人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系第1课时学案设计

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系

第1课时　

学习目标

1.通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习,培养数学抽象、逻辑推理的数学素养.

2.通过求一元二次方程的解集,提升数学运算素养.

自主预习

阅读课本P47~50,填空.

1.一元二次方程的一般形式是什么?

思考:你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式?可以怎样得到这种方程的解集?举例说明.

总结:(1)一般地,方程x2=t.

当t>0时,解集为　; 

当t=0时,解集为　; 

当t<0时,解集为　. 

(2)方程(x-k)2=t.

当t>0时,解集为　; 

当t=0时,解集为　; 

当t<0时,解集为　. 

2.将x2+2x+3=0化为(x-k)2=t的形式,并写出这个方程的解集.

归纳总结:

直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.

课堂探究

问题1:如何利用配方法,将ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式?

归纳总结:(1)配方法:通过方程的简单变形,将左边配成一个含有未知数的完全平方式,若右边是一个非负常数,则可以运用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

(2)ax2+bx+c=0(a≠0)=　　　　　　　　(配方后的形式). 

问题2:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集情况如何?谁决定方程的解集情况?二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)图像与x轴交点情况如何?

归纳总结:

1.一般地,　　　　　　　　　　　　称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.通常用Δ表示,即Δ=b2-4ac. 

2.当Δ>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有　　　　　实数根,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有　　　　　个交点;当Δ=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有　　　　　实数根,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有　　　　　个交点;当Δ<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)　　　　　实数根,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有　　　　　个交点. 

问题3:当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,方程的解是什么?

归纳总结:

公式法:将一元二次方程中的系数a,b,c的值代入式子x=中,就求得方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.

当堂练习

1.用这节课所学习的方法解前边情境与问题中的一元二次方程.

2.求下列方程的解集:

(1)(x-3)2-49=0;

(2)(x-1)2=(4-2x)2;

(3)2x2+4x-1=0.

例题　求方程x-2-1=0的解集.

变式:解方程(1)x4-x2-2=0;(2)x2--2=0.

课堂小结

求解一元二次方程的方法有哪些?

课堂练习

1.一元二次方程x2-16=0的解集是(　　)

A.{-8,8} B.{-4} C.{4} D.{-4,4}

2.用配方法解方程x2-8x+5=0,将其化为(x+a)2=b的形式,正确的是(　　)

A.(x+4)2=11 B.(x+4)2=21

C.(x-8)2=11 D.(x-4)2=11

3.用公式法解方程6x-8=5x2时,a,b,c的值分别是 (　　)

A.5,6,-8 B.5,-6,-8

C.5,-6,8 D.6,5,-8

4.求下列方程的解集:

(1)(x+1)2=12;　　　　　(2)3x2-x=15-x;

(3)x4+4x2-12=0; (4)4x2+8x+1=0.

核心素养专练

1.一元二次方程x2-9=0的解集是(　　)

A.{3} B.{-3} C.{-3,3} D.{-9,9}

2.一元二次方程x2=3x的解集是(　　)

A.{0} B.{3} C.{-3} D.{0,3}

3.一元二次方程4x2+1=4x的解集情况是(　　)

A.为空集 B.只有一个元素

C.有两个元素 D.无法确定元素的个数

4.用配方法解下列方程,配方正确的是(　　)

A.2y2-4y-4=0可化为(y-1)2=4

B.x2-2x-9=0可化为(x-1)2=8

C.x2+8x-9=0可化为(x+4)2=16

D.x2-4x=0可化为(x-2)2=4

5.将方程x2-2x=3化为(x-m)2=n的形式,则m,n分别是　　　　　. 

6.求下列方程的解集:

(1)2x2+5x=-2; (2)x4-7x2+12=0;

(3)-2(x2-5x)-24=0;

(4)--2=0;　　(5)2x-=5.

参考答案

自主预习

略

课堂探究

略

课堂小结

略

课堂练习

1.D　2.D　3.C

4.(1){2-1,-2-1}　(2){-,}

(3){-,}　(4)

核心素养专练

1.C　2.D　3.B　4.D

5.1,4

6.(1)　(2){-2,-,,2}

(3)原方程可化为

(x2-5x+4)(x2-5x-6)=0,

∴(x-1)(x-4)(x+1)(x-6)=0,

∴方程的解集为{-1,1,4,6}.

