江苏版2020年中考数学热点专题冲刺7与圆相关问题20200325217

热点专题7  与圆相关问题

圆，是中考中相对来讲比较重要的一块内容，涉及到的内容也比较多，所占分值约二十分左右．当然各个城市的略有不同．一般选择或填空或解答题都会有与圆相关的题目，比较重要的内容主要有圆周角定理、弦、角、弧之间关系定理、切线的性质和判定定理等、扇形面积及弧长公式、圆锥的侧面积计算等．

考向1  圆的性质

1. (2019 江苏省镇江市)如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

【解析】连接AC，

∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，

∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，

∵＝，

∴∠CAB＝∠DAB＝35°，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，

故选：A．

2. (2019 江苏省盐城市)如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E＋∠C＝　   　°．

【解析】连接EA，

∵为50°，

∴∠BEA＝25°，

∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，

∴∠DEA+∠C＝180°，

∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，

故答案为：155．

3 (2019 江苏省扬州市)如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝　   　．

【解析】连接BO，

∵AC是⊙O内接正六边形的一边，

∴∠AOC＝360°÷6＝60°，

∵BC是⊙O内接正十边形的一边，

∴∠BOC＝360°÷10＝36°，

∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，

∴n＝360°÷24°＝15；

故答案为：15．

考向2 切线的性质和判定

1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是　   　．

【解析】如图，

过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，

∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，

∴，

∵AB＝4，

∴AE＝AB+BE＝4+BE，

∴，

∴BE最大时，最大，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，

过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，

∵BD是⊙C的切线，

∴∠GME＝90°，

在Rt△BCD中，BD＝＝5，

∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，

∴△BHC∽△BCD，

∴，

∴，

∴BH＝，CH＝，

∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，

∴△BHG∽△BAD，

∴＝，

∴，

∴HG＝，BG＝，

在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG×＝EG，

而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，

∴GE最大时，BE最大，

∴GM最大时，BE最大，

∵GM＝HG+HM＝+HM，

即：HM最大时，BE最大，

延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，

∴GP'＝HP'+HG＝，

过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，

∴BE最大时，点E落在点F处，

即：BE最大＝BF，

在Rt△GP'F中，FG＝＝＝＝，

∴BF＝FG﹣BG＝8，

∴最大值为1+＝3，

故答案为：3．

2. (2019 江苏省淮安市)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．

【解析】（1）直线DE与⊙O相切，

连结OD．

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，

∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）过O作OG⊥AF于G，

∴AF＝2AG，

∵∠BAC＝60°，OA＝2，

∴AG＝OA＝1，

∴AF＝2，

∴AF＝OD，

∴四边形AODF是菱形，

∴DF∥OA，DF＝OA＝2，

∴∠EFD＝∠BAC＝60°，

∴EF＝DF＝1．

3. (2019 江苏省苏州市)

如图，AE为⊙O的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.

（1）求证：；

（2）求证：;

（3）若,求的值.

【解析】（1）证明：∵D为弧BC的中点，OD为的半径

∴

  又∵AB为的直径

   ∴

   ∴

（2）证明：∵D为弧BC的中点

      ∴

∴

∴

      ∴

      即

（3）解：∵，

    ∴

    设CD=，则DE=，

又∵

∴

∴

所以

又

       ∴ 

即

4 (2019 江苏省泰州市)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．

【解析】（1）DE与⊙O相切，

理由：连接OD，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∵D为的中点，

∴＝，

∴AD＝CD，

∴∠ACD＝45°，

∵OA是AC的中点，

∴∠ODC＝45°，

∵DE∥AC，

∴∠CDE＝∠DCA＝45°，

∴∠ODE＝90°，

∴DE与⊙O相切；

（2）∵⊙O的半径为5，

∴AC＝10，

∴AD＝CD＝5，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，

∵AB＝8，

∴BC＝6，

∵∠BAD＝∠DCE，

∵∠ABD＝∠CDE＝45°，

∴△ABD∽△CDE，

∴＝，

∴＝，

∴CE＝．

5. (2019 江苏省徐州市)如图，为的直径，为上一点，为的中点．过点作直线的垂线，垂足为，连接．

（1）求证：；

（2）与有怎样的位置关系？请说明理由．

【解析】（1）证明：连接，

为的中点，

，

，

，

；

（2）解：与相切，

理由：，

，

，

，

与相切．

6. (2019 江苏省盐城市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．

（1）若⊙O的半径为，AC＝6，求BN的长；

（2）求证：NE与⊙O相切．

【解析】（1）连接DN，ON

∵⊙O的半径为，

∴CD＝5

∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，

∴BD＝CD＝AD＝5，

∴AB＝10，

∴BC＝＝8

∵CD为直径

∴∠CND＝90°，且BD＝CD

∴BN＝NC＝4

（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，

∴CD＝DA＝DB＝AB，

∴∠BCD＝∠B，

∵OC＝ON，

∴∠BCD＝∠ONC，

∴∠ONC＝∠B，

∴ON∥AB，

∵NE⊥AB，

∴ON⊥NE，

∴NE为⊙O的切线．

7. (2019 江苏省镇江市)如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．

（1）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝　   　．

【解析】（1）证明：连接AB，如图所示：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠ACB＝∠OCD，

∴∠ABC＝∠OCD，

∵OD⊥AO，

∴∠COD＝90°，

∴∠D+∠OCD＝90°，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠D，

∴∠OBD+∠ABC＝90°，

即∠ABO＝90°，

∴AB⊥OB，

∵点B在圆O上，

∴直线AB与⊙O相切；

（2）解：∵∠ABO＝90°，

∴OA＝＝＝13，

∵AC＝AB＝5，

∴OC＝OA﹣AC＝8，

∴tan∠BDO＝＝＝；

故答案为：．

考向3  扇形与圆锥

1. (2019 江苏省苏州市)如图，扇形中，。为弧上的一点，过点作，垂足为，与交于点，若，则该扇形的半径长为___________

【解析】由题意可知AC＝CD＝1，连接OP，设该扇形的半径为r，由勾股定理可列方程：32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，因此本题答案为5．

2. (2019 江苏省泰州市)如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为　   　cm．

【解析】该莱洛三角形的周长＝3×＝6π（cm）．

故答案为6π．

3. (2019 江苏省徐州市)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为　 　．

【解析】 圆锥的底面周长，

设圆锥的母线长为，则：，

解得．

故答案为：6．

4. (2019 江苏省扬州市)如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB＝16cm，则图中阴影部分的面积为　   　cm2．

【解析】由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，

则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面积＝＝32π；

故答案为：32π．