30.数列（讨论奇偶求和） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份30.数列（讨论奇偶求和） 2022届高三数学一轮复习大题练，共6页。试卷主要包含了已知数列满足，等内容，欢迎下载使用。

（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，
因为，是和的等比中项，所以，
即，解得或．
又因为，所以．
所以．
因为，
所以，当时，，
所以，所以，即．
当时，，
又因为，所以，
所以数列是以2为首项、3为公比的等比数列．
所以．
（2）因为，
故数列的前项和为．
2．设等差数列的前项和为，且等比数列的前项和为，满足，，，．
（1）求，的通项公式；
（2）求满足条件的最小正整数，使得对不等式恒成立；
（3）对任意的正整数，设，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，，，
可得，，解得，，
所以，，，
所以，；
（2）由（1）可得，，
即为，
当时，；
当时，；
当时，，
所以满足条件的最小正整数为5；
（3），
所以；
，
则，
，
两式相减可得
，
化简可得，
所以数列的前项和为．
3．已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
解：（1）因为，，
所以，，，
所以，，
，，
所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）可得，，
则，，
当时，也适合上式，
所以，，
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则的前20项和为．
4．已知数列{an}满足an+2＝an+d（d∈R，d≠1），n∈N*，a1＝1，a2＝1，且a1，a2+a3，a8+a9成等比数列．
（Ⅰ）求d的值和{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前2n项和T2n．
解：（Ⅰ）数列{an}满足an+2＝an+d（d∈R，d≠1），
所以a3＝a1+d，a8＝a6+d＝a2+3d，a9＝a1+4d，
所以a2+a3＝a1+a2+d，
由于a1＝1，a2＝1，
所以a2+a3＝2+d，a8+a9＝2+7d，
且a1，a2+a3，a8+a9成等比数列，
所以，
整理得d＝1或2（1舍去）．
故an+2＝an+2，
所以n为奇数时，an＝n，
n为偶数时，an＝n﹣1．
所以数列{an}的通项公式为．
（Ⅱ）由于，所以．
所以T2n＝b1+b2+...+b2n＝﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+...+[﹣22n﹣2•（2n﹣1）2]+22n﹣2•（2n）2，
＝20×（22﹣12）+22×（42﹣32）+...+22n﹣2•[（2n）2﹣（2n﹣1）2]．
＝20×3+22×7+...+22n﹣2•（4n﹣1）①，
所以，②，
①﹣②得：﹣3T2n＝20×3+22×4+...+22n﹣2×4﹣22n×（4n﹣1），
＝3+4×﹣22n×（4n﹣1），
＝，
所以．
5．已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，．
（1）求，的通项公式；
（2）设，证明：．
解：（1）（基本量法求等差等比通项）等差数列的公差设为，
，，可得，，解得，
可得；
由得，，
两式相减整理得，可得公比，
由，解得，；
（2）证法（应用放缩和错位相减求和证明不等式）
，
，，，
，，
两式相减整理得，
可得，
又因为，．
所以，．
证法（应用放缩和裂项求和证明不等式）
令，化简整理得：，，
，，
所以，．