高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质同步训练题

课时分层作业(二十二)　双曲线的几何性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)

A．　　　　　　　　 B．5

C．　　　　   D．2

A　[由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2．

∴e2＝＝5，∴e＝．]

2．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为，则其标准方程为(　　)

A．－＝1   B．－＝1

C．－＝1   D．－＝1

D　[依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13．又＝，所以a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1．]

3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点F到渐近线距离与顶点A到渐近线距离之比为3∶1，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x   B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±x

D　[根据题意，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，

若双曲线的焦点F到渐近线距离与顶点A到渐近线距离之比为3∶1，则c＝3a，则b＝＝2a，

则双曲线的渐近线方程为y＝±x．]

4．平行四边形ABCD的四个顶点均在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，直线AB，AD的斜率分别为，1，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A．x±y＝0   B．x±y＝0

C．x±y＝0   D．x±y＝0

A　[∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)是中心对称的，

故平行四边形ABCD的顶点B，D关于原点对称，

设A(x0，y0)，B(x1，y1)，则D(－x1，－y1)，

故－＝1，－＝1，

∴－＝0，

整理得到：

＝，即－kAB·kAD＝0，

故＝，即＝，

∴渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0．]

5．若双曲线－＝1的渐近线的方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为(　　)

A．   B．

C．2   D．2

A　[∵a＝3，b＝，∴＝，∴m＝5，

∴c＝＝，

∴一个焦点的坐标为(，0)，到渐近线的距离d＝＝．]

二、填空题

6．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为        ．

2　[根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1，考虑到焦距为4，可得到一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2．再加上a2＋b2＝c2，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以离心率e＝2．]

7．与椭圆＋＝1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为        ．

－＝1　[椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，

∴c＝4，e＝，

∴双曲线的离心率等于－＝2，

∴＝2，∴a＝2．

∴b2＝42－22＝12．

∴双曲线的标准方程为－＝1．]

8．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝        ．

3　[因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°．不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，

由得所以M，

所以|OM|＝＝，

所以|MN|＝|OM|＝3．]

三、解答题

9．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．

[解]　椭圆方程为＋＝1，

∴椭圆的焦距为8．

①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

∴，解得．

∴双曲线的标准方程为－＝1．

②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

∴，解得．

∴双曲线的标准方程为－＝1．

由①②可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．

10．设双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2．

(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；

(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程．

[解]　(1)∵e＝2，∴c2＝4a2．

∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2．

∴双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x．

∴l1的方程为y＝x，l2的方程为y＝－x．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)．

∵2|AB|＝5|F1F2|＝5×2c＝20，

∴|AB|＝10，

∴＝10，

即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100．

∵y1＝x1，y2＝－x2，

x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，

∴y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，

∴y＝(x1－x2)，y1－y2＝x，

代入(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100，

得3×(2y)2＋(2x)2＝100，整理得＋＝1．

11．(多选题)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，又点N．若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|＞4b，则双曲线C的离心率可能为(　　)

A．3   B．4

C．   D．

ABD　[双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|＞4b，

即(|MF2|＋|MN|)min＞4b，又|MF2|＋|MN|≥2a＋|MF1|＋|MN|≥2a＋|NF1|＝2a＋，当且仅当M，N，F1三点共线且M在N，F1之间时取“＝”，即2a＋＞4b⇒3b2－8ab＋4a2＞0⇒3－8·＋4＞0，

解得＞2或＜，

∴e2＝1＋＞5或e2＜，∴e＞或1＜e＜．]

12．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．3x±4y＝0   B．4x±3y＝0

C．3x±5y＝0   D．5x±4y＝0

B　[作F2Q⊥PF1于Q，

因为|F1F2|＝|PF2|，

所以Q为PF1的中点，

由双曲线的定义知

|PF1|－|PF2|＝2a，

所以|PF1|＝2a＋2c，

故|F1Q|＝a＋c，

因为cos∠PF1F2＝，

所以＝cos∠PF1F2，

即＝，得3c＝5a，

所以3＝5a，得＝，

故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0．]

13．(一题两空)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线C交于M、N两点，与双曲线的渐近线交于P、Q两点．若＞，记过第一、三象限的双曲线C的渐近线为l1，则l1的倾斜角的取值范围为        ，离心率的取值范围为        ．

　(1，)　[如图，在双曲线C：－＝1中，取x＝c，可得y＝±，∴|MN|＝．

分别在双曲线的渐近线y＝x与y＝－x，

取x＝c，求得|PQ|＝．

由＞，得＞，即c2＞2b2，

∴a2＋b2＞2b2，∴＜1，

∴l1的倾斜角的取值范围为

e2＝＋1＜2，∴e的取值范围为(1，)．]

14．双曲线－＝1(a>1，b>1)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为        ．

　[直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0．

由点到直线的距离公式，且a>1，b>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝，点(－1,0)到直线l的距离d2＝，s＝d1＋d2＝＝．由s≥c，得≥c，即5a≥2c2．于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0．解不等式，得≤e2≤5，由于e>1，因此e的取值范围是≤e≤．]

15．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程．

[解]　切点为P(3，－1)的圆的切线方程为3x－y＝10，

因为双曲线的一条渐近线平行于此切线，且双曲线关于两坐标轴对称．

所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0．

当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

则其渐近线方程为y＝±x，即＝3，

则双曲线方程可化为－＝1，

因为双曲线过点P(3，－1)，

所以－＝1，所以a2＝，b2＝80，

所以所求双曲线方程为－＝1．

当焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

则渐近线方程为y＝±x，即＝3，

则双曲线方程可化为－＝1，

因为双曲线过点P(3，－1)，

所以－＝1，得－＝1，无解．

综上可知所求双曲线方程为－＝1．