2021-2022学年湖北省部分市州高一（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年湖北省部分市州高一（上）期末数学试卷

1. 化简的值是

A.  B.  C.  D.

2. 设集合，，则

A.  B.
C.  D.

3. 命题“存在，使方程成立”的否定是

A. 任意，使方程成立
B. 存在，使方程成立
C. 任意，使方程成立
D. 存在，使方程成立

4. 已知自变量和函数值的对应值如表：

则方程的一个根位于区间

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

6. 是为奇函数的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知函数，则下列的图象错误的是

A. 的图象
B. 的图象
C. 的图象
D. 的图象

8. 中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数满足，且当时的解析式为，则函数在时的图象与直线围成封闭图形的面积是

A. 2 B.  C. 4 D.

9. 下列命题正确的是

A. 若，则
B. 与是同一个函数
C. 恒过定点
D. 若，则

10. 已知，，则下列结论正确的是

A.  B.
C.  D.

11. 下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是

A.  B.
C.  D.

12. 设函数已知在上有且仅有3个零点，则下列四个说法正确的是

A. 的取值范围是
B. 在上单调递增
C. 在上存在，，满足
D. 在上有且仅有1个最大值

13. 求值：______.
14. 已知弧长为30cm的弧所对的圆心角为，则这段弧所在圆的半径为______
15. 若方程在内有解，则a的取值范围是______.
16. 函数满足且，则称函数为M函数．当时，，，且，均为M函数，则方程在区间上所有根的和为______参考数据：，
17. 已知集合，
    若，求实数m的取值范围；
    若，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
18. 关于实数x的不等式
    若，求该不等式解集；
    若该不等式对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
19. 化简：；
    已知，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 函数的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点，与x轴交于点B，C，M为最高点，且的面积为
    求函数的解析式；
    若，求函数的值域．

21. 某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x万件，需另投入成本为当年产量不足60万件时，万元；当年产量不小于60万件时，万元通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．利润=销售收入-总成本
    写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式；
    年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 函数
    如果时，有意义，求实数a的取值范围；
    当时，值域为R，求实数a的值；
    在条件下，为定义域为R的奇函数，且时，对任意的，解关于x的不等式
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．
利用三角函数的诱导公式计算即可．
【解答】
解：，
故选：  

2.【答案】D
 

【解析】解：集合，
，
，
，
故选：
化简集合M、N，利用集合的交集、补集运算即可求得答案．
本题主要考查了集合的运算，属于基础题．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为：
任意，使方程成立，
故选：
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：方程的根就是函数的零点，
因为，，，
所以函数的零点在内，也就是在内．
故选：
构造函数，利用零点判定定理，求解即可．
本题考查函数的零点判定定理的应用，是基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：，
，
，

故选：
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：例如不是奇函数，但，
为奇函数，但是，
故是为奇函数的既不充分也不必要条件．
故选：
利用奇函数定义及性质，结合基本初等函数检验充分性及必要性即可判断．
本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了奇函数的性质的应用，属于基础题．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：当时，，表示一条线段，且线段经过、
当时，，表示一段抛物线，如图所示：
由于的图象可由的图象向右平移一个单位得到，故A正确．
由于的图象可由的图象关于y轴对称后得到的，故B正确．
由于的值域为，故，故的图象可与的图象完全相同，故C正确．
由于是偶函数，图象关于y轴对称，故当时，它的图象和的图象相同，
当时的图象，只要把在y轴右侧的图象关于y轴对称即可得到，
且图象过原点，故D不正确．
先画出函数的图象，再根据函数的图象特征以及图象的变化规律，判断各个选项的正确性．
本题主要考查函数的图象特征以及图象的变化规律，属于基础题．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：由题意可得，关于对称，
而，
且，，
在，，及的图象如下：

所以将围成的图形在x轴下半部分阴影区域部分相补到x轴上半部分的阴影区域，
可得图示：由x轴，y轴，，所围成的矩形的面积，
所以函数在的图象与直线围成的封闭图形的面积为
故选：
根据题设“出入相补原理”，结合函数在的图象与直线围成封闭图形的特征及其对称性，应用数形结合的方法，移补图形可得矩形，即可求出面积．
本题考查利用函数的对称性，解题关键注意数形结合思想的应用，属于中档题．
 

9.【答案】BC
 

【解析】解：对于A，若，则，故A错误；
对于B，由于，因此与是同一个函数，故B正确；
对于C，当，即时，，即恒过定点，故C正确；
对于D，令，满足，但，故D错误；
故选：
对于A，，可判断A的正误；
对于B，利用，可判断B的正误；
对于C，由，可判断C的正误；
对于D，令，，可判断D的正误．
本题考查命题的真假判断与应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

10.【答案】BD
 

【解析】解：，
两边平方得：，
，
与异号，
又，
，故D正确，
，
，
，故A错误，
又，
，，，故B正确，C错误．
故选：
先对两边平方求出的值，即可判断出所在的象限，再求出的值，从而求出，，的值，即可判断得解．
本题主要考查了同角的三角函数关系在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

