冀教版第九章 三角形综合与测试课时训练

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冀教版七年级数学下册第九章 三角形专项练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（        ）A．30° B．40° C．50° D．60°2、将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（       ）A．45° B．60° C．75° D．85°3、下列图形中，不具有稳定性的是（       ）A． B．C． D．4、如图，在ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，那么∠ACD的度数为（       ）A．110 B．100 C．55 D．455、如图， （　　）A．180° B．360° C．270° D．300°6、如图，是的中线，，则的长为（       ）A． B． C． D．7、如果一个三角形的两边长都是6cm，则第三边的长不能是（       ）A．3cm B．6cm C．9cm D．13cm8、定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．证法1：如图，∵∠A＝70°，∠B＝63°，且∠ACD＝133°（量角器测量所得）又∵133°＝70°+63°（计算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．证法2：如图，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．下列说法正确的是（　　）A．证法1用特殊到一般法证明了该定理B．证法1只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整D．证法2用严谨的推理证明了该定理9、若三角形的两边a、b的长分别为3和4，则其第三边c的取值范围是（     ）A．3＜c＜4 B．2≤c≤6 C．1＜c＜7 D．1≤c≤710、如图，将的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若，，则（       ）．A．45° B．60° C．35° D．40°第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一个等腰三角形的一边长为2，另一边长为9，则它的周长是________________．2、△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，则∠A＝_____．3、已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为_______．4、一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边的长度可取的整数值为_________（写出一个即可）．5、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是80，则△ABE的面积是________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知，如图，在中，点E，F分别为边上的动点，和相交于点D，．（1）如果分别为上的高线时，求的度数；（2）如果分别平分时，求的度数．2、如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=60°，求∠DAC和∠BOA的度数．3、如图所示，在一副三角板ABC和三角板DEC中，，，∠B＝30°，∠DEC＝∠DCE＝45°．（1）当AB∥DC时，如图①，的度数为        °；（2）当与重合时，如图②，判断与的位置关系并说明理由；（3）如图③，当＝          °时，AB∥EC；（4）当AB∥ED时，如图④、图⑤，分别求出的度数．4、如图1，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，固定三角板ODC，将三角板OAB绕点O按顺时针方向旋转，记旋转角∠AOA'＝α（0＜α＜180°）．（1）在旋转过程中，当α为 　   　度时，A'B'OC，当α为 　   　度时，A'B'⊥CD；（2）如图2，将图1中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当α为多少度时，OB'平分∠COD；拓展应用：（3）当90°＜α＜120°时，连接A'D，利用图3探究∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC值的大小变化情况，并说明理由．5、如图，在ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长． -参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2、C【解析】【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．【详解】解：如图:∵∠ACD=90°、∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，∴∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°．故选C．【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质是解答本题的关键．3、B【解析】【分析】由三角形的稳定性的性质判定即可．【详解】A选项为三角形，故具有稳定性，不符合题意，故错误；B选项为四边形，非三角形结构，故不具有稳定性，符合题意，故正确；C选项为三个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误；D选项为两个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误．故选B．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性注意①要看图形是否具有稳定性，关键在于它的结构是不是三角形结构②除了三角形外，其他图形都不具备稳定性，因此在生产建设中，三角形的应用非常广泛．4、B【解析】【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：由三角形的外角的性质可知，∠ACD＝∠A+∠B＝100°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．5、A【解析】【分析】利用三角形外角定理及三角形内角和公式求解即可．【详解】解：∵∠7=∠4+∠2，∠6=∠1+∠3，∴∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4，∵∠5+∠6+∠7=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．6、B【解析】【分析】直接根据三角形中线定义解答即可．【详解】解：∵是的中线，，∴BM= ，故选：B．【点睛】本题考查三角形的中线，熟知三角形的中线是三角形的顶点和它对边中点的连线是解答的关键．7、D【解析】【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，这样就可求出第三边长的范围，进而选出答案【详解】解：设它的第三条边的长度为xcm，依题意有 ，即，故只有D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．8、D【解析】【分析】利用测量的方法只能是验证，用定理，定义，性质结合严密的逻辑推理推导新的结论才是证明，再逐一分析各选项即可得到答案.【详解】解：证法一只是利用特殊值验证三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，证法2才是用严谨的推理证明了该定理，故A不符合题意，C不符合题意，D符合题意，证法1测量够100个三角形进行验证，也只是验证，不能证明该定理，故B不符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质的验证与证明，理解验证与证明的含义及证明的方法是解本题的关键.9、C【解析】【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解．【详解】解：∵三角形的两边a、b的长分别为3和4，∴其第三边c的取值范围是 ，即 ．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．