青海省海西州高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（文）试题（含答案与解析）

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第一学期期中考试

高二数学（文科）试卷

考试时间：120 分钟       总分：150 分

命题人：       审核人：

注：

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．有关命题的说法错误的是（    ）

A．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题

B．“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件

C．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”

D．对于命题p：∃x≥0，2x＝3，则￢P：∀x＜0，2x≠3

2．已知为实数，则“且”是“且”的（ ）

A．充分不必要条件          B．必要不充分条件

C．充要条件                D．既不充分也不必要条件

3．命题“若，则”的否命题为（    ）

A．若，则且 B．若，则或

C．若，则且 D．若，则或

4．将60个个体按照01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数（下表为随机数表的第8行和第9行），

则抽取的第11个个体是（    ）

A．38 B．13 C．42 D．02

5．某校高三共有学生1000人，该校高三学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图所示，则该校高三学生在本次考试中数学成绩在分的人数为（    ）

A．30人       B．300人        C．10人      D．100人

6．为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是（    ）

A．，乙比甲稳定，应选乙参加比赛   

 B．，甲比乙稳定，应选甲参加比赛

C．，甲比乙稳定，应选甲参加比赛    

D．，乙比甲稳定，应选乙参加比赛

7．一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为25的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为049与120之间抽得的编号为（  ）

A．056，080，104 B．054，078，102

C．054，079，104 D．056，081，106

8．某公司某件产品的定价x与销量y之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归直线方程为：，则表格中n的值应为（    ）

A．45 B．50 C．55 D．60

9．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0,4）到焦点F的距离|MF|x0,则p＝（    ）

A．2 B．4 C．1 D．5

10.在正方体中，异面直线与所成的角的大小为（    ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线，过其右焦点且平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．椭圆，为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题(本大题共四题，每题5分，共20分)

13．若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为______.

14．若数据的标准差为，则数据的标准差为__________.

15．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________.

16．设椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与交于两点，若是等边三角形，则椭圆的离心率等于________.

三、解答题（本大题共6题，17题10分，其余各题12分，共70分）

17．已知集合，集合.

（1）当时，求；

（2）设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

18．疫情爆发以来，相关疫苗企业发挥专业优势与技术优势争分夺秒开展疫苗硏发．为测试疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），选定2000个样本分成三组，测试结果如下表：

已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．

（1）求，的值；

（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取180个测试结果，求C组应抽取多少个？

19．随着经济环境的好转，各地陆续出台刺激消费的政策，2020年4月以后，我国国民消费量日益增加．某地一大型连锁酒店4月到7月的营业额，统计如下：

据分析，销售收入y（万元）与月份x具有线性相关关系．

（1）试求y关于x的线性回归方程；（，）

（2）若该酒店的利润为，试估计该酒店从几月份起，月利润会超过60万元？

（附：在线性回归方程中，，．）

20．已知双曲线：（，）的离心率为，虚轴长为4.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）直线：与双曲线相交于，两点，为坐标原点的面积是，求直线的方程

21．已知点，，点P满足：直线的斜率为，直线的斜率为，且

（1）求点的轨迹C的方程；

（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，问在x轴上是否存在点Q，使得为定值?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

22．已知椭圆：（），以椭圆的短轴为直径的圆经过椭圆左右两个焦点，，是椭圆的长轴端点．

（1）求圆的方程和椭圆的离心率；

（2）设，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，，试判断与所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由．

考答案

1．D

【解析】

【分析】

根据含有逻辑联结词命题真假性、充分和必要条件、逆否命题和全称命题与特称命题的知识对选项逐一分析，由此确定说法错误的选项.

【详解】

对于A选项，由于为假命题，故均为假命题——A选项说法正确.

对于B选项，，解得或.所以“”是“”的充分不必要条件——B选项说法正确.

对于C选项，根据逆否命题的知识可知，C选项说法正确.

对于D选项错误，原命题的否定应为.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查命题与常用逻辑用语的知识，属于基础题.

2．C

【解析】

试题分析：由题意得，因为是实数，所以“且”可推出“且”，“且”推出“且”，所以“且”是“且”的充要条件，故选C．

考点：充要条件的判定．

3．D

【解析】

【分析】

根据为原命题条件,为原命题结论,则否命题:若非则非,即可求得答案.

