2022届广东省广雅中学高三上学期9月月考数学试题（含解析）

2022届广东省广雅中学高三上学期9月月考

数学

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】采用列举法列举出中元素的即可.

【详解】由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为4.

故选：C.

【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.

2. 若复数z满足，则z的虚部是（    ）

A. i B. 4 C. -4i D.

【答案】B

【解析】

【分析】计算出，即可得到虚部.

【详解】由题：，，

所以z的虚部是4.

故选：B

3. 已知函数，则的值为（    ）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数解析式，从内至外计算，即可容易求得结果.

【详解】由题意得，，，，

所以.

故选：.

【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，属简单题.

4. 已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】依题意，再根据指数函数、对数函数的性质计算可得；

【详解】解：因为，所以，，，

即，，，

所以

故选：D

5. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ）

A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.

【详解】设等比数列的公比为，

由可得：，

所以，

因此.

故选：B.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.

6. 已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据，，，得到， 的外接圆的圆心分别为边的中点，则外接球的球心为两中点连线的中点求解.

【详解】如图所示：

因为，，，

所以的中点 ，分别为 ， 的外接圆的圆心，

所以直三棱柱的外接球的球心是的中点，

所以，

所以球O的表面积为，

故选：C

【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.

7. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且，则实数的值为

A. 3 B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】由得.

解之得,故选A.

8. 已知是定义在上的函数，满足，，若，则 （    ）

A.  B. 50 C. 2 D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件求出函数的对称轴，对称中心，周期性为，根据求出，计算即可求解.

【详解】因为满足，所以图象关于对称，

由可得，所以图象关于点中心对称，

由可得，

所以，可得，

所以是周期为的函数，

因为，可得，

令可得，可得，所以，

，

所以，

因为，

所以，

故选：C.

二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 如图是国家统计周公布的2020年下半年快递运输量情况，请根据图中信息选出正确的选项（    ）

A. 2020年下半年，每个月的异地快递量部是同城快递量的6倍以上

B. 2020年10月份异地快递增长率小于9月份的异地快递增长率（注.增长率指相对前一个月而言）

C. 2020年下半年，异地快递量与月份呈正相关关系

D. 2020年下半年，同城和异地快递量最高均出现在11月

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据统计图表中的数据计算可得答案.

【详解】对于A，2020年7月的异地快递量为572812.9万件，同城快递量为105191.1万件，异地快递量不是同城快递量的6倍，故A不正确；

对于B，因为，9月异地快递增长率明显高于10月异地快递增长率，故B正确；

对于C，由图可看出，除2020年12月异地快递量较11月略少，其余都有较明显增加，因此可以判断异地快递量与月份呈正相关关系，故C正确；

对于D，由图可看出，同城和异地快递量最高都在11月份，故D正确.

故选：BCD

10. 设，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增

C. 的图象关于轴对称 D. 的图象关于对称

【答案】AB

【解析】

【分析】根据余弦函数的周期公式、单调性、对称轴和对称中心的结论逐个分析可得答案.

【详解】由得最小正周期，故A正确；

当时，可得，因为在上单调递增，

所以在上单调递增，故B正确；

当时，，，所以的图象不关于轴对称，而是关于对称，故C不正确，D不正确；

故选：AB

11. 已知，下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则.

B. 若，则

C. 若且，则.

D. 若，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据均值不等式最值公式对选项一一判断即可．

【详解】对A，，当时等号成立，故正确；

对B，因为，所以，则，故正确；

对C，且

则，故错；

对D，因为，所以，故正确．

故选：ABD

12. 已知O为坐标原点，是抛物线上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有（    ）

A. 周长的最小值为

B. 若，则最小值为4

C. 若直线过点F，则直线的斜率之积恒为

D. 若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据F到准线的距离为2，求出，可得焦点和准线方程，利用抛物线的定义可求出周长的最小值为，故A不正确；利用抛物线的定义将弦长转化为弦的中点到准线的距离可得最小值为4。故B正确；设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和斜率公式，计算可知C不正确；利用外接圆与抛物线C的准线相切，求出圆心的横坐标和圆的半径，可得圆的面积为，故D正确.

【详解】因为F到准线的距离为2，所以，所以抛物线，，，准线，

对于A，过作，垂足为，则，

所以周长的最小值为，故A不正确；

对于B，若，则弦过，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，设的中点为，过作，垂足为，则，即最小值为4，故B正确；

对于C，若直线过点F，设直线，

联立，消去得，

设、，则，，

所以，故C不正确；

对于D，因为为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为，

因为外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为，

所以该圆面积为，故D正确.

故选：BD

三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量与的夹角为，且，则________．

【答案】

【解析】

【分析】通过模的平方转化为数量积运算计算出模．

【详解】由题意，，

，

所以．

故答案为：．

14. 若函数为偶函数，则实数_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据偶函数的定义，由恒成立可求出结果.

【详解】因为函数为偶函数，

所以恒成立，即恒成立，

所以恒成立，

所以恒成立，所以恒成立，

所以，解得.

故答案为：.

15. 数列满足，其前n项的乘积为，则_________.

【答案】2

【解析】

【分析】首先判断数列的周期，利用周期求.

【详解】，，，所以数列的周期，

，

.

故答案为：2

16. 已知外接圆半径为1，，若边上一点D满足，且，则的面积为________.

