为：.

【点睛】切线问题是导数中常遇到的问题，本题设交点坐标，根据交点处切线垂直得到等式，再转化为基本不等式中的最值问题.

15．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________.

【答案】

【分析】令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.

【详解】解：令，则，

当时，是增函数，由在区间上为减函数，

则在上为减函数，故，即，解得；

当时，是减函数，由在区间上为减函数，

则在上为增函数，故，即，解得，

综上，的取值范围是..

故答案为：

16．设定义域为的单调可导函数，对任意的，都有，若是方程的一个解，且，，则实数________.

【答案】2

【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再借助零点存在性定理推理作答.

【详解】对任意的，都有，且是上的单调函数，

因此为定值，设，则，显然，

即，而函数在上单调递增，且，于是得，

从而，求导得，

方程，

依题意，是函数的零点，而函数在上单调递增，

且，

即函数的零点，又，所以.

故答案为：2

四、解答题

17．关于x的不等式：.

(1)设的最小值为a，求此时不等式的解集；

(2)求关于x的不等式的解集：.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据二次函数最小值求出最小值为8，代入解出一元二次不等式即可.

（2）对含参一元二次不等式进行分类讨论即可.

【详解】(1)因为，

所以的最小值为8．

原不等式为，解集为.

(2)，

①当时，不等式为，解集为，

时，不等式分解因式可得，

②当时，故，此时解集为．

③当时，，故此时解集为，

④当时，可化为，又，

解集为．

⑤当时，可化为，

又，解集为，

综上所述：时，解集为，

时，解集为，

时，解集为，

时，解集为，

时，解集为．

18．已知函数为偶函数，为奇函数，且.

(1)求函数和的解析式；

(2)若在恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，

(2).

【分析】（1）根据函数的奇偶性，为题干条件可以新加入一个方程，联立解出和；

（2）利用指数函数的性质，换元后，参变分离来解决.

【详解】(1)为偶函数，为奇函数，，

由得：，.

(2)由（1）得：，由得：，根据指数函数性质，，在上单调递增，故在上单调递增，故，令，则，

，即对恒成立，即上恒成立，根据对勾函数性质，在时单调递增，所以，于是，即实数的取值范围为.

19．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段国道上进行测试，汽车行驶速度低于80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，且，，（）．

(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由；

(2)求出（1）中所选函数模型的函数解析式；

(3)根据（2）中所得函数解析式，求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地，前一段是200km的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h），若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系满足，则如何行使才能使得总耗电量最少，最少为多少？

【答案】(1)，理由见解析

(2)

(3)当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为

【分析】（1）由表格数据判断合适的函数关系，

（2）代入数据列方程组求解，

（3）分别表示在国道与高速路上的耗电量，由单调性求其取最小值时的速度.

【详解】(1)若选，则当时，该函数无意义，不合题意．

若选，显然该函数是减函数，这与矛看，不合题意．

故选择．

(2)选择，由表中数据得，

解得，所以当时，．

(3)由题可知该汽车在国道路段所用时间为，

所耗电量，

所以当时，．

该汽车在高速路段所用时间为，

所耗电量，

易知在上单调递增，所以．

故当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为．

20．已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，求的最大值.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；

（2）由题意知，化简得，则，令，利用导数求出其最小值，从而可求出的最大值.

【详解】(1)当时，，，

因为，所以，即，

所以曲线在处的切线方程为，

即；

(2)由题意知，，

即，

整理得，

因为，所以，

所以，

令，则，

因为，所以，

所以在上单调递增，

即，

所以，

即

所以的最大值为.

21．已知定义在上的函数满足，且，.

(1)求的值；若函数的定义域为，求的值域.

(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围.

【答案】(1)；值域为

(2)

【分析】（1）利用可求得；根据复合函数定义域的求法可求得的定义域，结合的解析式可求得值域；

（2）根据单调性的性质可确定在上单调递增，由此可得在上的最小值为，根据能成立的思想，结合，分离变量可将问题转化为，由此可求得的取值范围.

【详解】(1)，

，解得：，；

若定义域为，则由得：，即的定义域为；

，，

当时，，值域为.

(2)由（1）得：；

在上单调递增，在上单调递增，

又在上单调递增，在上单调递增；

当时，；

对任意的，存在，使得，

存在，，即，

在上单调递增，，

，解得：，即实数的取值范围为.

22．已知函数，（，且）.

(1)，，求实数a的取值范围；

(2)设，在（1）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，试说明理由.

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）考察恒成立问题，构建新函数，对进行分类讨论即可；

（2）利用韦达定理构建成，是方程的大于的两个不等实根，再利用二次函数的图像的特点，数形结合列出不等式，最后不忘第（1）问的范围得到不存在.

【详解】(1)，，即成立，又，

函数在上为增函数，

①若，则，所以，

即，

则，解得或．又，所以．

②若，则，所以，

即，

则，解得，又，所以．

综上的取值范围为

(2)假设存在，满足题意，由（1）知，

所以在上是减函数，则，

所以，

即，是方程的大于的两个不等实根，

设，其对称轴为，由题意得，解得或

又，所以．

综上，不存在满足题意的实数，．

【点睛】本题主要利用构建新函数，对参数分类讨论，第二问齐次化构建新方程，再利用一元二次方程根的分布问题转化到二次函数图像的问题列不等式即可.