【详解】

设为原命题条件,为原命题结论,则否命题:若非则非.

原命题“若，则”

故其否命题为: 若，则或

故选:D.

【点睛】

本题考查了否命题,解题关键是理解否命题的定义,属于基础题.

4．D

【解析】

【分析】

根据随机数表法，判断出所抽取的个体.

【详解】

随机数表第9行第9列为2，抽取的个体分别为29，56，07，52，42，44，38，15，51，13，02，第11个个体为02.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.

5．B

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图，求解成绩在分的频率为：，再求解成绩在分的人数，即可.

【详解】

由题意可知，成绩在分的人数为：人.

故选：B

【点睛】

本题考查频率分布直方图，属于容易题.

6．B

【解析】

【分析】

先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解.

【详解】

由题得，

，

所以.

从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定，

所以要派甲参加.

故选：B

【点睛】

本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

7．B

【解析】

【分析】

由样本容量为25，总体600，分25组，可知组距为24，第一组抽取编号006，其他组抽取的编号为，取适当的可得在编号为049与120之间抽得的编号.

【详解】

样本间隔为600÷25＝24，若在第一组随机抽得的编号为006，则抽得其他组编号为6+24（n–1）＝24n–18，则当n＝2时，号码为30，当n＝3时，号码为54，当n＝4时，号码为78，当n＝5时，号码为102，当n＝6时，号码为126，故在编号为049与120之间抽得的编号为054，078，102，故选B．

【点睛】

本题主要考查了系统抽样的概念，及利用系统抽样抽样的具体步骤，属于中档题.

8．D

【解析】

【分析】

先计算出样本中心点（5，），再把样本中心点的坐标代入回归方程即得n的值.

【详解】

由题得样本中心点（5，），所以.

故答案为D

【点睛】

(1)本题主要考查回归方程的性质和平均数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)回归方程经过样本中心点.

9.A

【解析】

【分析】

由抛物线的定义可知,|MF|＝x0,与已知条件结合,得x0＝2p①；把点M的坐标代入抛物线方程可得42＝2p•x0②,结合①②即可解出p的值.

【详解】

解：由抛物线的定义可知,|MF|＝x0,

∵|MF|x0,

∴x0x0,即x0＝2p①,

∵点M（x0,4）在抛物线y2＝2px上,

∴42＝2p•x0②,

由①②解得,p＝2或﹣2（舍负）,

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线的定义,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题.

10.C

【解析】

【分析】

连接，则得∥，从而得为异面直线与所成的角，然后在三角形中可得答案

【详解】

解：连接，

因为,∥，

所以四边形为平行四边形，

所以∥，所以为异面直线与所成的角，

在正方体中，，

所以三角形为等边三角形，所以，

所以异面直线与所成的角的大小为，

故选：C

B

【解析】

【分析】

设直线的方程为，求得点的坐标，由，可得出，利用平面向量的坐标运算求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的标准方程，可得出、齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率.

【详解】

如下图所示：

设直线的方程为，则直线的方程为，

联立，解得，即点，

设点，由可得出，

即，即，解得，则点，

将点的坐标代入双曲线的标准方程得，解得.

因此，该双曲线的离心率为.

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

12.D

【解析】

设，则，由椭圆定义，

，又∵成等比数列，

∴，∴，

∴，整理得，即，故选D．

【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，以及等比数列的性质，考查了学生综合分析能力，属于中档题，首先此题需要依据题中三个线段成等比数列的条件得到之间的关系，再根据椭圆的基本性质，即可得到关于的方程，从而得到椭圆的离心率.

13.7或

【解析】

【分析】

先确定，再根据焦点位置分类讨论，结合双曲线方程列等量关系，解得结果.

【详解】

依题意可知，

当双曲线的焦点在x轴上时，，所以；

当双曲线的焦点在y轴上时，，所以

综上，或.

故答案为：7或

【点睛】

本题考查双曲线方程与几何性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．10

【解析】

【分析】

设数据的平均数为,可得新数据的平均数，利用将原数据方差表示出来，再将新数据得方程表示出来，即可求解.