10、A【解析】【分析】由折叠得到∠B=∠BCD，根据三角形的内角和得∠A+∠B+∠ACB=180°，代入度数计算即可．【详解】解：由折叠得∠B=∠BCD，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，，，∴65°+2∠B+25°=180°，∴∠B=45°，故选：A．【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．二、填空题1、20【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：分两种情况：当腰为2时，2＋2＜9，所以不能构成三角形；当腰为9时，2＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：2＋9＋9＝20．故答案为：20．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．2、35°【解析】【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】∵∠C=90°，∠B=55°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-55°-90°=35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，熟记定理并准确计算是解题的关键．3、2b【解析】【分析】由题意根据三角形三边关系得到a+b-c＞0，b-a-c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．【详解】解：∵a，b，c是的三条边长，∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，∴|a+b-c|+|a-b-c|=a+b-c-a+b+c=2b．故答案为：2b．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系以及去绝对值和整式加减运算，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．4、4，5，6（写出一个即可）【解析】【分析】由构成三角形三边成立的条件可得第三条边的取值范围．【详解】设第三条长为x∵2+5=7，5-2=3∴3＜x＜7．故第三条边的整数值有4、5、6．故答案为：4，5，6（写出一个即可）【点睛】本题考查了构成三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，关键为“任意”两边均满足此关系．5、20【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．【详解】解：∵AD是BC上的中线，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴S△ABE=S△BED=S△ABD，∴S△ABE=S△ABC，∵△ABC的面积是80，∴S△ABE=×80=20．故答案为：20．【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．三、解答题1、（1）100゜；（2）130゜【解析】【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质，可求得结果；（2）由角平分线的性质及三角形内角和定理可求得∠EBC+∠FCB的度数，从而可求得结果的度数．【详解】（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠CFB=90゜∴∠ABE=90゜ －∠A=10゜∴∠BDC=∠CFB+∠ABE=90゜+10゜=100゜（2）∵BE、CF分别平分∠ABC、∠ACB∴，∵∠ABC+∠ACB=180゜ －∠A=100゜∴∴【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的性质，熟练运用它们是解答的关键．2、∠DAC=30°，∠BOA=120°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义进行解答即可．【详解】解：∵在△ABC中，AD是高，∴∠ADC=90°，∵在△ACD中，∠C=60°，∴∠DAC=90°-60°=30°，∵在△ABC中，∠C=60°，∠BAC=50°，∴∠ABC=70°，∵在△ABC中，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=25°，∠FBC=∠ABC=35°，∴∠BOA=∠BEA+∠FBC=∠C+∠EAC+∠FBC=60°+25°+35°=120°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．3、（1）30；（2）DE∥AC，理由见解析；（3）15；（4）图④∠DCB=60°；图⑤∠DCB=120°；【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求解即可；（2）根据内错角相等，两直线平行证明即可；（3）根据AB∥EC，得到∠ECB=∠B=30°，即可得到∠DCB=∠DCE-∠ECB=15°；（4）如图④所示，，设CD与AB交于F，由平行线的性质可得∠BFC=∠EDC=90°，再由三角形内角和定理∠DCB=180°-∠BFC-∠B=60°；如图⑤所示，延长AC交ED延长线于G，由平行线的性质可得∠G=∠A=60°，再由∠ACB=∠CDE=90°，得到∠BCG=∠CDG=90°，即可求出∠DCG=180°-∠G-∠CDG=30°，则∠BCD=∠BCG+∠DCG=120°．【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B=30°，故答案为：30；（2）DE∥AC，理由如下：∵∠CBE=∠ACB=90°，∴DE∥AC；（3）∵AB∥EC，∴∠ECB=∠B=30°，又∵∠DCE=45°，∴∠DCB=∠DCE-∠ECB=15°，∴当∠DCB=15°时，AB∥EC，故答案为：15；（4）如图④所示，设CD与AB交于F，∵AB∥ED，∴∠BFC=∠EDC=90°，∴∠DCB=180°-∠BFC-∠B=60°；如图⑤所示，延长AC交ED延长线于G，∵AB∥DE，∴∠G=∠A=60°，∵∠ACB=∠CDE=90°，∴∠BCG=∠CDG=90°，∴∠DCG=180°-∠G-∠CDG=30°，∴∠DCB=∠BCG+∠DCG=120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，邻补角互补等等，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质与判定条件．4、（1）30，90；（2）105°；（3）不变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意作出图形，根据所给的条件求解即可；（2）由旋转的性质可得∠AOB＝∠A'OB'＝45°，由角的数量关系可求解；（3）由α可分别表示∠B'A'D，∠B'OC，∠A'DC再求和即可．【详解】解：（1）当A'B'∥OC时，∴∠A′OC+∠A′＝180°，∵∠A′＝90°，∴∠A′OC＝90°，∴∠AOA′＝180°﹣90°﹣60°＝30°，即α＝30°；当A'B'⊥CD时，则OA′∥CD，∴∠AOA′＝∠ODC＝90°，即α＝90°；故答案为：30；90．（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，∴∠AOB＝∠A'OB'＝45°，∵∠COD＝60°，OB′平分∠COD，∴∠DOB'＝30°，∴∠AOA'＝180°﹣∠DOB′﹣∠A'OB′＝180°﹣30°﹣45°＝105°，即当α为105°时，OB'平分∠COD；（3）不变，理由如下：∵∠AOA′＝α，∴∠B′OD＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，∴∠B′OC＝60°﹣（135°﹣α）＝α﹣75°，设∠A′DC＝β，∴∠A′DO＝90°﹣β，∴∠B′OD+∠A′DO＝∠B'A'D+∠B′，即135°﹣α+90°﹣β＝∠B'A'D+45°，解得∠B'A'D＝180°﹣α﹣β，∴∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC＝180°﹣α﹣β+α﹣75°+β＝105°．【点睛】本题考查了三角板的角度计算，角平分线的定义，旋转的性质，三角形的内角和与外角的性质，平行线的性质，根据题意作出图形是解题的关键．5、．【解析】【分析】根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查三角形面积的计算，利用等积法是解题关键．