一轮复习大题专练30—数列(讨论奇偶求和)-2022届高三数学一轮复习
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这是一份一轮复习大题专练30—数列(讨论奇偶求和)-2022届高三数学一轮复习,共6页。试卷主要包含了已知数列满足,等内容,欢迎下载使用。
一轮复习大题专练30—数列(讨论奇偶求和)1.设是公差不为0的等差数列,,是和的等比中项,数列的前项和为,且满足.(1)求和的通项公式;(2)对任意的正整数,设,求数列的前项和.解:(1)设等差数列的公差为,因为,是和的等比中项,所以,即,解得或.又因为,所以.所以.因为,所以,当时,,所以,所以,即.当时,,又因为,所以,所以数列是以2为首项、3为公比的等比数列.所以.(2)因为,故数列的前项和为.2.设等差数列的前项和为,且等比数列的前项和为,满足,,,.(1)求,的通项公式;(2)求满足条件的最小正整数,使得对不等式恒成立;(3)对任意的正整数,设,求数列的前项和.解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,,,,可得,,解得,,所以,,,所以,;(2)由(1)可得,,即为,当时,;当时,;当时,,所以满足条件的最小正整数为5;(3),所以;,则,,两式相减可得,化简可得,所以数列的前项和为.3.已知数列满足,(1)记,写出,,并求数列的通项公式;(2)求的前20项和.解:(1)因为,,所以,,,所以,,,,所以数列是以为首项,以3为公差的等差数列,所以.(2)由(1)可得,,则,,当时,也适合上式,所以,,所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列,则的前20项和为.4.已知数列{an}满足an+2=an+d(d∈R,d≠1),n∈N*,a1=1,a2=1,且a1,a2+a3,a8+a9成等比数列.(Ⅰ)求d的值和{an}的通项公式;(Ⅱ)设,求数列{bn}的前2n项和T2n.解:(Ⅰ)数列{an}满足an+2=an+d(d∈R,d≠1),所以a3=a1+d,a8=a6+d=a2+3d,a9=a1+4d,所以a2+a3=a1+a2+d,由于a1=1,a2=1,所以a2+a3=2+d,a8+a9=2+7d,且a1,a2+a3,a8+a9成等比数列,所以,整理得d=1或2(1舍去).故an+2=an+2,所以n为奇数时,an=n,n为偶数时,an=n﹣1.所以数列{an}的通项公式为.(Ⅱ)由于,所以.所以T2n=b1+b2+...+b2n=﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+...+[﹣22n﹣2•(2n﹣1)2]+22n﹣2•(2n)2,=20×(22﹣12)+22×(42﹣32)+...+22n﹣2•[(2n)2﹣(2n﹣1)2].=20×3+22×7+...+22n﹣2•(4n﹣1)①,所以,②,①﹣②得:﹣3T2n=20×3+22×4+...+22n﹣2×4﹣22n×(4n﹣1),=3+4×﹣22n×(4n﹣1),=,所以.5.已知等差数列满足,,为等比数列的前项和,.(1)求,的通项公式;(2)设,证明:.解:(1)(基本量法求等差等比通项)等差数列的公差设为,,,可得,,解得,可得;由得,,两式相减整理得,可得公比,由,解得,;(2)证法(应用放缩和错位相减求和证明不等式),,,,,,两式相减整理得,可得,又因为,.所以,.证法(应用放缩和裂项求和证明不等式)令,化简整理得:,,,,所以,.