【答案】

【解析】

【分析】由正弦定理得：，可得：，，，在中，，在中，，可得，在中，，及的面积为，可得答案．

【详解】解：的外接圆半径为1，，

由正弦定理得：，可得：，

边上一点满足，

且，，，

在中，，①

在中，，②

由①②可得，

在中，，

，则的面积为．

故答案为：．

四、解答题，本题共6小题，共70分.解等应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17. 已知数列的前n项和为，满足.

（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前n项和.

【答案】（1）证明见解析，； （2）.

【解析】

【分析】（1）由，化简得到，得出，利用等差数列的定义，得到数列表示首项为，公差为的等差数列，进而求得.

（2）由题意，化简得到，结合裂项法，即可求解.

【详解】（1）因为，可得，即，

可得，即，

又由，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，

所以，所以.

（2）由，

则数列的前n项和：

，即.

18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积.

（1）求边b的最小值；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先由三角形面积公式求出c，进而根据正弦定理得到答案；

（2）由正弦定理角化边，再结合余弦定理解出a，进而求出面积

【详解】（1）∵，则由三角形面积公式，

由正弦定理：，即b的最小值为.

（2）由正弦定理，，

由余弦定理：，

联立方程解得：a=8，所以三角形面积.

19. 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏着”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.

（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；

（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：

（3）研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是600元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望.

附表及公式:

【答案】(1) 这500名患者潜伏期的平均数为6，这500名患者中“长潜伏者”的人数为250；(2)列联表见解析，有的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；(3)分布列见解析，.

【解析】

【分析】(1)利用各区间的中点值乘该区间的面积相加可得这500名患者潜伏期的平均数，由频率分布表确定样本中“长潜伏者”的频率，由此计算这500名患者中“长潜伏者”的人数；(2)补充列联表，并根据列联表数据计算的值，查表确定临界值，半径两者大小，确定是否接受假设，(3)由条件确定随机变量X的所有可能取值，并求取各值的概率，由此可得X的分布列，再根据期望的定义求的值.

【详解】(1) 这500名患者潜伏期的平均数可表示为：，

∴  这500名患者潜伏期的平均数为6，

“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的人，由频率分布直方图可得这500名患者中“长潜伏者”的频率为(0.18+0.03+0.03+0.01)×2，即0.5，

∴  这500名患者中“长潜伏者”的人数为250，

(2)∵  500名患者中“长潜伏者”的人数为250，

由分层抽样性质可得，抽取300人中“长潜伏者”有人，即150人，所以“短潜伏者”有150人，又300人中60岁以上的人有160人，故60岁以下的人有140人，

∴  列联表为：

∴  ，

又查表可得，5.357>5.024

∴  有的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；

(3)由已知可得随机变量X可能取值有1200，1800，2400，

，，，

∴X的分布列为：

∴  .

20. 如图，正方形的边长为2，的中点分别为C，，正方形沿着折起形成三棱柱，三棱柱中，.

（1）证明:当时，求证：平面；

（2）当时，求二面角余弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）要证明线面垂直，转化为证明线线垂直，关键证明，；

（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量公式求二面角的余弦值.

【详解】（1）当时，点是的中点，

因，所以，又，

所以，所以，

因为，，所以平面，平面

所以，且，

所以平面；

（2）因为，，两两互相垂直，所以以点为原点，以，，作为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如下图，

平面，所以向量是平面的法向量，

，，，，，

设平面的法向量，

所以，即 ，令，， ，

所以平面的一个法向量，

，

所以二面角的余弦值是

21. 已知椭圆上的点到右焦点的最大距离是，且成等的比数列.

（1）求椭圆的方程；

（2）我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，过坐标原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线的斜率为，当，求此时“卫星圆”的标准方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，求出的值即可求解；

（2）设“卫星圆”圆心 ，半径，卫星圆方程为：，

切线方程为：，利用圆心到切线的距离等于半径列方程整理为关于的二次方程，根据以及即可得与 的值，即可求解.

【详解】（1）由题意可得，解得：，

所以椭圆的方程为：；

（2）设椭圆C的“卫星圆”的圆心 ，则，

圆的半径为，所以圆的方程为，

设过坐标原点O作椭圆C的“卫星圆”的切线的方程为：，

所以圆心到切线的距离，

整理可得：，

因为若直线的斜率为，

所以，即，

由可得，所以，可得，

由韦达定理可得：，

所以，

整理可得：，即，

解得：或（舍）

所以，

因为，

所以或，

所以“卫星圆”的标准方程为：或.

22. 设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在两个极值点、，证明，.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）求得，然后对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；

（2）分析可知所证不等式等价于，构造函数，利用导数分析函数的单调性，由此可证得所证不等式成立.

【详解】（1）函数的定义域为，，

令.

①当时，，若，则，函数单调递减，

若，则，此时函数单调递增.

此时，函数的减区间为，增区间为；

②当时，对于函数，.

（i）若，则，对任意，，

此时，函数在上单调递减；

（ii）当时，，由，可得或，

由，可得，

此时，函数的减区间为、，增区间为；

（iii）若，则，，，

由可得，由可得.

此时，函数的减区间为，增区间为；

（2）因为函数存在两个极值点，由（1）可知，

，由可得，

即，

构造函数，其中，

则对任意的恒成立，

所以，函数在上单调递减，

由已知可得，所以，，即.

故原不等式得证.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.