11.【答案】AD
 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是幂函数，是奇函数且在定义域内单调递增，符合题意；
对于B，，其定义域为，是非奇非偶函数，不符合题意；
对于C，，其定义域为R，有，是偶函数，图象关于y轴对称，不符合题意；
对于D，，其定义域为R，有，则为奇函数，且图象关于原点对称，
又由，易知在R上为增函数，符合题意；
故选：
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
 

12.【答案】AC
 

【解析】解：画出大致图象如下图，当时，而，
所以时小区间递增，
函数在仅有3个零点时，则的位置在之间包括C，不包括，
令，则得，，
y轴右侧第一个点横坐标为，周期，
所以，故A正确．
因为最小值为，所以时，，
所以，函数不单调递增，故B不正确．
在区间上，函数达到最大值和最小值，
所以存在，，满足，所以C正确，
由大致图象得，可能有两个最大值，故D不一定正确．
故选：
由题意根据在区间有3个零点画出大致图象，可得区间长度介于周期，再用表示周期，得的范围，再逐项判断即可．
本题考查了三角函数图象及周期的计算问题，由题意求出的范围，再判断命题的真假性，是解题的关键，属于中档题．
 

13.【答案】5
 

【解析】解：原式，
故答案为：
利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：圆心角化为弧度为，
则圆的半径为，
故答案为：
根据弧长=弧度半径的公式即可求解．
本题考查了弧长，弧度与圆的半径的关系的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
设，
则，
方程在内有解，

当时，有最小值，当时，有最大值1，
的值域为，
故a的取值范围为
故答案为：
结合分离变量法，设，再结合三角函数的性质，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查三角方程，考查正弦函数和二次函数的性质，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：函数为 M函数，，，
函数的周期为，函数的图象关于直线对称，
同理可得函数的周期为，函数的图象关于直线对称，
又当时，，，
函数在上为增函数，在上为减函数，
在上为减函数，
当时，，，
，
又，，
，故，
当时，，，
，
当时，，，
，
由此可作函数，在上的图象如下：

由图象可得函数，的图象在上有12个交点，
方程在区间上有12个根，从小到大依次记为，，，…，，，，
由图象知，，，
方程在区间上所有根的和为
故答案为：
由条件可得 M函数为周期为，图象关于直线对称的函数，由条件作出函数，的图象，观察图象确定方程在区间上所有根，由此可得答案．
本题性新概念题，考查了函数的周期性和对称性及数形结合思想，难点在于作出，的图象，属于难题．
 

17.【答案】解：①当B为空集时，，成立．②当B不是空集时，
，，解得，综上①②，
实数m的取值范围是
①当B为空集时，，，成立．
②当B不是空集时，，
解得
综上：或
实数m的取值范围是
 

【解析】①当B为空集时，，②当B不是空集时，，，由此能求出实数m的取值范围．
当B为空集时，，当B不是空集时，，由此能求出实数m的取值范围．
本题考查集合的运算，考查交集、子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：时，原不等式即为：，
解得，
故当时，该不等式解集为；
当时，恒成立；
当时，不恒成立；
当时，由得；
综上：
 

【解析】时，原不等式为：，解之即可；
依题意，对k分、、三类讨论后取并即可求得实数k的取值范围．
本题考查函数恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，突出考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中等题．
 

19.【答案】解：原式
原式
 

【解析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．
利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意，点M的纵坐标为2，的面积，
即周期，则，由，
得，，，
，，
，即，的值域为
 

【解析】由周期求出，由特殊点的坐标求出，可得函数的解析式．
由题意，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．
本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由周期求出，由特殊点的坐标求出，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
 

21.【答案】解：当，时，
，
当时，，

当时，
，
故当时，取得最大值万元，
当，时，
，
当且仅当，即时等号成立，取得最大值1100万元，
，
故年生产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1100万元．
 

【解析】根据已知条件，结合利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的性质，以及基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意，，，
即，令，则恒成立，
，得，
，
的取值范围为
令，由题意，的值域包含，
①时，，值域为，满足条件；
②时，，令，
所以为开口向下的抛物线，
易知的值域为，不满足条件；
综上，
时，，若，，，
又为奇函数，时，，
综上，，，且，
易知为减函数，所以为单调递增函数，
不等式等价于，，即解关于x的不等式：，，
①当时，解集为且或；
②当时，解集为；
③当时，解集为且或；
④当时，解集为或
 

【解析】由题意，，，分离参数得在上恒成立，然后利用换元法，结合二次函数的性质及不等式恒成立与最值关系的相互转化可求；
构造函数，由题意，的值域包含，然后结合函数的性质对a是否为0进行分类讨论，利用指数函数与二次函数性质可求；
先求出，然后结合函数单调性对已知不等式进行转化，再利用含参数二次不等式的求法即可求解．
本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，对数函数与指数函数的性质，含参数二次不等式的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．