(4)原方程可化为

=0,

∴+1=0或-2=0,

即=0或=0.

∴方程的解集为.

(5)令=t,则2x=t2-1(t≥0),

∴原方程可化为t2-1-t=5,

即t2-t-6=0,

∴t=3或t=-2(舍),

∴=3,

∴x=4,

方程的解集为{4}.

学习目标

1.学生在初中已经掌握解一元二次方程,本课时进一步深化对配方法的理解;

2.通过对一元二次方程实根个数的讨论,进一步深入理解分类讨论的数学思想;

3.引入换元法解一元二次方程的思想,体会数学学习过程中化繁为简解决问题的基本方法;

4.结合具体的实际应用问题,让学生借助数学抽象转化为方程求解问题进行求解运算,提升数学抽象、数学运算的素养.

自主预习

《九章算术》第九章“勾股”问题二十:今有邑方不知大小,各中开门.出北门二十步有木,出南门一十四步,折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.

问题二十的译文:今有正方形小城,其边长是未知数,城墙各边正中都开有一门.出北门,20步处有一棵树,出南门14步,转向西走1 775步恰好能看见那棵树.求正方形小城的边长是多少.

根据题中的描述可作出示意图,如图所示,其中A点代表北门,B处是木,C点代表南门,而且AB=20,CD=14,DE=1 775,求正方形的边长.

课堂探究

对用因式分解法不容易得到解集的一元二次方程,我们该如何下手去研究呢?

提出问题:你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式?可以怎样得到这种方程的解集?

1.独立完成P48的第一个尝试与发现.

2.学生独立完成后相互交流下各自的答案.

一般地,方程x2=t.

(1)当t>0时,　; 

(2)当t=0时,　; 

(3)当t<0时,　. 

一般地,方程(x-k)2=t.

(1)当t>0时,　; 

(2)当t=0时,　; 

(3)当t<0时,　. 

3.结合前面教师的讲解,学生尝试独立完成第二个的“尝试与发现”.

4.相互交流,谈谈“尝试与发现”的结果与初中所学的用公式法求解的关系以及判别式研究方程根的情况的异同.

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式,过程如下:

例题　求方程x-2-1=0的解集.

跟踪练习

求下列方程的解集:

(1)x4-x2-2=0;

(2)x2--2=0;

(3)x2++x--4=0.

核心素养专练

1.已知关于x的一元二次方程|m|x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.

2.如图,要在长25 m的墙EF的一边,通过砌墙来围一个矩形花园ABCD,与围墙平行的一边BC上要预留3 m宽的入口(如图中MN所示,入口不用砌墙),用能砌46 m长墙的材料砌墙,当矩形的长BC为多少米时,矩形花园的面积为299 m2?

参考答案

自主预习

略

课堂探究

2.一般地,方程x2=t.

(1)当t>0时,解集为{,-}.

(2)当t=0时,解集为{0};

(3)当t<0时,解集为⌀.

一般地,方程(x-k)2=t.

(1)当t>0时,解集为{k+,k-}.

(2)当t=0时,解集为{k};

(3)当t<0时,解集为⌀.

4.略

例题　解法一:设=y,则y≥0,原方程可变为y2-2y-1=0,

∴y2-2y+1=2,

∴(y-1)2=2,

∴y=1+或y=1-(舍).

从而=1+,即x=3+2,

∴原方程的解集为{3+2}.

解法二:原方程可化为x-1=2,

因为≥0,所以x-1≥0,即x≥1.

方程两边平方得x2-2x+1=4x,

化简得x2-6x+1=0,

∴x2-6x+9=8,

∴(x-3)2=8,

∴x=3+2或x=3-2(舍),

∴原方程的解集为{3+2}.

跟踪练习

(1){,-}　(2){,-}

(3)

核心素养专练

1.-1<m<1且m≠0.

2.23 m