【详解】

设数据的平均数为,则的平均数为，

由方差公式得：

所以数据的方差为：

所以数据的标准差为10

故答案为：10

【点睛】

本题主要考查了标准差的计算公式，属于基础题

15．8

【解析】

【分析】

根据题意，利用两圆的位置关系求出线段AB长度的最大值.

【详解】

圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1（0，0），半径r1＝1，

圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4的圆心为C2（3，－4），半径r2＝2，

∴|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，

∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.

故答案为：8.

【点睛】

本题主要考查的是圆与圆的位置关系，利用几何性质解题是关键，是基础题.

16．

【解析】

【分析】

利用已知条件．推出、、的关系，然后求解椭圆的离心率即可．

【详解】

解：椭圆的左右焦点为，，过作轴的垂线与交于，两点，若是等边三角形，

如图：可得，，可得，

即，

可得，

解得．

故答案为：．

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．

17.（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）时，求出集合与集合，利用集合运算性质即可得出．

（2）时，，，．根据“”是“”的必要不充分条件，可得，即可得出．

【详解】

解：（1）当时，，集合，

所以.

（2）因为，所以，，

因为“”是“”的必要不充分条件，所以，

所以解得：.

【点睛】

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

18.（1），；（2）45；

【解析】

【分析】

（1）根据题意得，再根据表格中的数据，即可得答案；

（2）根据抽样比，即可得答案；

【详解】

（1）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．

∵，∴，

．

（2）应在C组抽取的个数为．

19.（1）；（2）估计该平台从12月份起，月利润会超过60万元．

【解析】

【分析】

（1）根据题中数据，先求出，，再由最小二乘法求出，，进而可得出线性回归方程；

（2）根据（1）的结果，得到，由题意，得出不等式求解，即可得出结果.

【详解】

（1）由题中数据可得，

，

∴，

，

∴y关于x的线性回归方程为．

（2）由（1）可得，

令，解得，

故估计该平台从12月份起，月利润会超过60万元．

【点睛】

本题主要考查最小二乘法求线性回归直线方程，以及根据回归方程进行预测，属于常考题型.

20.（1）；（2）或

【解析】

【分析】

（1）运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程组即可得到，，进而得到双曲线的方程；

（2）将直线l的方程代入双曲线方程并整理，根据l与双曲线交于不同的两点A、B，进而可求得m的范围，设，，运用韦达定理和弦长公式，以及求出O点到直线AB的距离公式，最后由三角形的面积求得m，进而可得直线方程.

【详解】

解：（1）由题可得 ，

解得，，，

故双曲线的标准方程为；

（2）由得，

由得 ，

设， ，

则 ，

O点到直线l的距离 ，

，

或

或

故所求直线方程为：或

【点睛】

本题考查了双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查三角形的面积的求法，注意运用联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题.

21.21．（1）；（2）存在.

【解析】

【分析】

（1）由点，运用直线的斜率公式，结合，化简可得轨迹C的方程；

（2）假设在x轴上存在点，使得为定值，当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，令，，表示出，代入韦达定理计算可得定值，并检验斜率不存在时也成立．

【详解】

（1）由题意知：，，

由，即，

整理得点的轨迹C的方程为：.

（2）假设在x轴上存在点，使得为定值.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

联立方程消去y得，

令，，则，，

由，，

所以

，

将看成常数，要使得上式为定值，需满足，即，

此时；

当直线l的斜率不存在时，可得，，，

所以，，，

综上所述，存在，使得为定值.

【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题的应用，考查数量积的坐标表示，属于中档题．

22.（1）;（2）与所在的直线互相垂直．

【解析】

试题分析：（1）运用椭圆的定义和，，的关系，解方程可得圆的方程与椭圆的离心率；（2）设，，联立椭圆的方程与圆的方程，可得、与之间的关系，再由：，：可得、的坐标，利用整体代换思想说明，进而得到与所在的直线互相垂直.

试题解析：（1）由椭圆定义可得，又且，解得，，

则圆的方程为，椭圆的离心率．

（2）如图所示，设（），，则

即

又由：，得．

由：，得．

所以 ，，

所以，

所以，即与所在的直线互相垂直．

点睛：本题考查椭圆方程和圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和基本量的关系，考查定值问题的解法，注意运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题.