第七章 数列专练7—分组、并项求和（大题）-2022届高三数学一轮复习

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第七章  数列专练7—分组、并项求和（大题）1．设数列中，，设．（1）求数列的通项公式；（2）令，求的值．解：（1）数列中，，即（常数），所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，所以，故．（2）由于，所以．2．等差数列的前项和为，已知，．（1）求的通项公式及；（2）求数列的前项和．解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则，整理，得，解得，，，．（2）由（1）知，，．3．已知数列的前项和为，，．（Ⅰ）证明：数列为等比数列，并求出；（Ⅱ）求数列的前项和．（Ⅰ）证明：由题意，当时，，根据已知条件，，整理，得，两边同时减去2，可得，，数列是以2为首项，3为公比的等比数列，，，．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，，当时，，故，，当时，，当时，，当时，，，．4．已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）数列满足，①当时，，②①②得：，故，当时，解得，首项符合通项，故．（2）由（1）得：，所以，，．5．已知数列是各项均为正数的等比数列，，，数列满足，且与的等差中项是．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，的前项和为，求．解：（Ⅰ）设数列是各项均为正数的公比为的等比数列，由，，可得，，解得，，则，由与的等差中项是，可得，即，则，，，，累加可得，由，可得，（Ⅱ），则．6．已知首项大于0的等差数列的公差，且满足，等比数列的前项和为．若，，成等差数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）求的最大值，并求出此时的值；（3）记，求数列的前项和．解：（1）首项大于0的等差数列的公差，且满足，可得，即为，解得舍去），所以；设等比数列的公比为，若，，成等差数列，则，即，即为，解得或，由，，可得，即有，则，解得，所以；（2），令，，当，2时，有，时，，所以的最大值为，此时或3；（3），令，，两式相减可得，化简可得；设，   所以．